1 因式分解
测试时间:10分钟
一、选择题
1.下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是( )
A.a(x+y)=ax+ay
B.x2+2xy+y2-1=x(x+2y)+(y+1)(y-1)
C.ax2-9a=a(x+3)(x-3)
D.x2+2+=
2.如图是由一个边长为a的正方形和两个长、宽分别为a、b的小长方形组成的大长方形,则整个图形可表达出几个有关多项式因式分解的等式,其中不符合的是( )
A.a2+2ab=a(a+2b) B.a2+2ab2=a(a+2b2) C.a(a+b)+ab=a(a+2b) D.a(a+2b)-ab=a(a+b)
3.已知多项式x2+mx+5因式分解的结果是(x+5)(x+n),则( )
A.m=1,n=5 B.m=5,n=1 C.m=1,n=6 D.m=6,n=1
二、填空题
4.(m+3)(m-3)=m2-9,由左到右的变形是 ,由右到左的变形是 .?
5.若一个多项式因式分解的结果为(x+2)(x-2)(x2+4),则这个多项式为 .?
6.若关于x的二次三项式x2+kx+b可因式分解为(x-1)(x-3),则k+b的值为 .?
三、解答题
7.通过计算说明255+511能被30整除.
1答案 C A是整式的乘法,不是因式分解.B没把一个多项式转化成几个整式积的形式,不是因式分解.C把一个多项式转化成几个整式积的形式,是因式分解.D没把一个多项式转化成几个整式积的形式,不是因式分解.故选C.
2答案 B 从整体看,是一个长为a+2b,宽为a的长方形,面积为a(a+2b),从部分看,是一个正方形与两个小长方形的组合,也可以看作两个长方形的组合(其中一个长为a+b,宽为a;另一个长为a,宽为b),所以A、C、D均符合,故选B.
3答案 D ∵(x+5)(x+n)=x2+(n+5)x+5n=x2+mx+5,
∴5n=5,n+5=m.∴n=1,m=6.
4答案 整式乘法;因式分解
5答案 x4-16
解析 (x+2)(x-2)(x2+4)=(x2-4)(x2+4)=x4-16.
6答案 -1
解析 由题意得x2+kx+b=(x-1)(x-3)=x2-4x+3,∴k=-4,b=3,则k+b=-4+3=-1.
7解析 ∵255+511=510+511
=510×(1+5)
=59×30,
∴255+511能被30整除.
3
2 提公因式法
第一课时
测试时间:15分钟
一、选择题
1.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3中各项的公因式是( )
A.5mn B.5m2n2 C.5m2n D.5mn2
2.下列多项式的因式分解,正确的是( )
A.12xyz-9x2y2=3xyz(4-3xyz)
B.3a2y-3ay+6y=3y(a2-a+2)
C.-x2+xy-xz=-x(x+y-z)
D.a2b+5ab-b=b(a2+5a)
3.将-a2b-ab2提公因式后,另一个因式是( )
A.a+2b B.-a+2b C.-a-b D.a-2b
4.数学课上,老师讲了提取公因式分解因式,放学后,小丽回到家拿出课堂笔记,认真复习老师课上讲的内容,她突然发现题:-12xy2+6x2y+3xy=-3xy·(4y- )中横线空格的地方被钢笔水弄污了,你认为横线上应填写( )?
A.2x B.-2x C.2x-1 D.-2x-1
二、填空题
5.利用因式分解计算:32 003+9×32 002-32 004= .?
6.如图,边长为a、b的长方形的周长为14,面积为10,则a2b+ab2的值为 .?
三、解答题
7.利用因式分解计算:
(1)(-3)201+(-3)200+6×3199;
(2)-2 122-2 1222+2 1232.
1答案 C 多项式15m3n2+5m2n-20m2n3中,各项系数的最大公约数是5,各项都含有的相同字母是m、n,字母m的最低次数是2,字母n的最低次数是1,所以多项式中各项的公因式是5m2n.
2答案 B A选项中公因式为3xy,B选项正确,C选项提出-x后括号内多项式应为x-y+z,D选项应分解为b(a2+5a-1).
3答案 A -a2b-ab2=-ab(a+2b),故选A.
