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《22.2二次函数与一元二次方程》导学案
课题 二次函数与一元二次方程 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 1.会用用函数y＝ax2＋bx＋c的图象求方程ax2＋bx＋c＝0的解。 2．体验函数y＝x2和y＝bx＋c的交点的横坐标是方程x2＝bx＋c的解的探索过程，掌握用函数y＝x2和y＝bx＋c图象交点的方法求方程ax2＝bx＋c的解。
重点难点 重点： 用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力难点： 提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想
教学过程
知识链接 函数y=2x-4与 x 轴的交点坐标：_____________方程2x-4=0的解：_____________
合作探究 如下图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系h＝20t－5t2．考虑以下问题： （1）小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？ （2）小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？ （3）小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？ （4）小球从飞出到落地要用多少时间？ ●归纳总结： 从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切． 例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=______（即x2－4x+3=0）．反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为_____，求自变量x的值．一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c 深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0 思考：下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （1）y＝x2＋x－2； （2）y＝x2－6x＋9； （3）y＝x2－x＋1． ●归纳总结：从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可以得出什么结论呢？ 归纳：一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可得如下结论． （1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数值是_____，因此x＝_____是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根． （2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种： 没有公共点→→对应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0_______实数根， 有一个公共点→→对应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有_______的实数根 有两个公共点→→对应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有____实数根． 例1、利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（精确到0.1）. 方法:(1)先作出图象; (2)写出交点的坐标; (3)得出方程的解. 例2、二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图 根据图象回答下列问题： (1)写出关于 x 的不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集； (2)写出关于 x 的不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集． ●归纳总结：二次函数与一元二次不等式的关系： (1)从“形”的 (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)方面看，二次函数y＝ax2＋bx＋c在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c____0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标．即为一元二次不等式ax2＋bx＋c_____0的解。 (2)从“数”的方面看，当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值____0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值______0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解。这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系。
自主尝试 方程x2+4x-5=0的根是______；则函数y=x2+4x-5的图象与x轴的交点有______个，其坐是____________．2、方程-x2+10x-25=0 的根是____________；则函数y=-x2+10x-25的图象与x轴的交点有____________个，其坐标是____________．3、已知抛物线y=x2 – 8x + c的顶点在 x轴上，则 c =____________.4、下面表格列出了函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，且a≠0)部分x与y的对应值，那么方程ax2+bx+c=0的一个根x的取值范围是( ) A.6＜x＜6.17 B.6.17＜x＜6.18 C.6.18＜x＜6.19 D.6.19＜x＜6.205、下列函数的图象中，与x轴没有公共点的是（ ）A.y=x2-2 B.y=x2-x C.y=-x2+6x-9 D.y=x2-x+26、如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两个相等的实数根，则m=＿＿＿，此时抛物线 y=x2－2x+m与x轴有＿＿个交点.7、若二次函数y=m(x+h)2+k(m,h,k均为常数,m≠0)的图象与x轴的交点分别为(-3,0),(2,0),则方程m(x+h-2)2+k=0的两根为( ) A.x1=-5,x2=0 B.x1=-1,x2=4 C.x1=-2,x2=4 D.x1=-5,x2=1 8、小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根,作出如图所示的图象,并求得一个近似根x≈-3.4,则方程的另一个近似根(精确到0.1)为( ) A.4.4 B.3.4 C.2.4 D.1.4
当堂检测 如图 是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的一部分，其对称轴为直线 x＝1，若其与 x 轴一交点为 A(3,0)，则由图象可知，不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集是__________．2、对于抛物线y=x2-4x+3. (1)它与x轴交点的坐标为____________,与y轴交点的坐标为____________, 顶点坐标为____________;? (2)在所给的平面直角坐标系中画出此抛物线; (3)结合图象回答问题:当10的解集; (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围; (4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,求k的取值范围. 4、已知二次函数y=2x2-mx-m2 （1）求证对于任意实数m，该二次函数的图像与x轴总有公共点， （2）若该二次函数的图像与x轴有两个公共点A、B，且A（1，0）求B点的坐标。
小结反思 今天你学习了什么？有什么收获？
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《22.2二次函数与一元二次方程》导学案
课题 二次函数与一元二次方程 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 1.会用用函数y＝ax2＋bx＋c的图象求方程ax2＋bx＋c＝0的解。 2．体验函数y＝x2和y＝bx＋c的交点的横坐标是方程x2＝bx＋c的解的探索过程，掌握用函数y＝x2和y＝bx＋c图象交点的方法求方程ax2＝bx＋c的解。
重点难点 重点： 用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力难点： 提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想
教学过程
知识链接 函数y=2x-4与 x 轴的交点坐标：_____________方程2x-4=0的解：_____________ 我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系．本节我们从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系．先来看下面的问题．
