课件23张PPT。2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算第1课时 对数1.理解对数的概念,掌握对数的基本性质.
2.理解对数的底数和真数的范围.
3.掌握指数式与对数式的互化,能应用对数的定义和性质解方程.12341.对数的概念
名师点拨对数式logaN可看作一种记号,表示关于x的方程ax=N(a>0,且a≠1)的解;也可以看作一种运算,即已知底为a(a>0,且a≠1),幂为N,求幂指数的运算.因此,对数式logaN又可看作幂运算的逆运算.1234【做一做1-1】 若2m=3,则m=( )
A.log32 B.log23 C.log22 D.log33
答案:B
【做一做1-2】 log78的底数是 ,真数是 .?
答案:7 812342.常用对数和自然对数
(1)常用对数:通常我们将以10为底的对数叫做常用对数,并把log10N记为lg N.?
(2)自然对数:在科学技术中常使用以无理数e=2.718 28…为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数,并把logeN记为ln N.?
【做一做2】 lg 7与ln 8的底数分别是( )
A.10,10 B.e,e C.10,e D.e,10
答案:C12343.对数与指数的关系
当a>0,且a≠1时,ax=N?x=logaN.
【做一做3】 log54=a化为指数式是( )
A.54=a B.45=a
C.5a=4 D.4a=5
答案:C12434.对数的基本性质
(1)零和负数没有对数.
(2)loga1=0(a>0,且a≠1).
(3)logaa=1(a>0,且a≠1).
【做一做4-1】 在b=log3(m-1)中,实数m的取值范围是( )
A.R B.(0,+∞)
C.(-∞,1) D.(1,+∞)
解析:由m-1>0,得m>1.
答案:D
解析:原式=0+1=1.
答案:1如何理解对数的概念
剖析:(1)对数是由指数转化而来.对数式logaN=b是由指数式ab=N转化而来的,两式底数相同,对数式中的真数N就是指数式中的幂的值N,而对数值b是指数式中的幂指数b.对数式与指数式的关系如图所示.
在指数式ab=N中,若已知a,N,求幂指数b,便是对数运算b=logaN.(2)在对数记号logaN中,a>0,且a≠1,N>0.
因为在ab=N中,a>0,且a≠1,所以在logaN中,a>0,且a≠1.
又因为正数的任何次幂都是正数,即ab>0(a>0),所以N=ab>0.
(3)并不是所有的指数式都能直接改写成对数式,如(-2)2=4不能写成log-24=2.只有当a>0,且a≠1,N>0时,才有ab=N?b=logaN.
(4)因为对数式与指数式实际上是同一关系的不同表示形式,所以可以将对数问题转化为指数问题来解决.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思1.求对数式logaN(a>0,且a≠1,N>0)的值的步骤:
(1)设logaN=m;(2)将logaN=m写成指数式am=N;(3)将N写成以a为底的指数幂N=ab,则m=b,即logaN=b.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四分析:由题目可获取以下主要信息:
(1)(2)小题对数的值是特殊实数0和1;
(3)小题中底数和真数都含有根式.
解答本题可利用对数的定义求解.题型一题型二题型三题型四反思解有关对数的方程时,首先观察方程,若在真数位置上含有未知数,则转化为指数式来解决,如本例(1)(2)小题;若底数和真数的位置上均不含有未知数,则求对数的值即可,如本例(3)小题;最后要注意验根,即检验是否符合对数的定义.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四易错点 忽视对数的底数的取值范围
【例4】 已知logx9=2,求x的值.
错解:∵logx9=2,∴x2=9,∴x=±3.
错因分析:错解中,忽视了底数a>0,且a≠1,导致出现增根.
正解:∵logx9=2,∴x2=9,∴x=±3.
又x>0,且x≠1,∴x=3.
反思解决有关对数问题,要明确对数的底数是不等于1的正数,真数是正数,否则容易出现错解.题型一题型二题型三题型四【变式训练4】 已知logx(x2-3x+3)=1,则x= .?
