陕西省咸阳百灵中学2018-2019学年高二下学期第二次月考数学（文）试题解析版

咸阳百灵学校2018～2019学年度第二学期第二次月考
高二数学（文）试题
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
（1+i）（2+i）=（　　）
A. 1--i B. 1+3i C. 3+i D. 3+3i
2．给定下列命题：
①a＞b?a2＞b2；②a2＞b2?a＞b；③a＞b?<1；④a＞b?<．
其中正确的命题个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　)
A．16 B．25 C．9 D．36
4．已知a，b∈(0,1)，记M＝ab，N＝a＋b－1，则M与N的大小关系是(　　)
A．MN D．不确定
5．若x>0，y>0，M＝，N＝＋，则M，N的大小关系是(　　)
A．M＝N B．MN
6．若a>b>c，则下列不等式成立的是(　　)
A．> B．< C．ac>bc D．ac7．过点A与极点的直线的极坐标方程为(　　)
A．ρcos θ＝2 B．ρcos θ＝－2 C．ρsin θ＝2 D．θ＝
8．过极点的圆的方程为ρ＝sin θ，则它的圆心的极坐标为(　　)
A．(1,0) B． C. D．
9.函数y＝＋x(x＞3)的最小值是(　　)．
A．5 B．4 C．3 D．2
10.若x>0,则4x+的最小值是(　　)
A.9 B.3 C.13 D.不存在
11.设a，b，c，d为正数，a＋b＋c＋d＝1，则a2＋b2＋c2＋d2的最小值为(　　)
A. B. C.1 D.
12.对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为(　　)
A．1 B．2 C． 3 D．4
二、填空题
13.对任意两个正数a，b，有______≥(此式当且仅当a＝b 时取“＝”号)．
我们称______为正数a与b的算术平均值，______为正数a与b的几何平均值．
14.以原点为极点，以轴正半轴为极轴且与直角坐标系取相同的长度单位建立极坐标系．若圆的极坐标方程为，则其直角坐标方程为__________．
15．有以下四个条件：
①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0.
其中能使＜成立的有________个条件．
16..用数学归纳法证明“Sn＝＋＋＋…＋>1(n∈N＋)”时，S1等于________.
三、解答题
17.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）．若以射线Ox为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程。
18.解下列不等式：
(1)|5x－2|≥8； (2)|x＋1|＋|x|<2.
19..若正数x,y满足x+4y=4,求xy的最大值
20.若a，b，c均为正数，
求证：a＋b＋c≥＋＋.
21..某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过5 m.房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元,如果墙高为3 m,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低?
22.用数学归纳法证明：（其中是正整数）.
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
（1+i）（2+i）=（　　）
A. 1--i B. 1+3i C. 3+i D. 3+3i
2．给定下列命题：
①a＞b?a2＞b2；②a2＞b2?a＞b；③a＞b?<1；④a＞b?<．
其中正确的命题个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　A
解析　对于①②，只有当a＞b＞0时，a2＞b2才成立，故①②都错误；
对于③，只有当a＞0且a＞b时，<1才成立，故③错误；
当a＞0，b<0时，④错误．
3．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　)
A．16 B． 25 C．9 D．36
答案　B
解析　(1＋x)(1＋y)≤2
＝2＝2＝25，当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时等号成立，所以(1＋x)(1＋y)的最大值为25，故选B.
4．已知a，b∈(0,1)，记M＝ab，N＝a＋b－1，则M与N的大小关系是(　　)
A．MN D．不确定
答案　C
解析　M－N＝ab－a－b＋1＝(1－a)( 1－b)>0，∴M>N.
5．若x>0，y>0，M＝，N＝＋，则M，N的大小关系是(　　)
A．M＝N B．MN
答案　B
解析　∵x>0，y>0，∴x＋y＋1>1＋x>0，1＋x＋y>1＋y>0，
∴<，<，
故M＝＝＋<＋＝N，即M6．若a>b>c，则下列不等式成立的是(　　)
A．> B．< C．ac>bc D．ac答案　B
解析　因为a>b>c，所以a－c>0，b－c>0，且a－c>b－c，所以<.
