沪科版数学九年级上册同步课时训练
第二十一章 二次函数与反比例函数
21.4 二次函数的应用
第1课时 求几何图形面积的最值问题
自主预习 基础达标
要点1 求二次函数的最大(或最小)值
将二次函数表达式配方成顶点式y＝a(x＋h)2＋k即可得出最大(最小)值.当a＞0时，k是最 值；当a＜0时，k是最 值.
要点2 利用二次函数求几何图形面积的最值问题
面积最值问题应设图形的一边长为 ，所求面积为因变量，建立二次函数模型，利用二次函数有关知识求得最值，不过一定要注意 的取值范围.
课后集训 巩固提升
1. 二次函数y＝x2－4x＋c的最小值为0，则c的值为( )
A. 2 B. 4 C. －4 D. 16
2. 已知0≤x＜，那么函数y＝－2x2＋8x－6的最大值是( )
A. －6 B. －2.5 C. 2 D. 不能确定
3. 已知一个直角三角形两直角边之和为20cm，则这个直角三角形的最大面积为( )
A. 25cm2 B. 50cm2 C. 100cm2 D. 不确定
4. 已知等腰三角形的面积S与底边x有如下关系：S＝－5x2＋10x＋14，要使S有最大值，则x＝ .
5. 将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2.
6. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动(不与点C重合).如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过 s，四边形APQC的面积最小.
第6题 第7题
7. 如图，某农场要盖一排三间相同的长方形羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，计划用木材围成总长24m的栅栏，设每间羊圈与旧墙垂直的一边长为x(m)，三间羊圈的总面积为S(m2)，则S关于x的函数表达式是 ，x的取值范围为 ，当x＝ 时，S最大.
8. 将一根长为16π厘米的细铁丝剪成两段，并把每段铁丝围成圆，设所得两圆半径分别为r1厘米、r2厘米.
(1)求r1与r2的关系式，并写出r1的取值范围；
(2)求两圆的面积和S关于r1的函数表达式，并求出S的最小值.
9. 用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米.
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？
(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由.
10. 如图，矩形ABCD的两边长AB＝18cm，AD＝4cm，点P，Q分别从A点、B点同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动，设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y(cm2).
(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)求△PBQ的面积的最大值.
11. 亚楠制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长为xcm的边与这条边上的高的和为40cm，这个三角形的面积S(cm2)随x(cm)的变化而变化.
(1)请直接写出S与x之间的函数表达式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(2)当x是多少时，这个三角形的面积S最大？最大面积是多少？
12. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝xm.
(1)若花园的面积为192m2，求x的值；
(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值.
13. 某学校为了美化校园环境，计划在一块长40米、宽20米的长方形空地上新建一块长9米、宽7米的长方形花圃.
(1)若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请给出你认为合适的三种不同的方案；
(2)在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由.
14. 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2.
(1)求y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
参考答案
自主预习 基础达标
要点1 小 大
要点2 自变量 自变量
课后集训 巩固提升
1. B 2. D 3. B
4. 1
5.
6. 3
7. S＝－4x2＋24x 0＜x＜6 3
8. 解：(1)r1＋r2＝8，r1的取值范围为0＜r1＜8.
(2)S＝2π[(r1－4)2＋16]；当 r1＝4时，S有最小值，为32π平方厘米.
9. 解：(1)y＝x(16－x)＝－x2＋16x(0＜x＜16)；
(2)当y＝60时，－x2＋16x＝60，解得x1＝10，x2＝6.所以当x＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；
(3)方法一：当y＝70时，－x2＋16x＝70，整理，得x2－16x＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场. 方法二：当y＝70时，－x2＋16x＝70，整理，得x2－16x＋70＝0，配方，得(x－8)2＝－6，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场.
10. 解：(1)由题意得PB＝AB－AP＝(18－2x)cm，BQ＝xcm，∴y＝x(18－2x)＝－x2＋9x(0≤x≤4)；
(2)y＝－x2＋9x＝－(x－)2＋.∵0≤x≤4，y随x的增大而增大，∴当x＝4时，y有最大值，y最大＝－(4－)2＋＝20，即△PBQ的面积的最大值是20cm2.
11. 解：(1)S＝x(40－x)＝－x2＋20x.
(2)当x＝－＝－＝20时，这个三角形的面积最大，最大值是＝＝200(cm2).
12. 解：(1)∵AB＝xm，则BC＝(28－x)m，∴x(28－x)＝192，解得x1＝12，x2＝16，当x1＝12时，BC＝16m；当x2＝16时，BC＝12m.∴x的值为12或16.
(2)由题意可得出S＝x(28－x)＝－x2＋28x＝－(x－14)2＋196，∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，∴解得6≤x≤13.∵a＝－1＜0，且对称轴为x＝14，∴6≤x≤13时，S随x的增大而增大.∴x＝13时，S有最大值，S最大值＝－(13－14)2＋196＝195，∴花园面积S的最大值为195平方米.
13. 解：(1)方案1：长为9米，宽为7米.方案2：长为9米，宽为7米.方案3：长、宽都为8米.(答案不唯一)
(2)在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加2平方米.由题意得，长方形的长与宽的和为16米，设长方形花圃的长为x米，则宽为(16－x)米，所以S长方形＝x(16－x)＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64.∴在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的最大面积为64平方米，因此不能增加2平方米.
14. 解：(1)方法一：设AE＝a，由题意，得AE·AD＝2BE·BC，AD＝BC，∴BE＝a，AB＝a.由题意，得2x＋3a＋2×a＝80，∴a＝20－x，∵BC＝x＞0，AE＝a＝20－x＞0，∴0＜x＜40，∴y＝AB·BC＝a·x＝(20－x)x，即y＝－x2＋30x(0＜x＜40).方法二：根据题意得CF·x＝，CF＝，DF·x＝，DF＝，∴2x＋2×＋3×＝80，整理得y＝－x2＋30x(0＜x＜40).
