21.2.2 公式法
解：
移项，得
配方
由此可得
利用配方法解一元二次方程
回顾旧知
化：把原方程化成 x＋px＋q = 0 的形式。
移项：把常数项移到方程的右边，如x2＋px =－q。
配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方。
开方：根据平方根的意义，方程两边开平方。
求解：解一元一次方程。
定解：写出原方程的解。
用配方法解一元二次方程的步骤
方程右边是非负数
x2＋px＋ ( )2 = －q＋ ( )2
( x+ )2 =－q＋ ( )2
一元二次方程的一般形式是什么？
ax2＋bx＋c = 0(a≠0)
如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的根，那么这个根是不是可以普遍适用呢？
新课导入
任何一元二次方程都可以写成一般形式
你能否也用配方法得出①的解呢？
二次项系数化为1，得
配方
即
①
试一试
②
移项，得
因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值有以下三种情况：
（2）当 时，一元二次方程 有实数根．
（1）当 时，一元二次方程 有实数根．
（3）当 时，一元二次方程 没有实数根．
一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式。通常用希腊字母△表示它，即△= b2-4ac。
由上可知当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根。
归
纳
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
当 时，方程有实数根吗
公式法
例2：用公式法解方程 （1）x2-4x-7=0
1.变形:化已知方程为一般形式;
3.计算: △=b2-4ac的值;
4.代入:把有关数值代入公式计算;
5.定根:写出原方程的根.
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
学习是件很愉快的事
结论：当
时，一元二次方程有两个不
相等的实数根.
–
解：
则：方程有两个相等的实数根：
这里的a、b、c的值分别是什么？
结论：当
时，一元二次方程有两个
相等的实数根.
这里的a、b、c的值分别是什么？
则：方程有两个不相等的实数根
结论：当
时，一元二次方程有两个不
相等的实数根.
这里的a、b、c的值分别是什么？
∴方程无实数根。
结论：当
时，一元二次方程没有
实数根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1. 将方程化成一般形式，并写出a，b，c 的值。
2. 求出 ? 的值。
3. (a)当 ? >0 时，代入求根公式 :
写出一元二次方程的根：
x1 = ______ ，x2 = ______ 。
(b)当?=0时，代入求根公式：
写出一元二次方程的根：
x1 = x2 = ______ 。
(b)当?<0时，方程实数根。
求本章引言中的问题，雕像下部高度x(m)满足方程
解这个方程，得
精确到0.001，x1≈ 1.236，
虽然方程有两个根，但是其中只有x1≈1.236符合问题的实际意义，所以雕像下部高度应设计为约1.236m．
（1）解下列方程：
解：（1）
练 习
解：
解：
解：
解：化为一般式
解：化为一般式
第二十一章 一元二次方程
21.2.3 因式分解法
学习目标
1.理解用因式分解法解方程的依据.
2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点）
3.会根据方程的特点选用恰当的方法解
一元二次方程.（难点）
复习
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
(1)直接开平方法:
(2)配方法:
x2=p (p≥0)
(x+m)2=n (n≥0)
(3)公式法:
(1) x1=0, x2=2；
(2) y1=－2, y2=3 ；
(3) x1=－2, x2=2；
试一试：下列各方程的根分别是多少？
(1) x(x－2)=0；
(2) (y+2)(y－3)=0；
(3) (3x+6)(2x－4)=0；
(4) x2=x.
(4) x1=0, x2=1.
我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程
(x+1)(x－1)=0时，可转化为两个一元一次方程x+1=0或x－1=0来解.
探究
问题1 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度(单位：m)为10x－4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)?
分析： 设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0，即
10x－4.9x2 =0 ①
解：
解：
∵ a=4.9,b=－10,c=0.
∴ b2－4ac= (－10)2－4×4.9×0
=100.
公式法解方程10x－4.9x2=0.
配方法解方程10x－4.9x2=0.
10x－4.9x2=0.
因式分解
如果a · b = 0，
那么 a = 0或 b = 0.
两个因式乘积为 0，说明什么
或
降次，化为两个一次方程
解两个一次方程，得出原方程的根
这种解法是不是很简单？
10x－4.9x2 =0 ①
x(10－4.9x) =0 ②
x =0 ①
10－4.9x=0
上述解法中,由①到②的过程，先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解法叫做因式分解法.
因式分解法的概念
因式分解法的基本步骤
一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
简记歌诀：
右化零 左分解
两因式 各求解
要点归纳
转化思想
分解因式的方法有哪些?
（1）提取公因式法:
（2）公式法:
（3）十字相乘法:
am+bm+cm=m(a+b+c).
a2-b2=(a+b)(a-b),
x2+(p+q)x+pq=
(x+p)(x+q).
