24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.了解点与圆的三种位置关系,能够用数量关系来判断点与圆的位置关系;
2.了解不在同一直线上的三点确定一个圆,能画出三角形的外接圆;
3.体会反证法的含义及反证法证题的基本步骤,会用反证法证明简单的命题.
【过程与方法】
通过自主探索与交流合作,经历探索确定圆的结论及作图方法,给出不在同一直线上三点确定一个圆,能运用点与圆的位置关系的结论解决一些实际问题.
【情感、态度与价值观】
培养观察力以及全面分析问题的思维习惯.
◇教学重难点◇
【教学重点】
用数量关系判断点和圆的位置关系,用尺规作三角形的外接圆.
【教学难点】
1.运用方程的思想求特殊三角形的外接圆半径;
2.用反证法证题.
◇教学过程◇
一、情境导入
你看过奥运会的射击比赛吗?射击的靶子是由许多圆组成的,射击的成绩是由击中靶子不同位置所决定的;如图是一位运动员射击10发子弹在靶上留下的痕迹.你知道这个运动员的成绩吗?(击中最里面的圆的成绩为10环,依次为9,8,…,1环)
这一现象体现了平面上的点与圆的位置关系,如何判断点与圆的位置关系呢?
二、合作探究
探究点1 点和圆的位置关系
典例1 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,E,F分别是BC,AB的中点,以C为圆心,CF的长为半径画圆,则点E,A与☉C的位置关系如何?
[解析] ∵∠C=90°,AC=6,BC=8,∴AB=10.
连接FC,∵E,F分别是BC,AB的中点,
∴FC=AB=5,EC=BC=4.
∵4<5,即EC∵6>5,即AC>FC,∴A点在☉C外.
【方法指导】判断点与圆的位置关系时,只需比较该点到圆心的距离d与半径r的大小.当dr时,点在圆外.
探究点2 确定圆的条件
典例2 如图,在单位长度为1的正方形网格中,一段圆弧经过网格的交点A,B,C.
(1)用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置(不用写作法,保留作图痕迹),并连接AD,CD.
(2)请在(1)的基础上,计算☉D的半径.(结果保留根号)
[解析] (1)如图所示.
(2)2AB的中点为E,连接BD,则BD==2.
确定不完整圆的圆心,可根据不在同一直线上的三个点确定一个圆,圆心为任两弦的垂直平分线的交点,交点到任一点的距离就是圆的半径.
探究点3 反证法
典例3 求证:△ABC中至少有两个角是锐角.
[解析] 假设△ABC中至多有一个锐角,则△ABC中有一个锐角或没有锐角.
①当△ABC中只有一个锐角时,不妨设∠A为锐角,则∠B≥90°,∠C≥90°,所以∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和定理相矛盾,所以△ABC中不可能只有一个锐角.
②假设△ABC中没有锐角,则∠A≥90°,∠B≥90°,∠C≥90°,所以∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和定理相矛盾,所以△ABC中不可能没有锐角.
由①,②得出假设不成立,从而原命题成立.
综上所述,△ABC中至少有两个锐角.
(1)有些命题的结论中含有“至多”“至少”“超过”“不超过”等词,可考虑利用反证法证.
(2)若结论的反面不止一种情况,必须把各种可能情况全部列出来,并逐一加以否定之后,才能肯定原结论是正确的.
(3)在推理论证时,要把假设作为新增加的已知条件加进去.
三、板书设计
点和圆的位置关系
1.点和圆的位置关系
点P在圆外?OP>r
点P在圆上?OP=r
点P在圆内?OP2.确定圆的条件
不在同一直线上的三点确定一个圆.
应用:确定一个三角形外接圆的圆心.
3.反证法证题步骤
(1)假设命题的结论的不成立,即假设结论的反面是成立的.
(2)从这个假设出发,通过逻辑推理,推出与公理、已证的定理、定义或已知相矛盾的结论.
(3)说明假设不成立,从而说明原结论正确.
说明用“反证法”证明时需要注意的是:若原结论的反面不止一种可能,那么应把所有可能一一否定.
◇教学反思◇
本节课主要学习点与圆的位置关系、确定圆的条件及三角形的外接圆、反证法.在教学中,教师应指导学生自己去探索,如确定圆的条件,与作直线类比,引出确定圆的条件,由易到难让学生经历了作圆的过程,从中探索出确定圆的条件.对于反证法,用具体实例说明反证法存在的意义.这样通过学生自己的亲身体验,加上教师的具体指导,同学间的交流,能使学生掌握的知识更加牢固.
24.2.2 直线和圆的位置关系
第1课时 直线和圆的位置关系
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.了解直线与圆的三种位置关系,理解直线和圆相离、相切、相交的概念;
2.会用圆心到直线的距离与半径比较,判断直线和圆的位置关系.
【过程与方法】
先观察直线与圆位置关系的所有变化过程,再通过思考得出“圆心到直线的距离d与半径r的数量关系”与“直线和圆的位置关系”的对应与等价,最后实现位置关系(形)与数量关系(数)的结合.