4答案 C -12xy2+6x2y+3xy=-3xy·(4y-2x-1),故选C.
5答案 32 003
解析 32 003+9×32 002-32 004=32 003+3×3×32 002-3×32 003=32 003+3×32 003-3×32 003=32 003(1+3-3)=32 003.
6答案 70
解析 由题意得a+b=14÷2=7,ab=10,∴a2b+ab2=ab(a+b)=10×7=70.
7解析 (1)(-3)201+(-3)200+6×3199
=(-3)199×[(-3)2-3-6]
=(-3)199×0
=0.
(2)-2 122-2 1222+2 1232
=-2 122×(1+2 122)+2 1232
=-2 122×2 123+2 1232
=2 123×(-2 122+2 123)
=2 123.
3
2 提公因式法
第二课时
测试时间:15分钟
一、选择题
1.下列各组式子中,没有公因式的一组是( )
A.3(a+b)与6(a-b) B.2(a-b)与a-b
C.(x+y)2与(x-y)2 D.3(a-b)3与2(b-a)2
2.将多项式a(b-2)-a2(2-b)因式分解的结果是( )
A.(b-2)(a+a2) B.(b-2)(a-a2) C.a(b-2)(a+1) D.a(b-2)(a-1)
3.若a为有理数,则整式a(a-1)-a+1的值是( )
A.非负数 B.负数 C.正数 D.0
4.(x+2)(2x-1)-(x+2)可以因式分解成(x+m)(2x+n),则m-n的值是( )
A.2 B.-2 C.4 D.-4
二、填空题
5.若(x+y)3-xy(x+y)=(x+y)·A,则A= .?
6.若m、n互为相反数,则m(a-3b)-n(3b-a)= .?
7.当x=-时,(2x+1)2-(2x+1)(2x-1)的值为 .?
三、解答题
8.因式分解:
(1)(2x-3y)(a+b)+(3x-2y)(a+b);
(2)(m-n)4+m(m-n)3+n(n-m)3;
(3)x(x2-xy)-(4x2-4xy).
1答案 C A选项中有公因式3,B选项中有公因式a-b;D选项中有公因式(a-b)2;C选项中没有公因式.
2答案 C a(b-2)-a2(2-b)=a(b-2)+a2(b-2)=a(b-2)(1+a),故选C.
3答案 A a(a-1)-a+1=a(a-1)-(a-1)=(a-1)(a-1)=(a-1)2.∵a为有理数,∴(a-1)2为非负数.
4答案 C (x+2)(2x-1)-(x+2)=(x+2)(2x-2)=(x+m)(2x+n),所以m=2,n=-2,则m-n=2-(-2)=2+2=4,故选C.
5答案 x2+xy+y2
解析 (x+y)3-xy(x+y)=(x+y)[(x+y)2-xy]=(x+y)(x2+2xy+y2-xy)=(x+y)(x2+xy+y2),
所以A=x2+xy+y2.
6答案 0
解析 ∵m、n互为相反数,∴m+n=0,∴m(a-3b)-n(3b-a)=(a-3b)(m+n)=0.
7答案 0
解析 (2x+1)2-(2x+1)(2x-1)=(2x+1)(2x+1-2x+1)=2(2x+1),当x=-时,原式=2×=0
8解析 (1)原式=(a+b)[(2x-3y)+(3x-2y)]=(a+b)(5x-5y)=5(a+b)(x-y).
(2)原式=(m-n)4+m(m-n)3-n(m-n)3=(m-n)3[(m-n)+m-n]=(m-n)3[2(m-n)]=2(m-n)4.
(3)原式=x2(x-y)-4x(x-y)=x(x-y)(x-4).
3
3 公式法
第一课时 平方差公式
测试时间:15分钟
一、选择题
1.下列四个多项式:①-a2+b2;②-x2-y2;③1-(a-1)2;④m2-2mn+n2,其中能用平方差公式分解因式的为( )
A.①② B.①③ C.②④ D.②③
2.因式分解(2x+3)2-x2的结果是( )
A.3(x2+4x+3) B.3(x2+2x+3) C.(3x+3)(x+3) D.3(x+1)(x+3)
3.已知多项式x2+a能用平方差公式在有理数范围内分解因式,那么在下列四个数中a可以等于( )
A.9 B.4 C.-1 D.-2
二、填空题
4.若2m+n=25,m-2n=2,则(m+3n)2-(3m-n)2= .?
