沪科版数学九年级上册同步课时训练
第二十一章 二次函数与反比例函数
21.2 二次函数的图象和性质
21.2.3 二次函数表达式的确定
自主预习 基础达标
要点 求二次函数的表达式
待定系数法确定二次函数表达式的步骤：
(1)设出适当的二次函数表达式，即一般式： 或顶点式： ，其中(－h，k)为顶点，或交点式： ，其中x1，x2为抛物线与x轴的两个交点的横坐标；
(2)根据已知信息，构建关于常数的 ；
(3)解方程(组)；
(4)把求出的常数的值代入所设的表达式.
课后集训 巩固提升
1. 已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为( )
A. y＝x2－2x＋3 B. y＝x2－2x－3
C. y＝x2＋2x－3 D. y＝x2＋2x＋3
2. 一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的表达式为( )
A. y＝－2(x－1)2＋3 B. y＝－2(x＋1)2＋3
C. y＝－(2x＋1)2＋3 D. y＝－(2x－1)2＋3
3. 抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为( )
A. y＝x2－2x－3 B. y＝x2－2x＋3
C. y＝x2＋2x－3 D. y＝x2＋2x＋3
4. 由表格中信息可知，若设y＝ax2＋bx＋c，则下列y与x之间的函数表达式正确的是( )
x
－1
0
1
ax2
1
ax2＋bx＋c
8
3
A. y＝x2－4x＋3 B. y＝x2－3x＋4
C. y＝x2－3x＋3 D. y＝x2－4x＋8
5. 如果抛物线经过点A(2，0)和B(－1，0)，且与y轴交于点C，若OC＝2，则这条抛物线的表达式是( )
A. y＝x2－x－2 B. y＝－x2－x－2或y＝x2＋x＋2
C. y＝－x2＋x＋2 D. y＝x2－x－2或y＝－x2＋x＋2
6. 已知抛物线的顶点为(－2，1)且经过点(1，－5)，则其函数表达式为 .
7. 已知二次函数的图象以A(－1，4)为顶点，且过点B(2，－5)，则该函数的表达式为 .
8. 如图，抛物线的表达式为 ，直线BC的表达式为 ，S△ABC＝ .
第8题 第9题
9. 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数表达式是 .
10. 已知二次函数的图象经过原点及点(－，－)，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的表达式为 .
11. 如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，－1)，B(0，2)，C(1，3).
(1)求二次函数的解析式；
(2)画出二次函数的图象.
12. 已知抛物线y＝ax2＋bx经过点A(－3，－3)和点P(t，0)，且t≠0.
(1)若该抛物线的对称轴经过点A，请通过观察图象，指出此y的最小值，并写出t的值；
(2)若t＝－4，求a，b的值，并指出此时抛物线的开口方向；
(3)直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值.
13. 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过坐标原点，并与x轴交于点A(2，0).
(1)求此抛物线的解析式；
(2)写出顶点坐标及对称轴；
(3)若抛物线上有一点B，S△OAB＝3，求点B的坐标.
14. 如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积.
15. 如图，顶点为A(，1)的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B.
(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；
(2)过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB.
16. 如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0).
(1)求a，b的值；
(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6).写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值.
参考答案
自主预习 基础达标
要点 y＝ax2＋bx＋c y＝a(x＋h)2＋k y＝a(x－x1)(x－x2) 方程(组)
课后集训 巩固提升
1. B 2. B 3. A 4. A 5. D
6. y＝－(x＋2)2＋1
7. y＝－(x＋1)2＋4
8. y＝x2－x－4 y＝x－4 12
9. y＝－x2＋2x＋3
10. y＝x2＋x或y＝－x2＋x
11. 解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，－1)，B(0，2)，C(1，3).∴解得∴y＝－x2＋2x＋2.
(2)画图略.
12. 解：(1)y的最小值为－3，t＝－6.
(2)分别把(－4，0)和(－3，－3)代入y＝ax2＋bx，得解得∴抛物线表达式为y＝x2＋4x，∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上.
(3)－1(答案不唯一)
13. 解：(1)∵y＝x2＋bx＋c过原点，∴c＝0.又∵y＝x2＋bx过点A(2，0)，∴b＝－2，∴y＝x2－2x.
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴顶点坐标为(1，－1)，对称轴为直线x＝1.
(3)∵点A的坐标为(2，0)，∴OA＝2.∵S△OAB＝3，∴OA·＝3，∴＝3.∵抛物线最低点坐标为(1，－1)，∴yB＝3，∴3＝x2－2x，即x2－2x－3＝0，(x－3)(x＋1)＝0，∴x1＝－1，x2＝3.∴点B的坐标为(－1，3)或(3，3).
14. 解：(1)把A(2，0)，B(0，－6)的坐标代入y＝－x2＋bx＋c，得解得∴这个二次函数的表达式为y＝－x2＋4x－6.
(2)∵该抛物线的对称轴为直线x＝－＝4，∴点C的坐标为(4，0).∴AC＝OC－OA＝4－2＝2.∴S△ABC＝·AC·OB＝×2×6＝6.
15. 解：(1)∵抛物线顶点为A(，1)，设抛物线对应的二次函数的表达式为y＝a(x－)2＋1，将原点坐标(0，0)代入表达式，得a＝－.∴抛物线对应的二次函数的表达式为y＝－x2＋x.
(2)将y＝0代入y＝－x2＋x中，解得x＝0(舍去)或x＝2，∴B点坐标为(2，0)，设直线OA对应的一次函数的表达式为y＝kx，将A(，1)代入表达式y＝kx中，得k＝，∴直线OA对应的一次函数的表达式为y＝x.∵BD∥AO，设直线BD对应的一次函数的表达式为y＝x＋b，将B(2，0)代入y＝x＋b中，解得b＝－2，∴直线BD对应的一次函数的表达式为y＝x－2.由得交点D的坐标为(－，－3)，将x＝0代入y＝x－2中，得C点的坐标为(0，－2)，由勾股定理，得OD＝＝2，又OA＝2＝OC，AB＝2＝CD，OB＝2＝OD.在△OAB与△OCD中，，∴△OAB≌△OCD.
(2)如图，过点A作x轴的垂线，垂足为D(2，0)，连接CD，CB，过点C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，S△OAD＝OD·AD＝×2×4＝4，S△ACD＝AD·CE＝×4×(x－2)＝2x－4；S△BCD＝BD·CF＝×4×(－x2＋3x)＝－x2＋6x，则S＝S△OAD＋S△ACD＋S△BCD＝4＋2x－4－x2＋6x＝－x2＋8x，∴S关于x的函数表达式为S＝－x2＋8x(2＜x＜6)，∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16.
