21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 用一元二次方程解决
传播类问题
列方程解应用题时有哪些基本步骤？
知识回顾
①审题；
②设未知数；
③根据等量关系列方程(组)；
④解方程(组)；
⑤检验作答.
有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
探 究
思考：
1、问题中哪些量是我们要关注的？
2、存在哪些数量关系？
第几轮 传染源 传染源传染的人数 传染后患流感的 总 人 数
第一轮
第二轮
1
x
1+x
1+x
(1+x)x
1+x+(1+x)x
设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
1+x+(1+x)x=121.
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
1+x+(1+x)x=121.
解方程，得
x1=10，x2=-12（不合题意，舍去）.
答：每轮传染中平均一个人传染了10个人.
列方程
第几轮 传染源 传染源传染的人数 传染后患流感的 总 人 数
第一轮
第二轮
1
x
1+x
1+x
(1+x)x
1+x+(1+x)x
第三轮
第n轮
(1+x)2
(1+x)2
(1+x)2x
(1+x)3
(1+x)2+(1+x)2x
(1+x)n
按照前面的探究方法，请思考：
以这样的传播速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？n轮后呢？
通过上面问题的探究，你能归纳利用一元二次方程解决实际问题的步骤吗？
①审题；
②设未知数；
③根据等量关系列方程；
④解方程；
⑤检验作答.
练一练
1、甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？
解：每天平均一个人传染了x人.
1+x+(1+x)x=9.
解方程，得
x1=2，x2=-4（不合题意，舍去）.
答：每天平均一个人传染了2人.
列方程
再经过5天的传染后，这个地区一共将会有(1+x)7=37=2187人患甲型流感.
练一练
2、早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝.在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上甲肝，则x的值为（ ）？
A.10 B.9 C.8 D.7
D
3、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支？
练一练
解：每个支干长出x个小分支.
1+x+x · x=91.
解方程，得
x1=9，x2=-10（不合题意，舍去）.
答：每个支干长出9个小分支.
列方程
4、为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有111个人参与了传播活动，则n=______.
练一练
10
课堂小结
列一元二次方程解应用题，步骤与以前列方程(组)解应用题一样，其中审题是解决问题的基础，找等量关系列方程是关键，恰当灵活地设元直接影响着列方程与解法的难易，它可以为正确合理的答案提供有利的条件.方程的解必须进行实际题意的检验.
21.3实际问题与一元二
次方程
第2课时 用一元二次方程解决
增降率问题
学习目标
1.会建立数学模型解决“增长率”与“降低率”的问题.
2.体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程.
交流 展示
交流：针对预习中遇到的难点、疑点、总结到的方法进行组内、组际交流.
展示：小组交流，形成共识，进行课堂展示。展示时要讲清解题思路、易错点等.
观察与思考
问题：我班洋洋同学学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是a分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，她第三次数学成绩是多少？三次月考数学总成绩是多少？(书写出完整的解题过程，结果用含有a的代数式表示.）
平均增长（降低）率问题
探究2 两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
探究
下降率是下降额与原成本的比值；
下降率= ×100%
原成本－终成本
原成本
分析:甲种药品成本的年平均下降额为
乙种药品成本的年平均下降额为
乙种药品成本的年平均下降额较大.
但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率.
(5000-3000)÷2=1000(元)
(6000-3600)÷2=1200(元)
探究
①如果甲种药品成本平均每年的下降率为x，则下降一次后的成本变为 ，再次下降后的成本变为 .（用代数式表示）
②设甲种药品成本平均每年的下降率为x，由
等量关系 可得方程 ，解这个方程，得到方程的两根，根据问题的实际意义，应选择哪个根呢？为什么？
5000(1-x)
5000(1-x) 2
终成本=原成本×(1－下降率)2
5000(1-x)2=3000
比较两种药品成本的年平均下降率.
经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗?应怎样全面地比较对象的变化状况?
答：经过计算,甲乙两种药品的平均下降率相同 .成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.