例1 解下列方程：
解：（1）因式分解，得
∴x－2＝0或x＋1=0,
∴ x1=2，x2=－1.
(2)移项、合并同类项，得
因式分解，得
( 2x＋1)( 2x－1 )=0.
∴2x＋1=0或2x－1=0,
(x－2)(x＋1)=0.
可以试用多种方法解本例中的两个方程 .
典例精析
∴
例2 用适当的方法解方程：
（1）3x（x + 5）= 5（x + 5）； （2）（5x + 1）2 = 1
分析：该式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快.
解： (3x -5) (x + 5) = 0.
即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0.
分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可直接开平方法.
解：开平方,得
5x + 1 = ±1.
解得, x 1= 0 , x2 =
典例精析
（3）x2 - 12x = 4 ; （4）3x2 = 4x + 1；
分析：二次项的系数为1，可用配方法来解题较快.
解：配方,得
x2 - 12x + 62 = 4 + 62,
即 (x - 6)2 = 40.
开平方,得
解得 x1= ,
x2=
分析：二次项的系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法.
解：化为一般形式
3x2 - 4x + 1 = 0.
∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0,
1.一般地，当一元二次方程一次项系数b为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；
2.若常数项c为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则选用公式法；
4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
要点归纳
一元二次方程解法的基本思路
① x2－3x+1=0 ； ② 3x2－1=0 ；
③ －3t2+t=0 ； ④ x2－4x=2 ；
⑤ 2x2－x=0； ⑥ 5(m+2)2=8；
⑦ 3y2－y－1=0； ⑧ 2x2+4x－1=0；
⑨ (x－2)2=2(x－2).
适合运用直接开平方法 ；
适合运用因式分解法 ；
适合运用公式法 ；
适合运用配方法 .
1.填空
⑥
①
②
③
④
⑤
⑦
⑧
⑨
练习
2.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.
解方程 (x-5)(x+2)=18.
解: 原方程化为：
(x-5)(x+2)=18 . ①
由x-5=3, 得x=8; ②
由x+2=6, 得x=4; ③
所以原方程的解为x1=8或x2=4.
3.解方程x（x+1）=2时，要先把方程化为 ；
再选择适当的方法求解，得方程的两根为x1= ,x2= .
x2+x－2=0
－2
1
解: 原方程化为：
x2 - 3x －28= 0，
(x－7)(x+4)=0，
x1=7，x2=－4.
解：化为一般式为
因式分解，得
x2－2x+1 = 0.
( x－1 )( x－1 ) = 0.
有 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0，
x1=x2=1.
解：因式分解，得
( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0.
有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0，
4. 解方程：
5.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．
解：设小圆形场地的半径为r，
根据题意 π( r + 5 )2=2πr2.
因式分解，得
于是得
答：小圆形场地的半径是
因式分解法
概念
步骤
简记歌诀：
右化零 左分解
两因式 各求解
如果a ·b=0，那么a=0或b=0.
原理
将方程左边因式分解，右边=0.
因式分解的方法有
ma+mb+mc=m(a+b+c);
a2 ±2ab+b2=(a ±b)2；
a2 -b2=(a +b)(a -b).
课堂小结
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
的求根公式：
x=
(b2-4ac≥ 0)
算一算
（1）x2-7x+12=0
(2)x2+3x-4=0
(3) 2x2+3x-2=0
解下列方程并完成填空：
方程 两根 两根和
X1+x2 两根积
x1x2
x1 x2
x2-7x+12=0
x2+3x-4=0
2x2+3x-2=0
3
4
12
7
1
-3
- 4
- 4
-1
-2
一元二次方程的根与系数的关系：
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 ,
那么x1+x2= , x1x2=
（韦达定理）
注：能用根与系数的关系的前提条件
为b2-4ac≥0
韦达（1540－1603）
韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。
他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。
韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。
一元二次方程根与系数关系的证明：
X1+x2=
+
=
=
X1x2=
●
=
=
=
如果方程x2+px+q=0的两根是
x1 ，x2，那么x1+x2= ,
x1x2=
－P
q
推论
例1、不解方程，求方程两根的和与两根的积：
①
②
解：①
②
我能行1
原方程可化为：
二次项不是1，可以先把它化为1
∴
答：方程的另一个根是
，
的值是
。
例2、已知方程
求它的另一个根及
的一个根是2
的值。
原方程可化为：
想一想，还有其他方法吗？
还可以把 代入方程的两边，求出
解：
，那么
设方程的另一根是
∴
又∵
我能行2
例3、不解方程，求一元二次方程
两个根的①平方和；②倒数和。
设方程的两根是
，那么
①
②
解：
我能行3
所求的方程是：
解：
我能行4
例4、求运用根与系数的关系一个一元二次方程，使它的两个根是：
，
即：
或：
（1）下列方程两根的和与两根的积各是多少？
；②
③
；④
①
求它的另一个根及
（2）已知方程
的值。
的一个根是1，
是方程
不解方程，求下列各式的值:
（3）设
的两个根,
①
②
开启智慧
知识在于积累
知识在于积累
（4）求一个一元二次方程，使它的两个根分别为：
；②
①
（5）已知两个数的和等于
，积等于
求这两个数
开启智慧
根与系数关系小结
1、已知方程的一个根求另一个根及未知数
（也可以用根的定义求解）
对于一元二次方程 的两根
2、求关于两根的代数式的值
如:两根的平方和、两根的倒数和等
3、以x1、x2 为根的一元二次方程
x2-(x1+x2)x+x1x2=0，
1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1
∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2
由根与系数的关系得x1+x2= , x1x2=
∴
解得k1=9,k2= -3
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
探究
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得
即-8k+4≥0
由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2
∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4
由X12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4
解得k1=0 , k2=4
经检验， k2=4不合题意，舍去。
∴ k=0
探究
21.2 解一元二次方程
21.2.1配方法
第1课时 直接开平方法
1.什么叫做平方根?