【情感、态度与价值观】
通过探索直线与圆的位置关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.通过直线和圆的位置关系的探究,向学生渗透分类、数形结合的思想.
◇教学重难点◇
【教学重点】
直线与圆的三种位置关系.
【教学难点】
用数量关系(圆心到直线的距离)判断直线与圆的位置关系.
◇教学过程◇
一、情境导入
你读过王维的《使至塞上》吗?在这首诗里“大漠孤烟直,长河落日圆”,描述了黄昏日落时分,塞外沙漠寂寞的景象.你欣赏过落日的美景吗?请想象一下日落的情况,如果我们把太阳看成一个圆,地平线看成一条直线,那你能根据直线与圆的公共点的个数想象一下,圆与直线有哪几种位置关系?
二、合作探究
探究点1 直线与圆的位置关系
典例1 下列说法中正确的有 ( )
①直线和圆相交一定有两个公共点;
②直线和圆相切有唯一公共点;
③直线和圆相离没有公共点;
④线段和圆有一个公共点,则线段所在的直线和圆相切.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[解析] 利用直线和圆的位置关系的定义判断,但要注意线段和圆有一个公共点,则它所在的直线和圆可能只有一个公共点,也可能有两个公共点.
[答案] C
【方法指导】利用定义判断直线与圆的位置关系,就是根据直线与圆公共点的个数判定.
探究点2 用数量关系判断直线与圆的位置关系
典例2 在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,以点C为圆心,以2.5为半径画圆,则☉C与直线AB的位置关系是 ( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.不能确定
[解析] 过点C作CD⊥AB于点D,如图所示.∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,∴AB==5,∵△ABC的面积=AC×BC=AB×CD,∴3×4=5CD,∴CD=2.4<2.5,即d[答案] A
(1)比较圆心到直线的距离与半径的大小关系是判定直线与圆的位置关系的常用方法.
(2)已知直角三角形两边求斜边上的高常用面积法.
三、板书设计
直线与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系
2.直线与圆相交?直线与圆有两个公共点?d直线与圆相切?直线与圆有一个公共点?d=r
直线与圆相离?直线与圆没有公共点?d>r
◇教学反思◇
本节主要学习直线与圆的三种位置关系,重难点是用数量关系判断直线与圆的位置关系.教师在教学活动中应努力地去挖掘教材,有意识地去训练学生的思维,从而使学生逐渐形成良好的个性思维品质和良好的数学学习习惯.
第2课时 切线的判定与性质
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.记住圆的切线的判定定理,并能判定一条直线是否是圆的切线;
2记住切线的性质定理,并能用它进行证明或计算.
【过程与方法】
通过演示直线和圆相切,培养学生观察图形并能从图形的位置去判断图形的性质的能力.
【情感、态度与价值观】
通过学生自己实践发现定理,培养学生学习的主动性和积极性.
◇教学重难点◇
【教学重点】
切线的判定与性质的应用.
【教学难点】
综合运用切线的判定与性质解题.
◇教学过程◇
一、情境导入
上节课我们学习了直线和圆的位置关系,知道了直线与圆有三种位置关系:相离、相切、相交.判断直线和圆的位置关系,可以从公共点的个数及圆心到直线的距离与半径作比较两种方法进行判断.
由上可知,判断直线和圆相切,有哪两种方法?除了这两种方法外,还有其他方法吗?
二、合作探究
探究点1 切线的判定
典例1 如图,已知Rt△ABC,∠C=90°,D为BC的中点,以AC为直径的☉O交AB于点E.求证:DE是☉O的切线.
[解析] 连接OE,EC,
∵AC是☉O的直径,
∴∠AEC=∠BEC=90°.
∵D为BC的中点,
∴ED=DC=BD,∴∠1=∠2.
∵OE=OC,∴∠3=∠4,
∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACB.
∵∠ACB=90°,∴∠OED=90°.
∴DE⊥OE,∴DE是☉O的切线.
要判定直线是圆的切线,若已知中没有给出直线与圆的公共点,常过圆心作直线的垂线,证明垂线段等于圆的半径;当已知直线和圆有公共点时,证明直线与过这点的半径(或直径)垂直.
探究点2 切线的性质
典例2 如图,AB是☉O的直径,C为☉O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D.求证:AC平分∠DAB.
[解析] 连接OC.
∵CD是☉O的切线,
∴OC⊥CD.
又∵AD⊥CD,
∴OC∥AD,∴∠1=∠2.
∵OC=OA,∴∠1=∠3.
∴∠2=∠3,即AC平分∠DAB.
变式训练 如图,在△ABC中,AB=AC,O为BC的中点,AC与半圆O相切于点D.
求证:AB是半圆O所在圆的切线.
[解析] 如图,作OD⊥AC于D,OE⊥AB于E,
∵AB=AC,O为BC的中点,
∴∠CAO=∠BAO.
∵OD⊥AC于点D,OE⊥AB于点E,
∴OD=OE.
∵AB经过圆O半径的外端,
∴AB是半圆O所在圆的切线.
三、板书设计
切线
1.切线的判断
定理:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
方法选择:已知直线和圆有公共点用定理,连公共点与圆心,证垂直.
