课件25张PPT。2.1.2 指数函数及其性质第1课时 指数函数的图象和性质1.理解指数函数的概念和意义,能画出指数函数图象的草图,会判断指数函数.
2.初步掌握指数函数的性质,并能解决与指数函数有关的定义域、值域、定点问题.121.指数函数的定义
一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量.
名师点拨指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的结构特征:
(1)底数:大于零且不等于1的常数,且不含自变量x.
(2)指数:仅有自变量x,且x的系数是1.
(3)系数:ax的系数是1.
【做一做1】 已知函数y=a·2x与y=2x+b都是指数函数,则a+b的值为( )
A.2 B.1
C.0 D.不确定
解析:由指数函数的概念知a=1,b=0,故a+b=1.
答案:B122.指数函数的图象和性质
指数函数的图象和性质如下表所示: 12归纳总结指数函数的性质可用如下口诀来记忆:
指数增减要看清,抓住底数不放松;
反正底数大于0,不等于1已表明;
底数若是大于1,图象从下往上增;
底数0到1之间,图象从上往下减;
无论函数增和减,图象都过(0,1)点.1212
A.R
B.[0,+∞)
C.(-∞,0)
D.(0,+∞)
答案:D
【做一做2-3】 若指数函数y=(a-2)x在R上是增函数,则实数a的取值范围是 .?
解析:由题意得a-2>1,故a>3.
答案:(3,+∞)1.对指数函数中底数取值范围的理解
剖析:(1)若a<0,则对于x的某些数值,可使ax无意义.如(-2)x,
(2)若a=0,则当x>0时,ax=0;当x≤0时,ax无意义.
(3)若a=1,则对于任何x∈R,ax是一个常量1,没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况,所以规定a>0,且a≠1,这样对于任何x∈R,ax都有意义.2.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)中,底数a对函数图象的影响
剖析:设y=f(x)=ax,则f(1)=a,即直线x=1与指数函数f(x)=ax图象交点的纵坐标是底数a.如图①所示.
指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象如图②所示,则有a>b>1>c>d>0.从图中可以看出:在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小,即底数大的在上边;在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小,即底数大的在下边.图① 图② 题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四解:(1)中,底数-8<0,故不是指数函数.
(2)中,指数不是自变量x,故不是指数函数.
∴y=(2a-1)x是指数函数.
(4)中,3x的系数是2,而不是1,故不是指数函数.
综上所述,仅有(3)是指数函数.题型一题型二题型三题型四反思判断一个函数是否为指数函数,只需判定其解析式是否符合y=ax(a>0,且a≠1)这一结构,其具备的特点如下:
这三个特点缺一不可.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四分析:因为指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的定义域是R,所以函数y=af(x)(a>0,且a≠1)与函数f(x)的定义域相同,在定义域内可利用指数函数的单调性来求值域.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思对于y=af(x)(a>0,且a≠1)这类函数:
(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围.
(2)值域问题应分以下两步求解:
①由定义域求出u=f(x)的值域;
②利用指数函数y=au的单调性求得此函数的值域.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四【例3】 若函数f(x)=ax-1+3(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,试求点P的坐标.
分析:利用指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过定点(0,1)来确定.
解:令x-1=0,解得x=1,此时f(1)=a0+3=4,
即f(x)的图象恒过定点P的坐标为(1,4).
反思1.已知函数f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,则f(x)的图象恒过定点(m,k+b).
2.直线x=1与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象交点的纵坐标就是底数a的大小,在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象底数大的在上边,也可以说底数越大越靠近y轴.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】 如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系为( )
A.a
B.bC.1D.a过点(1,0)作直线x=1,如图所示,在第一象限内直线x=1与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数,则1答案:B题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思求形如f(ax)的函数的值域时,常利用换元法,设ax=t,根据f(ax)的定义域求得t的取值范围,再转化为求f(t)的值域.题型一题型二题型三题型四课件19张PPT。第2课时 指数函数性质的应用1.能利用指数函数的单调性解不等式、比较大小、求最值.