7．过点A与极点的直线的极坐标方程为(　　)
A．ρcos θ＝2 B．ρcos θ＝－2 C．ρsin θ＝2 D．θ＝
8．过极点的圆的方程为ρ＝sin θ，则它的圆心的极坐标为(　　)
A．(1,0) B． C. D．
9.函数y＝＋x(x＞3)的最小值是(　　)．
A．5 B．4 C．3 D．2
10.若x>0,则4x+的最小值是(　　)
A.9 B.3 C.13 D.不存在
2x+2x+≥3,当且仅当2x=,即x=
解析:因为x>0,所以4x+=2x时等号成立.
11.设a，b，c，d为正数，a＋b＋c＋d＝1，则a2＋b2＋c2＋d2的最小值为(　　)
A. B. C.1 D.
解析　由柯西不等式(a2＋b2＋c2＋d2)(12＋12＋12＋12)
≥(a＋b＋c＋d)2，因为a＋b＋c＋d＝1，于是由上式得
4(a2＋b2＋c2＋d2)≥1，于是a2＋b2＋c2＋d2≥，
当且仅当a＝b＝c＝d＝时取等号.
12.对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥|x－1－x|＋|y－1－(y＋1)|＝1＋2＝3.答案：C
二、填空题
13.对任意两个正数a，b，有______≥(此式当且仅当a＝b 时取“＝”号)．
我们称______为正数a与b的算术平均值，______为正数a与b的几何平均值．
14.以原点为极点，以轴正半轴为极轴且与直角坐标系取相同的长度单位建立极坐标系．若圆的极坐标方程为，则其直角坐标方程为__________．
【答案】
【解析】极坐标方程，两边同乘以，
∴，∴，∴．
15．有以下四个条件：
①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0.
其中能使＜成立的有________个条件．
解析：①∵b＞0，∴＞0.∵a＜0，∴＜0.∴＜.
②∵b＜a＜0，∴＞.
③∵a＞0＞b，∴＞0，＜0.∴＞.
④∵a＞b＞0，∴＜.
综上知，①②④均能使＜成立．答案：3
16..用数学归纳法证明“Sn＝＋＋＋…＋>1(n∈N＋)”时，S1等于________.
解析　n＝1时，n＋1＝2，3n＋1＝4，∴S1＝＋＋.
三、解答题
17.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）．若以射线Ox为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程。
18.解下列不等式：
(1)|5x－2|≥8； (2)|x＋1|＋|x|<2.
解　(1)|5x－2|≥8?5x－2≥8或5x－2≤－8?x≥2或x≤－，
∴原不等式的解集为.
(2)[解]　法一：利用分类讨论的思想方法．
当x≤－1时，－x－1－x<2，解得－当－1当x≥0时，x＋1＋x<2，解得0≤x<.
因此，原不等式的解集为.
法二：利用方程和函数的思想方法．
令f(x)＝|x＋1|＋|x|－2＝
作函数f(x)的图像(如图)，
知当f(x)<0时，－法三：利用数形结合的思想方法．
由绝对值的几何意义知，|x＋1|表示数轴上点P(x)到点A(－1)的距离，|x|表示数轴上点P(x)到点O(0)的距离．
由条件知，这两个距离之和小于2.
作数轴(如图)，知原不等式的解集为.
法四：利用等价转化的思想方法．
原不等式?0≤|x＋1|<2－|x|，∴(x＋1)2<(2－|x|)2，且|x|<2，
即0≤4|x|<3－2x，且|x|<2.∴16x2<(3－2x)2，且－2解得－19..若正数x,y满足x+4y=4,则xy的最大值为　　　　　.?
解析:由平均值不等式可得x+4y≥2=4,当且仅当x=4y=2时等号成立,所以4≤4,所以020.若a，b，c均为正数，
求证：a＋b＋c≥＋＋.
证明：∵a，b，c为正实数，
∴a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2.
由上面三式相加可得
(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥2＋2＋2，即a＋b＋c≥＋＋.
.21．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．
解：因为直线l的参数方程为(t为参数)，
由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.
联立方程组解得公共点的坐标为(2,2)，.
21..某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过5 m.房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元,如果墙高为3 m,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低?
解由题意可得,总造价y=3+5 800=900+5 800(0于是由平均值不等式,得y=900+5 800≥900×2+5 800=13 000(元),
当且仅当x=,即x=4时,等号成立.故当侧面的长度为4 m时,总造价最低.
22.用数学归纳法证明：（其中是正整数）. .