解析:∵logx(x2-3x+3)=1,
答案:3课件23张PPT。第2课时 对数的运算1.掌握对数的运算性质,并能运用运算性质化简、求值.
2.了解对数的换底公式及其应用.
3.初步掌握对数在生活中的应用.1212【做一做1-1】 lg 2+lg 5的值为( )
A.2 B.5
C.7 D.1
解析:原式=lg(2×5)=lg 10=1.
答案:D
【做一做1-2】 log318-log32的值为( )
A.log316 B.log320
C.log336 D.2
答案:D1212对数的运算性质
剖析:(1)对数的运算性质是我们进行化简、求值及证明的依据,要灵活掌握,达到正用、逆用及变形用.
(2)使用对数运算性质的前提条件是M>0,N>0,a>0,且a≠1,没有上述条件,公式就不一定成立.如log2[(-2)×(-7)]是存在的,但log2(-2)与log2(-7)不存在,故log2[(-2)×(-7)]≠log2(-2)+log2(-7).
(3)对数的运算性质与指数的运算性质的关系如下表(表中M>0,N>0,a>0,且a≠1).题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思对于同底的对数的化简,常用方法是:
(1)“收”:将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数;
(2)“拆”:将积(商)的对数拆成对数的和(差);
(3)“收”和“拆”相结合,如本题(2).题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四【例2】 已知log189=a,18b=5,求log3645.(用a,b表示)
分析:先利用指数式和对数式的互化公式,将18b=5化成log185=b,再利用换底公式将log3645化成以18为底的对数,最后进行对数运算.题型一题型二题型三题型四反思1.利用换底公式可以把不同底的对数化成同底的对数,要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.
2.题目中有指数式和对数式时,要注意将指数式与对数式统一成一种形式.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四【例3】 一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩余的质量约是原来的84%,估计经过多少年,该物质的剩余量是原来的一半?(结果保留整数)
分析:归纳出剩余量关于时间的关系式,利用计算器求解.题型一题型二题型三题型四解:设最初的质量是1,经过x年,剩余量是y,则
经过1年,剩余量是y=0.84;
经过2年,剩余量是y=0.842;
……
经过x年,剩余量是y=0.84x.
依题意,得0.84x=0.5,
解得x=log0.840.5.
故约经过4年,该物质的剩余量是原来的一半.题型一题型二题型三题型四反思解有关对数应用问题的步骤:(1)审清题意,弄清各数据的含义;(2)恰当地设未知数,建立数学模型,即已知ax=N(a,N是常数,且a>0,a≠1),求x;(3)利用换底公式借助计算器来解数学模型;(4)还原为实际问题,归纳结论,注意有时要检验结论是否符合实际意义.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】 抽气机每次抽出容器内空气的60%,要使容器内的空气少于原来的0.1%,则至少要抽几次?(lg 2≈0.301 0)
解:设至少抽n次可使容器内空气少于原来的0.1%,原来容器中的空气体积为a,
则a(1-60%)n<0.1%a,即0.4n<0.001,
两边取常用对数得n·lg 0.4故至少需要抽8次.题型一题型二题型三题型四错因分析:错解中,lg x+lg y=2lg(x-2y)与xy=(x-2y)2对x,y的取值范围的要求是不相同的,即求解过程不等价,因此,得出解后要代入原方程验证,这是求解过程中最易忽略的地方.题型一题型二题型三题型四反思根据指数式与对数式的互化可知,真数实际上是指数式中的指数幂,故为正数.所以当求解含有对数式的问题时,一定要注意真数的取值范围,保证真数大于零.求解过程不等价时,在求出答案后需进行检验. 题型一题型二题型三题型四【变式训练4】 已知方程lg(x+1)+lg x=lg 6,则x等于 ( )
A.-3 B.2
C.-3或2 D.3或-2
解析:∵lg(x+1)+lg x=lg 6,
解得x=2.
答案:B