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫
做a的平方根。
知识回顾
用式子表示：
若x2=a，则x叫做a的平方根。记作x=
如：9的平方根是______
±3
的平方根是______
2.平方根有哪些性质？
(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互
为相反数的；(2)零的平方根是零；
(3)负数没有平方根。
即x= 或x=
3.完全平方公式
（1）乘法公式：
（a+b）2 = a2 + 2ab + b2 .
(a - b）2 = a2 - 2ab + b2 .
（2）因式分解：
a2 + 2ab + b2 = （a+b）2 .
a2 - 2ab + b2 = (a - b）2 .
你会解哪些方程，如何解的？
二元、三元一次方程组
一元一次方程
一元二次方程
消元
降次
思考：如何解一元二次方程．
1．创设情境，导入新知
问题1 一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
10×6x2=1 500
由此可得
x2=25
即
x1=5，x2=－5
可以验证，5和－5是方程 ① 的两根，但是棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5 dm．
设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程
①
问题2 解方程 x 2 = 25，依据是什么？
解得 x 1 = 5，x 2 = - 5．
平方根的意义
请解下列方程： x 2 = 3，2x 2 - 8=0，x 2 = 0，x 2 = - 2…
这些方程有什么共同的特征？
结构特征：方程可化成 x 2 = p 的形式，
平方根的意义
降次
（当 p≥0 时）
2．推导求根公式
归纳
一般地，对于方程 x 2 = p
（1）当p>0时，方程有两个不等的实数根
x 1 = ，x 2 = ；
（2）当p = 0时，方程有两个相等的实数根
x1 =x2 =0；
（3）当p<0时，方程无实数根.
像解x2=4，x2-2=0这样，
什么叫直接开平方法？
概括总结
形如 x2=a( )，
利用平方根的定义
.
直接开平方求一元二次方程的解的方法
叫直接开平方法
例1、解下列方程
（1）3x2-27=0 （2）4x2-1= -1 (3)2x2+3= 1
解：（1）移项，得3x2=27
∴x=±3
即 x1=3，x2= -3
（2）移项，得4x2=0
系数化为1，得 x2=0
例题练习
系数化为1，得x2=9
即 x1=x2= 0
（3）移项，合并同类项，得 2x2 = - 2 .
因为实数的平方不会是负数，所以原方程无实数根.
例2、解下列方程：
⑴（x＋3）2= 5 （2）
分析：只要将（x＋3）看成是一个整体，
就可以运用直接开平方法求解；
解：开平方，得
例题练习
x+3=
∴x+3=
或x+3=- （3）
即x1=-3+
，x2=-3-
上面的解法中，由方程（2）得到（3），实质上是把一个一元
二次方程“降次”转化为两个一元一次方程，这样就把方程（2）
转化为我们会解的方程了。
⑵ （x－1）2－4 = 0
∴ x1=3，x2=-1
解：移项，得（x-1）2=4
∴x-1=±2
即x-1=+2 或x-1=-2
例题练习
⑶ 12（3－2x)2－3 = 0
例题
解：移项，得 12（3－2x)2 = 3.
（3－2x)2 =
解下列方程：
方程的两根为
练 习（课本第6页）
解：
方程的两根为
解：移项
x＋6=3
x＋6=－3,
方程的两根为
x1 =－3,
x1 =－9.
