1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
1.理解增函数和减函数的定义,明确定义中“任意”两字的重要性,以及图象的特征.
2.知道函数单调性的含义,能够利用定义证明函数的单调性.
3.能够利用定义或图象求函数的单调区间,能够利用函数的单调性解决有关问题.
1
2
1.增函数和减函数
1
2
1
2
1
2
【做一做1-1】 已知函数y=f(x)在区间(a,b)内是减函数,x1,x2∈(a,b),且x1
A.f(x1)f(x2)
C.f(x1)=f(x2) D.以上都有可能
答案:B
【做一做1-2】已知[0,3]是函数f(x)定义域内的一个区间,若f(1)A.是增函数 B.是减函数
C.不是增函数就是减函数 D.增减性不能确定
解析:虽然1,2∈[0,3],1<2,且f(1)答案:D
1
2
2.单调性
(1)定义:如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.
(2)图象特征:函数y=f(x)在区间D上具有单调性,则函数y=f(x)在区间D上的图象是上升的或下降的.
1
2
1
2
1
2
【做一做2】 已知函数f(x)的图象如图所示,则( )
A.函数f(x)在[-1,2]上是增函数
B.函数f(x)在[-1,2]上是减函数
C.函数f(x)在[-1,4]上是减函数
D.函数f(x)在[2,4]上是增函数
答案:A
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
反思证明函数单调性的常用方法是定义法,利用定义法判断函数单调性的步骤为:
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 用单调性的定义证明:函数f(x)=2x2+4x在(-∞,-1]上是减函数.
∵x1∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(-∞,-1]上是减函数.
题型一
题型二
题型三
题型四
【例2】 已知函数f(x)=-x2+2|x|+3.
(1)用分段函数的形式表示f(x);
(2)画出f(x)的图象;
(3)根据图象写出f(x)的单调区间.
分析:(1)对x的正负分类讨论即可;(2)利用画分段函数图象的步骤画出;(3)借助函数图象写出单调区间.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
反思1.利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值大小的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.需要注意的是,不要忘记函数的定义域.
2.(1)若f(x)在区间D上是增函数,x1,x2是区间D内的任意两个实数,则f(x1)>f(x2)?x1>x2;f(x1)(2)若f(x)在区间D上是减函数,x1,x2是区间D内的任意两个实数,则f(x1)>f(x2)?x1x2.
题型一
题型二
题型三
题型四
A.减函数,且f(0)<0
B.增函数,且f(0)<0
C.减函数,且f(0)>0
D.增函数,且f(0)>0
解析:由题意得a<0,且-b>0,即a<0,且b<0,故f(x)=bx+a在R上为减函数,且f(0)=a<0.
答案:A
题型一
题型二
题型三
题型四
易错点 对“单调区间是……”和“在区间……上单调……”理解错误
【例4】 已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2.
(1)若函数f(x)的单调递减区间是(-∞,4],则实数a的值(或取值范围)是 ;?
(2)若函数f(x)在区间(-∞,4]上单调递减,则实数a的值(或取值范围)是 .?
题型一
题型二
题型三
题型四
错解:(1)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1-a.由于函数f(x)的单调递减区间是(-∞,4],因此1-a≥4,即a≤-3.故应填(-∞,-3].
(2)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1-a.由于函数f(x)在区间(-∞,4]上单调递减,因此1-a=4,即a=-3.故应填-3.
错因分析:函数的单调递减区间是I,指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调递减,则指此区间是相应单调递减区间的子集.错解颠倒了这两种说法的含义,从而导致出错.
正解:(1)因为函数f(x)的单调递减区间是(-∞,4],且函数f(x)图象的对称轴为直线x=1-a,所以有1-a=4,即a=-3.故应填-3.
(2)因为函数f(x)在区间(-∞,4]上单调递减,且函数f(x)图象的对称轴为直线x=1-a,
所以1-a≥4,即a≤-3.故应填(-∞,-3].
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练4】 已知函数f(x)=|x+a|在区间(-∞,1]上单调递减,则a的取值范围是( )
A.a≥1
B.0C.a≤-1
D.-1≤a<0
∴f(x)的递减区间为(-∞,-a].
由题意,(-∞,1]?(-∞,-a],
∴-a≥1,∴a≤-1.
答案:C
第2课时 函数的最大(小)值
1.理解函数最大值和最小值的概念,明确定义中“任意”和“存在”表达的含义.
2.能借助函数的图象和单调性,求一些简单函数的最值.
3.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题.
1
2
1.最大值和最小值
1
2
知识拓展1.定义中M首先是一个函数值,它是值域的一个元素,如函数f(x)=-x2(x∈R)的最大值为0,有f(0)=0.
2.最大(小)值定义中的“任意”是说对定义域内的每一个值都必须满足不等式,即对于定义域内的全部元素,都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立,也就是说,y=f(x)的图象不能位于直线y=M的上(下)方.
3.最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等式,也就是说y=f(x)的图象与直线y=M至少有一个交点.
1
2
【做一做1】 设函数f(x)=2x-1(0≤x<1),则f(x)( )
A.有最大值,无最小值
B.有最小值,无最大值
C.既有最大值,又有最小值
D.既无最大值,也无最小值
解析:∵函数f(x)=2x-1在x∈[0,1)上单调递增,
∴f(x)在x=0时取得最小值,无最大值.
