22.2 二次函数与一元二次方程导学案(教师版+学生版)

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名称 22.2 二次函数与一元二次方程导学案(教师版+学生版)
格式 zip
文件大小 3.0MB
资源类型 试卷
版本资源 人教版
科目 数学
更新时间 2019-06-24 07:42:22

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《22.2二次函数与一元二次方程》导学案
课题 二次函数与一元二次方程 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 1.会用用函数y=ax2+bx+c的图象求方程ax2+bx+c=0的解。 2.体验函数y=x2和y=bx+c的交点的横坐标是方程x2=bx+c的解的探索过程,掌握用函数y=x2和y=bx+c图象交点的方法求方程ax2=bx+c的解。
重点难点 重点: 用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力难点: 提高学生综合解题能力,渗透数形结合的思想
教学过程
知识链接 函数y=2x-4与 x 轴的交点坐标:_____________方程2x-4=0的解:_____________
合作探究 如下图,以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系h=20t-5t2.考虑以下问题: (1)小球的飞行高度能否达到15 m?如果能,需要多少飞行时间? (2)小球的飞行高度能否达到20 m?如果能,需要多少飞行时间? (3)小球的飞行高度能否达到20.5 m?为什么? (4)小球从飞出到落地要用多少时间? ●归纳总结: 从上面可以看出,二次函数与一元二次方程关系密切. 例如,已知二次函数y = -x2+4x的值为3,求自变量x的值,可以解一元二次方程-x2+4x=______(即x2-4x+3=0).反过来,解方程x2-4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2-4x+3 的值为_____,求自变量x的值.一般地,我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c 深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0 思考:下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时,函数值是多少?由此,你能得出相应的一元二次方程的根吗? (1)y=x2+x-2; (2)y=x2-6x+9; (3)y=x2-x+1. ●归纳总结:从二次函数y=ax2+bx+c的图象可以得出什么结论呢? 归纳:一般地,从二次函数y=ax2+bx+c的图象可得如下结论. (1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,函数值是_____,因此x=_____是方程ax2+bx+c=0的一个根. (2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种: 没有公共点→→对应一元二次方程ax2+bx+c=0_______实数根, 有一个公共点→→对应一元二次方程ax2+bx+c=0有_______的实数根 有两个公共点→→对应一元二次方程ax2+bx+c=0有____实数根. 例1、利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1). 方法:(1)先作出图象; (2)写出交点的坐标; (3)得出方程的解. 例2、二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 根据图象回答下列问题: (1)写出关于 x 的不等式 ax2+bx+c>0 的解集; (2)写出关于 x 的不等式 ax2+bx+c<0 的解集. ●归纳总结:二次函数与一元二次不等式的关系: (1)从“形”的 (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)方面看,二次函数y=ax2+bx+c在x轴上方的图象上的点的横坐标,即为一元二次不等式ax2+bx+c____0的解;在x轴下方的图象上的点的横坐标.即为一元二次不等式ax2+bx+c_____0的解。 (2)从“数”的方面看,当二次函数y=ax2+bx+c的函数值____0时,相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2+bx+c>0的解;当二次函数y=ax2+bx+c的函数值______0时,相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2+bx+c<0的解。这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系。
自主尝试 方程x2+4x-5=0的根是______;则函数y=x2+4x-5的图象与x轴的交点有______个,其坐是____________.2、方程-x2+10x-25=0 的根是____________;则函数y=-x2+10x-25的图象与x轴的交点有____________个,其坐标是____________.3、已知抛物线y=x2 – 8x + c的顶点在 x轴上,则 c =____________.4、下面表格列出了函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0)部分x与y的对应值,那么方程ax2+bx+c=0的一个根x的取值范围是(  ) A.6<x<6.17      B.6.17<x<6.18 C.6.18<x<6.19 D.6.19<x<6.205、下列函数的图象中,与x轴没有公共点的是( )A.y=x2-2 B.y=x2-x C.y=-x2+6x-9 D.y=x2-x+26、如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=___,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有__个交点.7、若二次函数y=m(x+h)2+k(m,h,k均为常数,m≠0)的图象与x轴的交点分别为(-3,0),(2,0),则方程m(x+h-2)2+k=0的两根为(  ) A.x1=-5,x2=0 B.x1=-1,x2=4 C.x1=-2,x2=4 D.x1=-5,x2=1 8、小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根,作出如图所示的图象,并求得一个近似根x≈-3.4,则方程的另一个近似根(精确到0.1)为(  ) A.4.4    B.3.4 C.2.4 D.1.4
当堂检测 如图 是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分,其对称轴为直线 x=1,若其与 x 轴一交点为 A(3,0),则由图象可知,不等式 ax2+bx+c<0 的解集是__________.2、对于抛物线y=x2-4x+3. (1)它与x轴交点的坐标为____________,与y轴交点的坐标为____________, 顶点坐标为____________;? (2)在所给的平面直角坐标系中画出此抛物线; (3)结合图象回答问题:当10的解集; (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围; (4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,求k的取值范围. 4、已知二次函数y=2x2-mx-m2 (1)求证对于任意实数m,该二次函数的图像与x轴总有公共点, (2)若该二次函数的图像与x轴有两个公共点A、B,且A(1,0)求B点的坐标。
小结反思 今天你学习了什么?有什么收获?



