三、解答题
5.把下列各式因式分解:
(1)xn-xn+2;
(2)-9x2+(x-y)2;
(3)a2(a-b)+b2(b-a).
6.计算:2 0172×2-2 0162×2.
7.如图①所示,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形,将图①中阴影部分进行剪拼,可得如图②所示图形.
(1)请问用这两个图可以验证因式分解中哪个公式?
(2)若图①中的阴影部分的面积是12,a-b=3,求a+b的值;
(3)试利用公式计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1.
1答案 B
2答案 D (2x+3)2-x2=(2x+3-x)(2x+3+x)=(x+3)(3x+3)=3(x+3)(x+1).
3答案 C 若a=-1,则x2+a=x2-1=(x+1)(x-1),故选C.
4答案 -200
解析 ∵2m+n=25,m-2n=2,
∴(m+3n)2-(3m-n)2=[(m+3n)+(3m-n)][(m+3n)-(3m-n)]=(4m+2n)(-2m+4n)=-4(2m+n)(m-2n)=-4×25×2=-200.
5解析 (1)原式=xn(1-x2)=xn(1+x)(1-x).
(2)原式=(x-y+3x)(x-y-3x)=-(4x-y)(2x+y).
(3)原式=a2(a-b)-b2(a-b)=(a2-b2)(a-b)=(a-b)2(a+b).
6解析 原式=2×(2 0172-2 0162)=2×(2 017+2 016)(2 017-2 016)=2×4 033=8 066.
7解析 (1)a2-b2=(a+b)(a-b).
(2)由题意知a2-b2=12.∵a-b=3,∴由(1)得a+b=(a2-b2)÷(a-b)=12÷3=4.
(3)原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1
=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1
=264-1+1=264.
1
3 公式法
第二课时 完全平方公式
测试时间:20分钟
一、选择题
1.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A.x2+x+1 B.x2+2x-1 C.x2-1 D.x2-6x+9
2.若多项式x2+2ax+4能用完全平方公式进行因式分解,则a的值为( )
A.2 B.-2 C.±2 D.±4
3.多项式mx2-m与多项式x2-2x+1的公因式是( )
A.x-1 B.x+1 C.x2-1 D.(x-1)2
二、填空题
4.已知x-2y+2=0,则x2+y2-xy-1的值为 .?
5.若m-n=2,则2m2-4mn+2n2-1的值为 .?
6.若(x2+y2)4-6(x2+y2)2+9=0,则x2+y2= .?
三、解答题
7.把下列各式因式分解.
(1)4xy2-4x2y-y3;(2)(x+y)4-18(x+y)2+81.
8.已知a,b,c是△ABC的三条边,且满足a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,试判断△ABC的形状.
1答案 D A、B、C都不是完全平方式,x2-6x+9=(x-3)2.故选D.
2答案 C ∵多项式x2+2ax+4能用完全平方公式进行因式分解,∴2a=±4,解得a=±2.故选C.
3答案 A mx2-m=m(x2-1)=m(x+1)(x-1),x2-2x+1=(x-1)2,公因式为x-1.故选A.
4答案 0
解析 ∵x-2y+2=0,∴x-2y=-2,
∴x2+y2-xy-1=(x2-4xy+4y2)-1=(x-2y)2-1=×(-2)2-1=1-1=0.
5答案 7
解析 原式=2(m2-2mn+n2)-1=2(m-n)2-1,∵m-n=2,∴原式=2×4-1=7.
6答案
解析 ∵(x2+y2)4-6(x2+y2)2+9=0,∴[(x2+y2)2-3]2=0,
∴(x2+y2)2-3=0,即(x2+y2)2=3,又x2+y2≥0,
∴x2+y2=.
7解析 (1)原式=-y(-4xy+4x2+y2)=-y(2x-y)2.
(2)原式=[(x+y)2-9]2=[(x+y+3)(x+y-3)]2=(x+y+3)2(x+y-3)2.
8解析 ∵a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0,
∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,
∴a-b=0,b-c=0,a-c=0,
∴a=b=c.
∴△ABC是等边三角形.
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