合作探究 如下图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系h＝20t－5t2．考虑以下问题： （1）小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？ （2）小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？ （3）小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？ （4）小球从飞出到落地要用多少时间？ 教师引导学生阅读例题，请大家先发表自己的看法，然后解答． 分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t－5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程．如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值． 解：（1）解方程15＝20t－5t2， t2－4t＋3＝0， t1＝1，t2＝3． 当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m． （2）解方程20＝20t－5t2， t2－4t＋4＝0， t1＝t2＝2．当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m． （3）解方程20.5＝20t－5t2， t2－4t＋4.1＝0， 因为(－4)2－4×4.1＜0，所以方程无实数根．这就是说，小球的飞行高度达不到20.5m． （4）解方程0＝20t－5t2， t2－4t＝0，t1＝0，t2＝4． 当小球飞行0 s和4s时，它的高度为0 m．这表明小球从飞行到落地要用4s．从上图来看，0 s时小球从地面飞出，4 s时小球落回地面． ●归纳总结： 从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切． 例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c 深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0 思考：下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （1）y＝x2＋x－2； （2）y＝x2－6x＋9； （3）y＝x2－x＋1． 教师引导学生画出函数的图象（可见教材第45页），然后说说有什么特点和性质． （1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1．当x取公共点的横坐标时，函数值是0．由此得出方程x2＋x－2＝0的根是－2，1． （2）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3．当x＝3时，函数值是0．由此得出方程x2－6x＋9＝0有两个相等的实数根3． （3）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点．由此可知，方程x2－x＋1＝0没有实数根．●归纳总结：从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可以得出什么结论呢？ 归纳：一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可得如下结论． （1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根． （2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种： 没有公共点→→对应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根， 有一个公共点→→对应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根有两个公共点→→对应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等的实数根． 例1、利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（精确到0.1）. 方法:(1)先作出图象; (2)写出交点的坐标; (3)得出方程的解. 解：作y=x2-2x-2的图象(如右图所示) 它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7,2.7.所以方程x2-2x-2=0的实数根为 x1≈0.7，x2≈2.7. 例2、二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图 根据图象回答下列问题： (1)写出关于 x 的不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集； (2)写出关于 x 的不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集． 解：(1)不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|13}．●归纳总结：二次函数与一元二次不等式的关系： 让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系，讨论、交流，达成共识： (1)从“形”的 (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)方面看，二次函数y＝ax2＋bx＋c在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标．即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解。 (2)从“数”的方面看，当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解。这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系。
自主尝试 1、方程x2+4x-5=0的根是______；则函数y=x2+4x-5的图象与x轴的交点有______个，其坐是____________．答案：-5,1、 2、 （-5,0）（1,0）2、方程-x2+10x-25=0 的根是____________；则函数y=-x2+10x-25的图象与x轴的交点有____________个，其坐标是____________．答案：x1=x2=5 、 1个、 （5,0）3、已知抛物线y=x2 – 8x + c的顶点在 x轴上，则 c =____________.答案：164、下面表格列出了函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，且a≠0)部分x与y的对应值，那么方程ax2+bx+c=0的一个根x的取值范围是( )C A.6＜x＜6.17 B.6.17＜x＜6.18 C.6.18＜x＜6.19 D.6.19＜x＜6.205、下列函数的图象中，与x轴没有公共点的是（ ）DA.y=x2-2 B.y=x2-x C.y=-x2+6x-9 D.y=x2-x+26、如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两个相等的实数根，则m=＿＿＿，此时抛物线 y=x2－2x+m与x轴有＿＿个交点.答案：1、 17、若二次函数y=m(x+h)2+k(m,h,k均为常数,m≠0)的图象与x轴的交点分别为(-3,0),(2,0),则方程m(x+h-2)2+k=0的两根为( )B A.x1=-5,x2=0 B.x1=-1,x2=4 C.x1=-2,x2=4 D.x1=-5,x2=1 8、小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根,作出如图所示的图象,并求得一个近似根x≈-3.4,则方程的另一个近似根(精确到0.1)为( ) D A.4.4 B.3.4 C.2.4 D.1.4
当堂检测 如图 是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的一部分，其对称轴为直线 x＝1，若其与 x 轴一交点为 A(3,0)，则由图象可知，不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集是__________．答案：-1＜x＜32、对于抛物线y=x2-4x+3. (1)它与x轴交点的坐标为____________,与y轴交点的坐标为____________, 顶点坐标为____________;? (2)在所给的平面直角坐标系中画出此抛物线; (3)结合图象回答问题:当10的解集; (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围; (4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,求k的取值范围. 解:(1)由图象可知图象与x轴交于点(1,0)和(3,0), 则方程ax2+bx+c=0的两个根为x=1或x=3. (2)由图象可知当10的解集为12时,y随x的增大而减小. 由图象可知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值为2.若方程ax2+bx+c=k有 两个不相等的实数根,则k必须小于y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值,即k<2. 4、已知二次函数y=2x2-mx-m2 （1）求证对于任意实数m，该二次函数的图像与x轴总有公共点， （2）若该二次函数的图像与x轴有两个公共点A、B，且A（1，0）求B点的坐标。 （1）当二次函数图象与x轴相交时，2x2-mx-m2=0， △=（-m）2-4×2×（-m）2=9m2， ∵m2≥0，∴△≥0． ∴对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点； （2）把（1，0）代入二次函数关系式，得0=2-m-m2， ∴m1=-2，m2=1， 当m=-2时，二次函数关系式为：y=2x2+2x-4， 令y=0，得：2x2+2x-4=0， 解得：x=1或-2， ∴二次函数图象与x轴有两个公共点的坐标是：（1，0），（-2，0）； 又∵A点坐标为（1，0），则B（-2，0）； 当m=1时，同理可得：B（，0）．
小结反思 今天你学习了什么？有什么收获？
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