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《22.2二次函数与一元二次方程》导学案
课题 二次函数与一元二次方程 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 1.会用用函数y=ax2+bx+c的图象求方程ax2+bx+c=0的解。 2.体验函数y=x2和y=bx+c的交点的横坐标是方程x2=bx+c的解的探索过程,掌握用函数y=x2和y=bx+c图象交点的方法求方程ax2=bx+c的解。
重点难点 重点: 用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力难点: 提高学生综合解题能力,渗透数形结合的思想
教学过程
知识链接 函数y=2x-4与 x 轴的交点坐标:_____________方程2x-4=0的解:_____________ 我们从一次函数的角度看一元一次方程,认识了一次函数与一元一次方程的联系.本节我们从二次函数的角度看一元二次方程,认识二次函数与一元二次方程的联系.先来看下面的问题.
合作探究 如下图,以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系h=20t-5t2.考虑以下问题: (1)小球的飞行高度能否达到15 m?如果能,需要多少飞行时间? (2)小球的飞行高度能否达到20 m?如果能,需要多少飞行时间? (3)小球的飞行高度能否达到20.5 m?为什么? (4)小球从飞出到落地要用多少时间? 教师引导学生阅读例题,请大家先发表自己的看法,然后解答. 分析:由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h=20t-5t2,所以可以将问题中h的值代入函数解析式,得到关于t的一元二次方程.如果方程有合乎实际的解,则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值;否则,说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值. 解:(1)解方程15=20t-5t2, t2-4t+3=0, t1=1,t2=3. 当小球飞行1s和3s时,它的飞行高度为15m. (2)解方程20=20t-5t2, t2-4t+4=0, t1=t2=2.当小球飞行2s时,它的飞行高度为20m. (3)解方程20.5=20t-5t2, t2-4t+4.1=0, 因为(-4)2-4×4.1<0,所以方程无实数根.这就是说,小球的飞行高度达不到20.5m. (4)解方程0=20t-5t2, t2-4t=0,t1=0,t2=4. 当小球飞行0 s和4s时,它的高度为0 m.这表明小球从飞行到落地要用4s.从上图来看,0 s时小球从地面飞出,4 s时小球落回地面. ●归纳总结: 从上面可以看出,二次函数与一元二次方程关系密切. 例如,已知二次函数y = -x2+4x的值为3,求自变量x的值,可以解一元二次方程-x2+4x=3(即x2-4x+3=0).反过来,解方程x2-4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2-4x+3 的值为0,求自变量x的值.一般地,我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c 深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0 思考:下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时,函数值是多少?由此,你能得出相应的一元二次方程的根吗? (1)y=x2+x-2; (2)y=x2-6x+9; (3)y=x2-x+1. 教师引导学生画出函数的图象(可见教材第45页),然后说说有什么特点和性质. (1)抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点,它们的横坐标是-2,1.当x取公共点的横坐标时,函数值是0.由此得出方程x2+x-2=0的根是-2,1. (2)抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点,这点的横坐标是3.当x=3时,函数值是0.由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根3. (3)抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点.由此可知,方程x2-x+1=0没有实数根.●归纳总结:从二次函数y=ax2+bx+c的图象可以得出什么结论呢? 归纳:一般地,从二次函数y=ax2+bx+c的图象可得如下结论. (1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,函数值是0,因此x=x0是方程ax2+bx+c=0的一个根. (2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种: 没有公共点→→对应一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根, 有一个公共点→→对应一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根有两个公共点→→对应一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根. 例1、利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1). 方法:(1)先作出图象; (2)写出交点的坐标; (3)得出方程的解. 解:作y=x2-2x-2的图象(如右图所示) 它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7,2.7.所以方程x2-2x-2=0的实数根为 x1≈0.7,x2≈2.7. 