探究
课堂小结
增长(下降)率问题
增长率问题
下降率问题
基数为a,平均增长/下降率为x
第一次增长
第二次增长
第n次增长
第一次下降
第二次下降
第n次下降
a(1+x)
a(1+x)2
a(1+x)n
a(1－x)
a(1－x)2
a(1－x)n
a(1±x)n
若 a为起始量，b为终止量，n为增长或降低的次数，x为平均增长率或降低率，则平均增长（或降低）率公式为： .
方法归纳与总结：
谢谢同学们的努力！
第3课时 用一元二次方程解决几何图形问题
21.3 实际问题与一元二次方程
用一元二次方程解决实际问题的步骤：
知识回顾
一审二设三列四解五验答
学习目标：
1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
2.列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题。
重点和难点：
用方程刻画出数学模型准确解决实际问题，体会转化思想在数学中的应用。
学习目标及重难点
1.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?
试一试
解:设道路宽为x米，则
化简得，
其中的 x=35＞20，应舍去.
答:道路的宽为1米.
变式练习1：如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路，要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?
变式练习2：如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路，要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?
探究3.要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?
解：设中央长为9x cm，宽均为7x cm.
由题意，可列出方程为：
9x ?7x=
上下边衬宽为（27-9×2.6）/2=1.8(cm)
左右边衬宽为（27-7×2.6）/2=1.4(cm)
答：上下边衬宽为1.8cm，左右边衬宽为1.4cm。
解得x1≈2.6，x2≈-2.6(舍去).
分析：封面的长宽之比是27∶21=9∶7，中央的长方形的长宽之比也应是9∶7，若设中央的长方形的长和宽分别是9a cm和7a cm，由此得上下边衬与左右边衬的宽度之比是1/2(27-9a)∶1/2(21-7a)=
怎样设未知数可以更简单的解决上面的问题？
9:7
解：设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm.则中央矩形的长为（27-18x) cm，宽为（21-14x）cm
由题意，可列出方程为：
(27-18x)(21-14x)=
整理，得 16x2-48x+9=0
解方程，得
解得x1≈2.8，x2≈0.2
x为2.8时，中央矩形长和宽都为负数，舍去。
答：上下边衬宽为1.8cm，左右边衬宽为1.4cm。
3.如图，有长为24米的篱笆，一面利用（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米，面积为S米2，
（1）求S与x的函数关系式;（2）如果要围成面积为45米2的花圃，AB的长是多少米？
解：(1)设宽AB为x米，则BC为(24-3x)米，
S=x(24-3x)=-3x2+24x
(2)由条件-3x2+24x=45
化为：x2-8x+15=0解得x1=5，x2=3
∵0＜24-3x≤10得14/3≤x＜8
∴x2不合题意，AB=5，即花圃的宽AB为5米。
1.如图，某小区规划在一个长为40米、宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽度的马路，其余部分种草.若使每一块草坪的面积都是144 m2，求马路的宽。
随堂小练
解：设马路宽为x，根据题意得
(40-2x)(26-x)=144×6，
化简，得:x2-46x+88=0，
解得：x1=2，x2=44，
由题意：40-2x>0，26-x>0，则x<20.故x2=44不合题意，应舍去，∴x=2.
答：马路的宽为2 m.
2.要为一幅长29 cm，宽22 cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米？
解：设镜框边的宽度为x cm，则有(29+2x)(22+2x)=(1/4+1)×(29×22)，即4x2+102x-159.5=0，
解得x1=1.48，x2=-26.98(舍去).
答：镜框边的宽度应是1.48cm.
3.用一根长40 cm的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为75 cm2.
(1)求此长方形的宽是多少？
(2)能围成一个面积为101 cm2的长方形吗？如能，说明围法。
解：(1)设此长方形的宽为x cm，则长为(20-x)cm. 根据题意，得x(20-x)=75.
解得：x1=5，x2=15(舍去).
答：此长方形的宽是5 cm.
(2)不能.由x(20-x)=101，即x2-20x+101=0，
知Δ=202-4×101=-4<0，方程无解，故不能围成一个面积为101 cm2的长方形。
课堂小结
用一元二次方程解决的特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程。修路问题，通常采用平移方法，使剩余部分为一完整矩形。
列一元二次方程解决实际问题时要注意对答案进行检验，看是否符合题的实际意义。
