高中数学新人教A版必修1第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.2函数模型的应用实例课件30张

课件30张PPT。3.2.2　函数模型的应用实例1.会利用已知函数模型解决实际问题.　　
2.能建立函数模型解决实际问题.
3.了解利用拟合函数模型解决实际问题.函数模型的应用
(1)用已知的函数模型刻画实际问题;
(2)建立恰当的函数模型,并利用所得函数模型解释有关现象,对某些发展趋势进行预测,其基本过程如图所示:名师点拨巧记函数建模过程:
收集数据,画图提出假设;
依托图表,理顺数量关系;
抓住关键,建立函数模型;
精确计算,求解数学问题;
回到实际,检验问题结果.【做一做1】 一辆汽车的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示,那么图象所对应的函数模型是(　　)
A.一次函数模型
B.二次函数模型
C.指数函数模型
D.对数函数模型
答案:A1.常用的函数模型
剖析:在实际问题中,常用的函数模型如下表所示:2.在应用题中列出函数解析式的三种方法
剖析:解答应用题的实质是要转化题意,寻找所给条件中含有的相等关系,用等式把变量联系起来,然后再整理成函数的解析式的形式.常用的方法有:
(1)待定系数法:若题目给出了含参数的函数关系式,则可用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值,从而得到确定的函数解析式.
(2)归纳法:先让自变量x取一些特殊值,计算出相应的函数值,从中发现规律;再推广到一般情形,从而得到函数解析式.
(3)方程法:用x,y表示自变量及其他相关的量,根据问题的实际意义,运用掌握的数学、物理等方面的知识,列出关于x,y的二元方程;把x看成常数,解方程得y(即函数关系式),此种方法形式上和列方程解应用题类似,故称为方程法.题型一题型二题型三题型四【例1】 灌满开水的热水瓶放在室内,如果瓶内开水原来的温度是θ1 ℃,室内气温是θ0 ℃,t min后,开水的温度可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt求得,这里,k是一个与热水瓶类型有关的正的常量.现有一只某种类型的热水瓶,测得瓶内水温为100 ℃,过1 h后又测得瓶内水温变为98 ℃.已知某种奶粉必须用不低于85 ℃的开水冲调,现用这种类型的热水瓶在早上六点灌满100 ℃的开水,问:能否在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调上述奶粉(假定该地白天室温为20 ℃)?
分析:先用待定系数法来确定k的值,然后根据给出的时间列出方程,解出水的温度,并与85 ℃相比,若高于这个温度,该热水瓶的水就可以用,否则不可以用.题型一题型二题型三题型四利用计算器,解得k≈0.000 422.
故θ=20+80e-0.000 422t.
从早上六点至中午十二点共6 h,即360 min.
当t=360时,θ=20+80e-0.000 422×360=20+80e-0.151 92.由计算器算得θ≈89 ℃>85 ℃,即能够在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调奶粉.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】 某种病毒经30 min繁殖为原来的2倍,且已知病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:h,y表示病毒个数),则k=　　　　?,经过5 h,1个病毒能繁殖为　　　　?个.?
解析:当t=0.5时,y=2,
∴当t=5时,y=22×5=1 024.
答案:2ln 2　1 024题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思当实际应用题中没有给出函数模型时,其解题步骤是:
第一步:认真读题,缜密审题,确切理解题意,明确问题的实际背景,找出题意中所蕴含的函数关系;
第二步:恰当地设未知数,列出函数解析式,将实际问题转化成函数问题,即实际问题函数化;
第三步:运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题,得出函数问题的解;
第四步:将所得函数问题的解还原成实际问题的结论,要注意检验所得的结论是否符合实际问题的意义.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四【例3】 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观察站,测量最大积雪深度x cm与当年灌溉面积y hm2.现有连续10年的实测资料,如下表所示.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四 (1)描点画出灌溉面积y hm2随积雪深度x cm变化的图象;
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y=f(x),并画出图象;
(3)根据所建立的函数模型,若今年最大积雪深度为25 cm,请估计可以灌溉的土地面积是多少?
分析:首先根据表中数据作出散点图,然后通过观察图象来判断问题所适用的函数模型.题型一题型二题型三题型四解:(1)描点作图如图甲: 题型一题型二题型三题型四(2)从图甲中可以看到,数据点大致落在一条直线附近,由此,我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y=a+bx(a,b为常数,b≠0).取其中的两组数据(10.4,21.1),(24.0,45.8),代入y=a+bx,
用计算器可算得a≈2.4,b≈1.8.
这样,我们得到一个函数模型y=2.4+1.8x.作出函数图象如图乙,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系.
(3)由(2),得当x=25时,y=2.4+1.8×25=47.4,即当最大积雪深度为25 cm时,估计可以灌溉土地47.4 hm2.题型一题型二题型三题型四反思对于此类的实际应用问题,关键是建立适当的函数关系式,再解决数学问题,最后验证并结合问题的实际意义作出回答.这个过程就是先拟合函数再利用函数解题.函数拟合与预测的一般步骤是:
(1)根据原始数据,绘出散点图.
(2)通过观察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.
(3)根据所学的函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.
(4)利用函数关系式,根据条件对所给的问题进行预测,为决策和管理提供依据.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】 某企业常年生产一种出口产品,自2013年以来,每年在正常情况下,该产品产量平稳增长.已知2013年为第1年,前4年年产量f(x)(单位:万件)如下表所示:
(1)画出2013~2016年该企业年产量的散点图;
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型,并求出函数解析式;
(3)2017年(即x=5)因受到某种原因的影响,年产量减少30%,试根据所建立的函数模型,确定2017年的年产量为多少?题型一题型二题型三题型四解:(1)画出散点图,如图所示.
(2)由散点图知,可选用一次函数模型.设f(x)=ax+b(a≠0).
∴f(x)=1.5x+2.5.检验:f(2)=5.5,
且|5.58-5.5|=0.08<0.1.
f(4)=8.5,且|8.44-8.5|=0.06<0.1.
∴一次函数模型f(x)=1.5x+2.5能基本反映年产量的变化.
(3)根据所建的函数模型,预计2017年的年产量为f(5)=1.5×5+2.5=10(万件),
又年产量减少30%,即10×(1-30%)=7(万件),即2017年的年产量为7万件.题型一题型二题型三题型四易错点　求函数最值时忽略了实际情况对函数定义域的限制
【例4】 如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(b问:当x为何值时,四边形EFGH的面积最大?并求出最大面积.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思利用函数解决实际问题时,要遵循定义域优先的原则,即必须考虑到自变量的实际意义,否则会出现错解.题型一题型二题型三题型四【变式训练4】 渔场中鱼群的最大养殖量为m(m>0),为了保证鱼群的生长空间,实际养殖量x小于m,以便留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比,比例系数为k(k>0).
(1)写出y关于x的函数关系式,并指出该函数的定义域;
(2)求鱼群年增长量的最大值.题型一题型二题型三题型四