例2、二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 根据图象回答下列问题: (1)写出关于 x 的不等式 ax2+bx+c>0 的解集; (2)写出关于 x 的不等式 ax2+bx+c<0 的解集. 解:(1)不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|13}.●归纳总结:二次函数与一元二次不等式的关系: 让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系,讨论、交流,达成共识: (1)从“形”的 (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)方面看,二次函数y=ax2+bx+c在x轴上方的图象上的点的横坐标,即为一元二次不等式ax2+bx+c>0的解;在x轴下方的图象上的点的横坐标.即为一元二次不等式ax2+bx+c<0的解。 (2)从“数”的方面看,当二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于0时,相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2+bx+c>0的解;当二次函数y=ax2+bx+c的函数值小于0时,相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2+bx+c<0的解。这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系。
自主尝试 1、方程x2+4x-5=0的根是______;则函数y=x2+4x-5的图象与x轴的交点有______个,其坐是____________.答案:-5,1、 2、 (-5,0)(1,0)2、方程-x2+10x-25=0 的根是____________;则函数y=-x2+10x-25的图象与x轴的交点有____________个,其坐标是____________.答案:x1=x2=5 、 1个、 (5,0)3、已知抛物线y=x2 – 8x + c的顶点在 x轴上,则 c =____________.答案:164、下面表格列出了函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0)部分x与y的对应值,那么方程ax2+bx+c=0的一个根x的取值范围是(  )C A.6<x<6.17      B.6.17<x<6.18 C.6.18<x<6.19 D.6.19<x<6.205、下列函数的图象中,与x轴没有公共点的是( )DA.y=x2-2 B.y=x2-x C.y=-x2+6x-9 D.y=x2-x+26、如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=___,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有__个交点.答案:1、 17、若二次函数y=m(x+h)2+k(m,h,k均为常数,m≠0)的图象与x轴的交点分别为(-3,0),(2,0),则方程m(x+h-2)2+k=0的两根为(  )B A.x1=-5,x2=0 B.x1=-1,x2=4 C.x1=-2,x2=4 D.x1=-5,x2=1 8、小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根,作出如图所示的图象,并求得一个近似根x≈-3.4,则方程的另一个近似根(精确到0.1)为(  ) D A.4.4    B.3.4 C.2.4 D.1.4
当堂检测 如图 是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分,其对称轴为直线 x=1,若其与 x 轴一交点为 A(3,0),则由图象可知,不等式 ax2+bx+c<0 的解集是__________.答案:-1<x<32、对于抛物线y=x2-4x+3. (1)它与x轴交点的坐标为____________,与y轴交点的坐标为____________, 顶点坐标为____________;? (2)在所给的平面直角坐标系中画出此抛物线; (3)结合图象回答问题:当10的解集; (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围; (4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,求k的取值范围. 解:(1)由图象可知图象与x轴交于点(1,0)和(3,0), 则方程ax2+bx+c=0的两个根为x=1或x=3.  (2)由图象可知当10的解集为12时,y随x的增大而减小. 由图象可知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值为2.若方程ax2+bx+c=k有 两个不相等的实数根,则k必须小于y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值,即k<2. 4、已知二次函数y=2x2-mx-m2 (1)求证对于任意实数m,该二次函数的图像与x轴总有公共点, (2)若该二次函数的图像与x轴有两个公共点A、B,且A(1,0)求B点的坐标。 (1)当二次函数图象与x轴相交时,2x2-mx-m2=0, △=(-m)2-4×2×(-m)2=9m2, ∵m2≥0,∴△≥0. ∴对于任意实数m,该二次函数图象与x轴总有公共点; (2)把(1,0)代入二次函数关系式,得0=2-m-m2, ∴m1=-2,m2=1, 当m=-2时,二次函数关系式为:y=2x2+2x-4, 令y=0,得:2x2+2x-4=0, 解得:x=1或-2, ∴二次函数图象与x轴有两个公共点的坐标是:(1,0),(-2,0); 又∵A点坐标为(1,0),则B(-2,0); 当m=1时,同理可得:B(,0).
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