沪科版数学九年级上册同步课时训练
第二十一章 二次函数与反比例函数
21.4 二次函数的应用
第2课时 求“抛物线”形建筑问题
自主预习 基础达标
要点 利用二次函数解“抛物线”形建筑问题
利用二次函数解决实际问题，首先要分析 和函数之间的关系，建立一个反映题意的二次函数，再根据二次函数的性质进行求解，特别要注意 的取值范围使实际问题有意义.
在实际问题中求抛物线的表达式时，为使问题简单，通常以抛物线的顶点为 建立直角坐标系，并且用 求出抛物线的表达式.
课后集训 巩固提升
1. 有一拱桥呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16m，跨度为40m，现把它的示意图(如图所示)放在坐标系中，则抛物线的表达式为( )
A. y＝x2＋x B. y＝－x2－x
C. y＝－x2＋x D. y＝－x2＋x＋16
第1题 第2题
2. 小王结婚时，在小区门口的平地上放置了一个充气婚庆拱门，其形状如图所示，若将该拱门(拱门的宽度忽略不计)放在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，0).若将该拱门看作是抛物线y＝－x2＋bx－的一部分，则点A与点B的距离为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
3. 某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为( )
A. 50m B. 100m C. 160m D. 200m
4. 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝－x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为( )
A. －20m B. 10m C. 20m D. －10m
5. 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为 米.
第5题 第6题
6. 如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线AOB)的薄壳屋顶，它的拱宽AB为4m，拱高CO为0.8m，建立如图所示的平面直角坐标系，则屋顶的轮廓线所在的抛物线的表达式为 .
7. 一座桥呈抛物线状，桥的最大高度是16m，跨度是40m，在跨度AB上离中心M处5m的地方，桥的高度是 m.
第7题 第8题
8. 如图是某地一座抛物线形拱桥示意图，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9m，AB＝36m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为 m.
9. 如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两个小孔形状、大小都相同.正常水位时，大孔水面宽度AB＝20m，顶点M距水面6m(即MO＝6m)，小孔顶点N距水面4.5m(即NC＝4.5m).当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的平面直角坐标系，则此时大孔的水面宽度EF为 m.
10. 如图是某公园一圆形喷水池，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，建立如图所示的坐标系，如果喷头所在处A(0，1.25)，水流路线最高处B(1，2.25)，则抛物线的解析式为 .如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要 m，才能使喷出的水流不致落到池外.
11. 如图是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，桥拱的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯，若把拱桥的截面图放在如图所示的平面直角坐标系中.
(1)求抛物线的表达式；
(2)求两盏景观灯之间的水平距离.
12. 有一座抛物线形状的拱桥，正常水位时，桥下水面宽度AB为20m，拱顶距离水面4m.
(1)建立如图所示的直角坐标系，求出该抛物线的表达式；
(2)在正常水位的基础上，当水位上升hm时，桥下水面宽度CD为dm，求d与h的函数表达式；
(3)为保证过往船只顺利通航，桥下水面宽度不得小于18m，则水深超过正常水位多少米时，会影响过往船只顺利通航？
13. 如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米.现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
(2)求这条抛物线的表达式；
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－DC－CB，使C，D点在抛物线上，A，B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
参考答案
自主预习 基础达标
要点 自变量 自变量 坐标原点 待定系数法
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1. C 2. C 3. C 4. C
5. 2
6. y＝－0.2x2
7. 15
8. 48
9. 10
10. y＝－(x－1)2＋2.25 2.5
11. 解：(1)由题意可设y＝a(x－5)2＋5.∵图象经过点(10，1)，∴1＝a(10－5)2＋5，∴a＝－，∴y＝－(x－5)2＋5(0≤x≤10)；
(2)当y＝4时，－(x－5)2＋5＝4，∴x1＝7.5，x2＝2.5.∴水平距离为7.5－2.5＝5(m).
12. 解：(1)设抛物线表达式为y＝ax2，将(10，－4)代入，得－4＝a·102，∴a＝－，∴抛物线的表达式为y＝－x2.
(2)当水位上升hm时，D点的纵坐标为h－4.将它代入抛物线的表达式y＝－x2，得h－4＝－x2，∴x＝±5，所以桥下水面宽度d＝10.
13. 解：(1)M(12，0)，P(6，6).
(2)依题意，设抛物线表达式为y＝a(x－6)2＋6，则a·(12－6)2＋6＝0，∴a＝－.∴抛物线的表达式为y＝－(x－6)2＋6，即y＝－x2＋2x.
(3)设A(m，0)，则B(12－m，0)，C(12－m，－m2＋2m)，D(m，－m2＋2m).∴“支撑架”总长AD＋DC＋CB＝(－m2＋2m)＋(12－2m)＋(－m2＋2m)＝－m2＋2m＋12＝－(m－3)2＋15.∵此二次函数的图象开口向下，∴当m＝3时，AD＋DC＋CB有最大值为15米.
