江西省新余市新西中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题

江西省新余市新西中学2018_2019学年（上）期期中考试
高二理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.若，则一定有（ ）
A． B． C． D．
3.已知以椭圆的一个焦点和短轴的两个端点为顶点恰好构成正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4.下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．若为真命题，则都不为假命题
B．命题“若，则”的否命题为“若，则”
C. 命题“若，则”的逆否命题为真命题
D．命题“，使得”的否定是“，都有”
5.若满足约束条件，则的最小值为（ ）
A． B． C. D．
6.设，则“”是“直线与直线”平行的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7.“牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上（图1），好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如（图2）所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图与侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（ ）

A． B． C. D．
8.已知，则的最小值是（ ）
A． B． C. D．
9.函数的部分图像大致为（ ）
A． B． C. D．
10.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥为鳖臑；平面，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C. D．
11.在中，若分别为边上的三等分点，则（ ）
A． B． C. D．
12.如图，正四面体的顶点分别在两两垂直的三条射线上，在下列命题中，错误的是（ ）

A．四面体是正三棱锥 B．直线与平面相交 C.异面直线和所成角是 D．直线与平面所成的角的正弦值为
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.等差数列的前项和为，则其通项公式 ．
14.若，则 ．
15.已知点和圆，过点的动直线与圆交于，则弦的中点的轨迹方程 ．
16.已知函数，若方程恰有个互异的实数根，则实数的取值范围为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知，设实数满足；函数的定义域为，且是的必要不充分条件，求的取值范围.
18. 已知长方体，点为中点.

（1）求证：面；
（2）求点到面的距离.
19. 已知各项均不为零的数列满足：，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
20. 设向量，函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）中边所对的角为，若，当取最大值时，求的面积.
21. 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面
是的中点.

（1）证明：直线平面；
（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值.
22. 如图，点是椭圆的一个顶点，的长轴是圆的直径. 是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于两点交椭圆于另一点.

（1）求椭圆的方程；
（2）求面积取最大值时直线的方程.

试卷答案
一、选择题
1-5:ABCCD 6-10:AABBC 11、12：AD
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：由是的必要不充分条件，转化成它的逆否命题是的必要不充分条件，即是的充分不必要条件，即：且.
化简条件得，，
由得，
由，得，解得.所以，的取值范围是.
18.解：（1）长方体，
在面上的射影是，且.
由三垂线定理得.
同理，在面上的射影是，在矩形中，点为中点.
是等腰直角三角形，即.从而，.
面.（证毕）
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，
易得，
由（1）知，是面的一个法向量.
设点到面的距离为，则.

19.解：（1）由题，，所以，数列是等比数列，
设公比为，又，
所以，.
（2）由（1），，
数列的前项和.
20.解：（1）

的最小正周期是.
（2）即

又，
时取到最大值
此时，又.
21.（1）取的中点，连接.
因为是的中点，所以，由得，又，所以.四边形为平行四边形，.
又平面平面，故平面.
（2）由已知得，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，则，
因为与底面所成的角为，而是底面的法向量，
所以，即①
又在棱上，设，则.②
由①，②解得（舍去），.
所以，从而.
设是平面的法向量，则，即.
所以可取.于是，
因此二面角的余弦值为.

22.解：（1）由已知得到，且，所以椭圆的方程是；
（2）因为直线，且都过点，所以
①当直线的斜率不存在时，易知直线与椭圆相切，不合题意.
②当直线的斜率存在且不为时，设直线，
直线，所以圆心到直线的距离为，所以直线被圆所截的弦；
由，所以，所以
，
（当时，等号成立.）
③当时，.
综上所述，当面积取最大值时直线的方程为.






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