解：
方程的两根为
解：
方程的两根为
解：9x2 = - 4
因为实数的平方不会是负数，
所以方程无实数根.
小结
1.直接开平方法的理论根据是
平方根的定义
2.用直接开平方法可解形如χ2=a(a≥0)或
（χ－a）2=b（b≥0)类的一元二次方程。
3.方程χ2=a(a≥0)的解为：χ=
方程（χ－a）2=b（b≥0)的解为：χ=
想一想：
小结中的两类方程为什么要加条件：a≥0,b≥0呢？
21.2 解一元二次方程
21.2.1配方法
第2课时 配方法
探究 怎样解方程 x 2 + 6x + 4 = 0 ①？
x 2 + 6x + 9 = 5 ②
（x + 3）= 5
2
推导求根公式
试一试：与方程 x2 + 6x + 9 = 5 ② 比较，
怎样解方程 x2 + 6x + 4 = 0 ① ？
怎样把方程①化成方程②的形式呢？
怎样保证变形的正确性呢？
即
由此可得…
解：
左边写成平方形式
移项
x2 + 6x = -4 ③
两边加 9
= -4 + 9
x2 + 6x + 9
推导求根公式
（x + 3）= 5
2
回顾解方程过程：
两边加 9，左边
配成完全平方式
移项
左边写成完全
平方形式
降次
解一次方程
x2 + 6x + 4 = 0
x2 + 6x = -4
x2 + 6x + 9 = -4 + 9
，或
，
推导求根公式
（x + 3）= 5
2
想一想：以上解法中，为什么在方程③两边加 9？
加其他数可以吗？如果不可以，说明理由．
两边加 9
一般地，当二次项系数为 1 时，二次式加上一次项系数一半的平方，二次式就可以写成完全平方的形式．
x2 + 6x = -4 ③
x2 + 6x + 9 = -4 + 9
推导求根公式
（x + 3）= 5
2
9，即 2 = 3 2 = 9
（ ）
议一议：结合方程①的解答过程，说出解一般二次
项系数为 1 的一元二次方程的基本思路是什么？具体步
骤是什么？
配成完全平方形式
通过 来解一元二次方程的方法，
叫做配方法．
配方
具体步骤：
（1）移项；
（2）在方程两边都加上一次项系数一半的平方．
推导求根公式
平方根的意义
降次
（当 p≥0 时）
问题5 通过解方程 x 2 + 6x + 4=0 ，请归纳这类方程是怎样解的？
归纳配方法解方程的步骤
结构特征：方程可化成 的形式，
（x + n）= p
2
（2）配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些?
归纳配方法解方程的步骤
（1）用配方法解一元二次方程的基本思路是什么？
把方程配方为 的形式，运用开平方法，
降次求解．
（x + n）= p
2
解一元二次方程的一般步骤：
两边加 9，左边
配成完全平方式
移项
左边写成完全
平方形式
降次
x2 + 6x + 4 = 0
x2 + 6x = -4
x2 + 6x + 9 = -4 + 9
，或
归纳配方法解方程的步骤
（x + 3）= 5
2
解一次方程
，
例1 解下列方程
（1）x2 - 8x + 1 = 0.
解：移项，得 x2 - 8x = -1.
配方，得 x2 - 8x + 42 = -1+42 .
（x-4）2 = 15.
由此可得 x-4 =
x1 = 4+ ,x2 =4-
（2）2x2 + 1 = 3x.
解：移项，得 2x2 -3x=-1.
二次项系数化为1，得 x2 -
配方，得
由此可得
x1 =1，x2 =
x2- x+( )2= +( )2
(x- )2=
（3）3x2 - 6x + 4 = 0.
解：移项，得 3x2 - 6x = -4.
二次项系数化为1，得 x2 -2x = .
配方，得 x2 - 2x + 12 = + 12 .
（x - 1）2 = .
因为任何实数的平方不会是负数，所以
原方程无实数根.
归纳
一般地，如果一个一元二次方程通过配方化成
（x + n）2 = p （II）
的形式，那么就有：
（1）当p>0时，方程（II）有两个不等的实数根
x1 = -n- ，x2 =
（2）当p = 0时，方程（II）有两个相等的实数根 x1=x2=-n .
（3）当p< 0时，因为对任意实数x，都有
（x+n）2 ≥ 0，所以方程（II）无实数根.
4．归纳小结
（2）配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些?
（3）在配方法解一元二次方程的过程中应该注意
哪些问题?
（1）用配方法解一元二次方程的基本思路是什么？
把方程配方为 的形式，运用开平方法，
降次求解．
（x + n）= p
2
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边;
配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
求解:解一元一次方程;
定解:写出原方程的解.
