沪科版数学九年级上册同步课时训练
第二十一章 二次函数与反比例函数
21.3 二次函数与一元二次方程
自主预习 基础达标
要点1 二次函数与一元二次方程的关系
对于抛物线y＝ax2＋bx＋c，其图象与x轴的交点的个数取决于 的值.
当 时，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个唯一交点；
当 时，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个不同交点；
当 时，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点.
要点2 用二次函数的图象解一元二次方程
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，其图象与x轴的交点的 坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解.
要点3 二次函数与一元二次不等式的关系
若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2(x1＜x2)，则当a＞0时，使y＝ax2＋bx＋c＞0的x的取值范围是 ，使y＝ax2＋bx＋c＜0的x的取值范围是 ；当a＜0时，使y＝ax2＋bx＋c＞0的x的取值范围是 ，使y＝ax2＋bx＋c＜0的x的取值范围是 .
课后集训 巩固提升
1. 抛物线y＝2x2－2x＋1与坐标轴的交点个数是( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
2. 若二次函数y＝x2＋bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2＋bx＝5的解为( )
A. x1＝0，x2＝4 B. x1＝1，x2＝5
C. x1＝1，x2＝－5 D. x1＝－1，x2＝5
3. 若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为( )
A. 0 B. 0或2 C. 2或－2 D. 0，2或－2
4. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是( )
A. x＜－2 B. －2＜x＜4 C. x＞0 D. x＞4
第4题 第5题
5. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)和正比例函数y＝x的图象.如图所示，则方程ax2＋(b－)x＋c＝0(a≠0)的两根和( )
A. 大于0 B. 等于0 C. 小于0 D. 不能确定
6. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(2，0)，B(－3，0)两点，那么方程ax2＋bx＋c＝0的根为 .
7. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，当x＝2时，y＝－0.1；当x＝3时，y＝1.2，则x＝ (填“2”或“3”)可以看作是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个近似根.
8. 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是 .
9. 关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1(a，m，b均为常数，a≠0)，则方程a(x＋m＋2)2＋b＝0的解是 .
10. 已知函数y＝x2－x－1.
(1)当x为何值时，函数值y＝1?
(2)当x为何值时，函数值y＝5?
(3)是否存在x的值，使函数值y＝－3？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.
11. 画出函数y＝x2－2x－3的图象，根据图象回答下列问题：
(1)当x取何值时，y＞0？当x取何值时，y＜0?
(2)不等式x2－2x－3＞0与不等式x2－2x－3＜0的解集各是什么？
12. 已知抛物线y＝x2－x＋m.
(1)写出它的开口方向、对称轴，并用m表示它的顶点坐标；
(2)试求m在什么范围内取值时，抛物线全部在x轴上方.
13. 利用图象法求一元二次方程x2＋2x－10＝0的近似根.(精确到0.1)
14. 已知二次函数y1＝－x2＋bx＋c，且一元二次方程x2－bx－c＝0的两个根为x1＝－3，x2＝－1.
(1)求二次函数y1的表达式；
(2)将函数y1的图象向右平移3个单位，再向下平移5个单位，求所得的函数y2的表达式；
(3)设y1与x轴的两交点为A，B，抛物线y2的顶点为C，求△ABC的面积.
15. 如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(－2，－1)，B(0，7)两点.
(1)求该抛物线的表达式及对称轴；
(2)当x为何值时，y＞0?
(3)在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于C，D两点(点C在对称轴的左侧)，过点C，D作x轴的垂线，垂足分别为F，E.当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标.
参考答案
自主预习 基础达标
要点1 b2－4ac b2－4ac＝0 b2－4ac＞0 b2－4ac＜0
要点2 横
要点3 x＜x1或x＞x2 x1＜x＜x2 x1＜x＜x2 x＜x1或x＞x2
课后集训 巩固提升
1. B 2. D 3. D 4. B 5. A
6. x1＝2，x2＝－3
7. 2
8. x＜－1或x＞5
9. x＝－4或x＝－1
10. 解：(1)x＝2或x＝－1时，y＝1；
(2)x＝3或x＝－2时，y＝5；
(3)x2－x－1＝－3，x2－x＋2＝0，方程无解，∴不存在.
11. 解：画出函数y＝x2－2x－3的大致图象，如图所示.
(1)由图象知：当x＜－1或x＞3时，y＞0；当－1＜x＜3时，y＜0.
(2)不等式x2－2x－3＞0的解集为：x＜－1或x＞3；不等式x2－2x－3＜0解集为：－1＜x＜3.
12. 解：(1)∵a＝1＞0，∴抛物线的开口向上.又y＝x2－x＋m＝(x－)2＋m－.∴抛物线的对称轴为直线x＝，顶点坐标为(，m－).
(2)∵a＝1＞0，∴要使抛物线全部在x轴上方，只需抛物线与x轴没有交点.∴(－1)2－4m＜0，即1－4m＜0.∴m＞.
13. 解：y＝x2＋2x－10的图象如图所示，由图象可知方程有两个根，一个根在－5和－4之间，另一个根在2和3之间.
(1)先求－5和－4之间的根，利用计算器进行探索：
x
－4.1
－4.2
－4.3
－4.4
y
－1.39
－0.76
－0.11
－0.56
由于x＝－4.3时，y＝－0.11＜0，x＝－4.4时，y＝0.56＞0，且|－0.11|＜|0.56|，因此x＝－4.3是方程的一个近似根.
(2)另一个根可以类似地求出：
x
2.1
2.2
2.3
2.4
y
－1.39
－0.76
－0.11
0.56
因此x＝2.3是方程的另一个近似根.
14. 解：(1)∵方程x2－bx－c＝0的两个根为－3，－1，那么二次函数y1＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点就是A(－3，0)，B(－1，0)，∴解得故二次函数表达式为y1＝－x2－4x－3.
(2)y1＝－x2－4x－3＝－(x2＋4x＋4)＋1＝－(x＋2)2＋1，把y1＝－(x＋2)2＋1向右平移3个单位，再向下平移5个单位后得到y2＝－(x＋2－3)2＋1－5.即y2＝－(x－1)2－4.
15. 解：(1)把A(－2，－1)和B(0，7)两点的坐标代入y＝－x2＋bx＋c，得解得∴该抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋7.对称轴为直线x＝1.
(2)当函数值y＝0时，则－x2＋2x＋7＝0，解得x＝1±2.结合图象，易知1－2＜x＜1＋2时，y＞0.
(3)当矩形CDEF为正方形时，设C点的坐标为(m，n)，则n＝－m2＋2m＋7，即CF＝－m2＋2m＋7.∵C，D两点的纵坐标相等，∴C，D两点关于对称轴x＝1对称，设点D的横坐标为p，则1－m＝p－1，∴p＝2－m.∴CD＝(2－m)－m＝2－2m.∵CD＝CF，∴2－2m＝－m2＋2m＋7，整理，得m2－4m－5＝0，解得m＝－1或m＝5.∵点C在对称轴的左侧，∴m只能取－1.当m＝－1时，n＝－m2＋2m＋7＝－(－1)2＋2×(－1)＋7＝4.∴点C的坐标为(－1，4).