2.掌握指数函数在实际生活中的简单应用,体会指数函数是一类重要的函数模型.指数函数的图象和性质 【做一做1】 已知a=31.03,b=31.04,则( )
A.a>b B.a=b C.a答案:C
【做一做2】 已知指数函数f(x)=ax,且f(3)解析:∵函数f(x)=ax是指数函数,且f(3)∴f(x)在R上是减函数.∴0答案:(0,1)底数对指数函数的影响
剖析:(1)对指数函数变化趋势的影响.
①当底数a>1时,指数函数y=ax是R上的增函数,且当x>0时,底数a的值越大,函数图象越“陡”,说明其函数值增长得越快,如图甲所示.
②当底数0①若a>b>1,当x<0时,总有00时,总有ax>bx>1.
②若0ax>1;当x=0时,总有ax=bx=1;当x>0时,总有0综上可得,当x>0,a>b>0时,ax>bx;当x<0,a>b>0时,ax(1)1.72.5,1.73;
(2)2.3-0.28,0.67-3.1.
分析:(1)构造指数函数,利用其单调性比较大小;(2)利用中间值1比较大小.
解:(1)(单调性法)由于1.72.5与1.73的底数都是1.7,故构造函数y=1.7x,而函数y=1.7x在R上是增函数.又2.5<3,所以1.72.5<1.73.
(2)(中间量法)由指数函数的性质,知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,所以2.3-0.28<0.67-3.1.题型一题型二题型三题型四反思比较指数值大小的方法:
(1)单调性法:比较同底数幂的大小,可构造指数函数,利用指数函数的单调性比较大小.要注意:明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值;明确指数函数的底数与1的大小关系.如本例(1).
(2)中间量法:比较不同底数且不同指数幂的大小,常借助中间值1进行比较.如本例(2).题型一题型二题型三题型四【变式训练1】 下列大小关系正确的是( )
A.0.43<30.4<π0
B.0.43<π0<30.4
C.30.4<0.43<π0
D.π0<30.4<0.43
解析:由于30.4>30=1,0.43<0.40=1,π0=1,故0.43<π0<30.4.
答案:B题型一题型二题型三题型四【例2】 已知a2x+1≤ax-5(a>0,且a≠1),求x的取值范围.
分析:讨论a的取值→得关于x的不等式→解不等式得x的取值范围.
解:当0∴2x+1≥x-5,解得x≥-6;
当a>1时,∵a2x+1≤ax-5,∴2x+1≤x-5,解得x≤-6.
综上所述,当01时,x的取值范围是(-∞,-6].题型一题型二题型三题型四反思解关于x的不等式af(x)>ag(x)(a>0,且a≠1)时,主要依据指数函数的单调性,它的一般步骤为:题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思指数函数y=ax(a>1)在R上是增函数,在闭区间[s,t]上存在最大值、最小值,当x=s时,函数取得最小值as;当x=t时,函数取得最大值at.指数函数y=ax(0(1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式;
(2)已知存入本金1 000元,每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和.题型一题型二题型三题型四解:(1)已知本金为a元,利率为r,则1期后的本利和为y=a+a×r=a(1+r),
2期后的本利和为y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2,
3期后的本利和为y=a(1+r)3,
……
x期后的本利和为y=a(1+r)x,x∈N*,
即本利和y随存期x变化的函数关系式为y=a(1+r)x,x∈N*.
(2)将a=1 000,r=2.25%,x=5代入上式,得
y=1 000×(1+2.25%)5
=1 000×1.022 55
≈1 117.68(元),
即5期后的本利和约为1 117.68元.
反思解指数函数的应用问题时,通常利用归纳法得出函数解析式.题型一题型二题型三题型四【变式训练4】 某乡镇现在人均一年占有粮食360 kg,如果该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食总产量平均每年增长4%,那么x(x∈N*)年后若人均一年占有y kg粮食,求y关于x的函数解析式.题型一题型二题型三题型四