24.4 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.理解弧长、扇形面积公式;
2.会利用弧长及扇形的面积公式解决问题.
【过程与方法】
在探索弧长计算公式时,体验从特殊到一般的学习方法,在推导扇形面积公式的过程中,学会类比的数学思想方法.
【情感、态度与价值观】
通过弧长及扇形面积解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高学习的积极性,同时提高学生的运用能力.
◇教学重难点◇
【教学重点】
应用弧长及扇形面积公式进行计算.
【教学难点】
运用弧长和扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积.
◇教学过程◇
一、情境导入
“欲穷千里目,更上一层楼”是唐朝诗人王之涣在《登鹳雀楼》一诗中的诗句.有人要问,如果真的要看千里之遥,要“站”多高呢?如图,地球上B,C两点间的距离指的是球面上两点间的距离,它就是BC弧的长,假设BC弧的长为500 km,如果地球的半径是6400 km,你能算出视线AC的长度及高度AB(即更上一层楼的高度)吗?
二、合作探究
探究点1 弧长
典例1 (1)已知扇形的弧长为4π,半径为8,则此扇形的圆心角为 .?
(2)如图所示为一弯形管道,其中心线上一段圆弧AB.已知半径OA=60 cm,∠AOB=108°,则管道的长度(即弧AB的长)为 cm.(结果保留π)?
[解析] (1)由弧长公式直接求,设这条弧所对的圆心角为n°,由题意得,=4π,解得n=90,即所求的圆心角为90°;(2)直接利用弧长公式l=求得为36π.
[答案] (1)90° (2)36π
变式训练
如图,有一长为4 cm,宽为3 cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向),木板上的顶点A的位置变化为A→A1→A2,其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住,使木板边沿A2C与桌面成30°角,则点A翻滚到A2的位置时,共走过的路程长为 cm.?
[答案] 3.5π
探究点2 扇形的面积
典例2 一个扇形的圆心角为270°,扇形的弧长等于半径为6厘米的圆周长,求这个扇形的面积.
[解析] 设扇形的半径为r,则有=12π,解得r=8.
所以扇形的面积为S=lr=×12π×8=48π.
扇形的面积公式有两个,在使用时要注意选择,在已知弧长的情况下,一般选用S扇形=lr,弧长公式与扇形的面积公式容易混淆,使用时要注意区分.
变式训练 一个扇形的弧长是10π,面积是60π,则此扇形的圆心角的度数是 ( )
A.300° B.150° C.120° D.75°
[答案] B
不规则图形的求法通常利用割补法,即将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差计算.
三、板书设计
弧长和扇形的面积
1.求弧长
如果弧长为l,圆心角为n°,圆的半径为r,则弧长计算公式:l=·2πr=.
注意:(1)在弧长计算公式中,“n”表示“1°”圆心角的倍数,应用公式时“n”和“180”都不应再带单位.
(2)若圆心角的单位不全是度,则需先化为度后再计算弧长.
(3)题目中若没有标明精确度,可以用“π”表示弧长.
2.扇形的面积
设扇形的圆心角为n°,扇形的半径为r,则扇形的面积公式为:S=lr(其中l为扇形的弧长)
总结:扇形的面积公式有两个,在使用时要注意选择,在已知弧长的情况下,一般选用S扇形=lr,弧长公式与扇形的面积公式容易混淆,使用时要注意.
3.不规则图形的面积
将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差计算.
◇教学反思◇
弧长和扇形的面积公式不难推导,关键是正确灵活运用.在教学中,重视学生的操作发现过程,注意学生空间想象能力的培养.通过类比圆的周长和面积,结合前面学的圆的知识,得出弧长和面积的计算公式,再通过例题,加深对弧长和扇形面积计算公式的理解;最后通过变式练习进一步巩固弧长公式和扇形面积计算公式.学生对本节内容掌握较好.在教学中要注意对于复杂图形面积的计算,题目不要太难.
第2课时 圆锥的侧面积和全面积
◇教学目标◇
【知识与技能】
了解圆锥的侧面展开图是扇形及侧面积计算公式,并会应用公式解决圆锥的侧面积和全面积问题.
【过程与方法】
让学生通过观察、想象,发现猜想结果,最后经过实践得出结论.
【情感、态度与价值观】
培养学生初步的空间想象能力和相应的计算能力.
◇教学重难点◇
【教学重点】
圆锥的侧面展开图,计算圆锥的侧面积和全面积.
【教学难点】
正确理解圆锥的侧面展开图中扇形的弧长与圆锥底面圆半径、母线之间的关系.
◇教学过程◇
一、情境导入
如图是蒙古包,请你仔细观察图片,说说整体框架近似地看成是由哪些几何体构成的?你知道包围在它外表毯的面积吗?
二、合作探究
探究点 圆锥的侧面积和全面积
典例1
如图,已知圆锥的母线AB=6,底面半径r=2,求圆锥侧面展开图的扇形圆心角α.
[解析] 设圆锥底面周长为C,则C=2πr=4π,此周长即为展开图扇形的弧长,
所以C==4π.
解得α=120°.
在解决与圆锥有关的计算时,需掌握几点:
(1)在圆锥中,圆锥的母线、底面圆半径、高,这三个量之间的数量关系是r2+h2=l2.
(2)圆锥的侧面展开图中扇形的半径等于圆锥的母线长,展开图的扇形的弧长等于底面圆的周长
变式训练 若将半径为12 cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆半径是 ( )
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm
[答案] D
典例2 有一个直径为 cm的圆形纸片,要从中剪出一个最大的圆心角是90°的扇形ABC如图.
(1)求被剪掉的阴影部分的面积.
(2)用所剪的扇形铁皮围成一个圆锥,该圆锥的底面圆的半径是多少?
(3)求该圆锥的全面积.
[解析] (1)连接BC.
∵∠A=90°,∴BC是☉O的直径.
在Rt△ABC中,AB=AC,且AB2+AC2=BC2,
∴AB=AC=1.
∴S阴影=S☉O-S扇形ABC=π·π-π=π(cm2).
(2)设圆锥底面半径为r,则长为2πr.
∴=2πr,∴r=(cm).
(3)S全=S侧面积+S底面积=S扇形ABC+S圆=π+·π=π(cm2).
三、板书设计
圆锥的侧面积和全面积
1.圆锥的侧面积=×底面圆周长×圆锥的母线=×2πrl=πrl.
2.圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面积.S侧=πrl,S全=πr(r+l).
(1)在圆锥中,圆锥的母线、底面圆半径、高这三个量之间的数量关系是:r2+h2=l2.
(2)圆锥的侧面展开图中扇形的半径等于圆锥的母线长;展开图的扇形的弧长等于底面圆的周长.
◇教学反思◇
本节学习圆锥的侧面展开图,计算圆锥的侧面积和全面积.学生认为这一部分很简单,导致在解决问题的过程中,对于圆锥与扇形的相互转化容易出错,主要原因是对各个量之间的关系理解不清晰,因此在教学中要进一步强化立体图形与扇形之间的转化过程,突破学生的思维障碍.