未知直线与圆的公共点时,证圆心到直线的距离等于半径.
2.切线的性质
圆的切线垂直于过切点的半径.
3.常用辅助线:
见切线,作出过切点的半径,得垂直,证切线,连圆心与公共点证垂直.作出过切点的半径
◇教学反思◇
本节课是在学习了直线与圆的位置关系基础上,进一步研究切线问题.情境引入既让学生复习了直线与圆的两种判定方法,同时又让学生感觉出这两种方法的不足,从而激发了学生的求知欲.对于切线的判定,在判断前一定让学生先看直线和圆是否有公共点,只有有公共点才能利用本节的定理.另外,在今后教学中应增加切线的判定与性质的综合题.
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.了解切线长定理,并能利用它进行有关的计算或证明;
2.了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念;
3.能作出三角形的内切圆.
【过程与方法】
通过探究,使学生发现、掌握切线长定理,并初步学会应用切线长定理解决问题,同时通过从三角形纸片中剪出最大圆的实验的过程中发现三角形内切圆的画法,能用内心的性质解决问题.
【情感、态度与价值观】
经历观察、实验、猜想、证明等数学活动的过程,发展合情推理能力和初步演绎推理能力,能有条理地、清晰地写出推理过程.
◇教学重难点◇
【教学重点】
切线长定理及其应用,三角形内心的性质.
【教学难点】
切线长定理的应用,三角形的内心及其半径的确定.
◇教学过程◇
一、情境导入
木工王师傅想从一块三角形木板上截出一个最大的圆面作为凳面,你知道应该怎样截取吗?
二、合作探究
探究点1 切线长定理
典例1 如图P是☉O外一点,PA,PB分别和☉O切于A,B,△PDE的周长为8,∠APB=40°,C是AB弧上任意一点,过C作☉O的切线,分别交PA,PB于点D,E.
(1)求PA的长;
(2)求∠DOE的度数.
[解析] ∵PA,PB,DE是☉O的切线,
∴由切线长定理得DA=DC,CE=EB,PA=PB.
∴△PDE的周长=PD+DC+CE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=2PA,
∴2PA=8,即PA=4.
(2)连接OP,则OP平分∠APB.
∵∠ADO=∠DOP+∠APO,∠BEO=∠BPO+∠POE,
∴∠ADO+∠BEO=40°+∠DOE,
即∠EDO+∠DEO=40°+∠DOE.
又∠ODE+∠DEO+∠DOE=180°,40°+2∠DOE=180°,∴∠DOE=70°.
探究点2 三角形的内切圆
典例2 如图,点O是△ABC的内切圆的圆心,若∠BAC=80°,求∠BOC的大小.
[解析] ∵点O是△ABC的内心,
∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB.
∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠BAC)=90°-∠BAC=90°-×80°=50°.
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-50°=130°.
在△ABC中,若I是△ABC的内心,则∠BIC=90°+∠A,∠AIB=90°+∠C,∠AIC=90°+∠B.
变式训练 如图,在△ABC中,∠A=66°,点I是内心,则∠BIC的大小为 ( )
A.114° B.122°
C.123° D.132°
[答案] C
典例3 已知☉O分别切△ABC的三边AC,AB,BC于点D,E,F,若AC=b,BC=a,AB=c.
求:(1)AE,BF,CD的长;
(2)当∠C=90°,内切圆的半径长.
[解析] (1)如图,由切线长定理知AD=AE,BE=BF,CF=CD.
设AD=AE=x,BE=BF=y,CF=CD=z,
根据题意,得
解得
∴AE=,BF=,CD=.
(2)如图,设☉O内切于Rt△ABC于D,E,F.连接OD,OF,则OD⊥AC,OF⊥BC.
∵∠C=90°,OD=OF,∴四边形ODCF为正方形.
∴CD=OD,且CD是圆的半径.
同理(1)可求得CD=CF=.所以内切圆半径为.
(1)几何问题代数化是解决几何计算问题中的一种重要方法,一般解法是设某些未知量为x,y,z,把复杂问题代数化.
(2)本题中存在一般规律:AD=,BF=,CD=,这一规律可在解选择题、填空题时直接用.
变式训练 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有下列问题“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?”其意思是:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少?” ( )
A.3步 B.5步 C.6步 D.8步
[答案] C
已知Rt△ABC,三边长为a,b,c(斜边),其内切圆半径r=.
三、板书设计
切线长定理和三角形的内切圆
1.切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心连线平分两切线的夹角.
2.内切圆
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆.
内心是三角形三内角平分线的交点,内心到三边的距离相等.
总结:(1)直角三角形内切圆半径=.
(2)圆外切多边形面积=多边形周长的一半×内切圆的半径.
◇教学反思◇
这节课主要学习切线长定理及三角形内切圆.在教学中通过复习切线的性质及全等三角形,得出了切线长定理,并对切线长定理进行补充.对于三角形内切圆,注重了讲练结合及数形结合、方程的思想.对于内切圆的性质进行了归纳,这样可起到加深巩固的作用.在今后教学中,应增加与实际问题联系的题目,以达到学以致用的目的.