答案:B
1
2
函数的最值与单调性的关系
剖析:(1)函数的单调性是其定义域的子集上的性质,是“局部”性质,而函数的最值是整个定义域上的性质,是“整体”性质.
(2)若函数f(x)在[a,b]上是增(减)函数,则f(x)在[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).
(3)若函数f(x)在[a,b]上是增(减)函数,在[b,c]上是减(增)函数,则f(x)在[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.
题型一
题型二
题型三
题型四
【例1】 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值,并写出值域.
分析:讨论x与1的大小,化函数f(x)为分段函数.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思图象法求函数y=f(x)的最值的步骤:
(1)画出函数y=f(x)的图象;
(2)依据函数最值的几何意义,借助图象写出最值.
题型一
题型二
题型三
题型四
(1)画出f(x)的图象;
(2)利用图象找出该函数的最大值和最小值.
解:(1)函数f(x)的图象如图所示.
(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.
题型一
题型二
题型三
题型四
(1)判断f(x)在[1,2]和[2,3]上的单调性;
(2)根据f(x)的单调性写出f(x)的最值.
分析:(1)证明单调性的流程为:取值→作差→变形→判断符号→结论;
(2)借助最值与单调性的关系,写出最值.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
反思利用函数的单调性求函数最值的步骤:
(1)判断函数f(x)的单调性;
(2)借助最值与单调性的关系写出最值.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
【例3】 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时,能卖出500个.已知这种商品每涨价1元,其销售量就减少10个,为得到最大利润,则售价应为多少元?最大利润是多少?
分析:设出售价及利润,建立利润与售价的函数关系式,具体如下:
题型一
题型二
题型三
题型四
解:设售价为x元,利润为y元,
则单个涨价(x-50)元,销量减少10(x-50)个.
y=(x-40)[500-10(x-50)]
=-10(x-70)2+9 000,
当x=70时,ymax=9 000,
即售价为70元时,利润最大为9 000元.
反思解应用题要弄清题意,从实际出发,引进数学符号,建立数学模型,列出函数关系式,分析函数的性质,从而解决问题,这里要注意自变量的取值范围.在实际应用问题中,最大利润、用料最省等问题常转化为求函数的最值来解决.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】
如图所示,动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍,可供建造围墙的材料总长为30 m,问每间笼舍的宽度x(单位:m)为多少时,才能使得每间笼舍面积y(单位:m2)达到最大?每间最大面积为多少?
解:由题意知笼舍的宽为x m,则笼舍的总长为(30-3x)m,每间笼舍的面积为
当x=5时,y取得最大值37.5,
即每间笼舍的宽度为5 m时,每间笼舍面积y达到最大,最大面积为37.5 m2.
题型一
题型二
题型三
题型四
易错点 求最值时忽视单调性致错
【例4】 若函数f(x)=x2-6x+m在区间[2,+∞)内的最小值是-3,则实数m的值为 .?
错解:∵f(x)在[2,+∞)内单调递增,
∴f(x)的最小值为f(2)=4-12+m=m-8,
∴m-8=-3,∴m=5.
错因分析:在求函数最值时,只有判断出函数的单调性,才能确定函数最值在何处取得,不能直接代入区间的端点来求.如本例函数在区间[2,+∞)内先减后增,故最小值不在x=2处取得.
题型一
题型二
题型三
题型四
正解:函数f(x)=x2-6x+m图象的对称轴是x=3,开口向上,所以函数f(x)在[2,3]上单调递减,在[3,+∞)内单调递增,故函数在x=3处取得最小值.
由f(3)=32-6×3+m=-3,解得m=6.
故实数m的值为6.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练4】 函数f(x)=|x-1|+2,x∈[0,3]的最小值为 .?
解析:f(x)=|x-1|+2在[0,1]上递减,在[1,3]上递增,∴f(x)=|x-1|+2的最小值为f(1)=2.
答案:2
1.3.2 奇偶性
1.了解奇函数、偶函数的定义,明确定义中“任意”两字的意义.
2.了解奇函数、偶函数的图象特征.
3.会用定义判断函数的奇偶性.
1
2
1.偶函数和奇函数
1
2
名师点拨1.奇函数和偶函数的定义中的“任意”是指定义域中所有的实数;由于f(-x)与f(x)有意义,则-x与x同时属于定义域,即具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称.
2.函数f(x)是偶函数?对定义域内任意一个x,有f(-x)-f(x)=0?f(x)的图象关于y轴对称.
3.函数f(x)是奇函数?对定义域内任意一个x,有f(-x)+f(x)=0?f(x)的图象关于原点对称.
1
2
【做一做1-1】 若函数y=f(x),x∈[-1,a](a>-1)是奇函数,则a等于( )
A.-1 B.0
C.1 D.无法确定
答案:C
【做一做1-2】 下列条件可以说明函数y=f(x)是偶函数的是( )
A.在定义域内存在x,使得f(-x)=f(x)
B.在定义域内存在x,使得f(-x)=-f(x)
C.对定义域内任意x,都有f(-x)=-f(x)
D.对定义域内任意x,都有f(-x)=f(x)
答案:D
1
2
1
2
1
2
【做一做2-1】 函数y=x( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.是非奇非偶函数
答案:A
【做一做2-2】 若函数f(x)=x2-2mx+4是偶函数,则实数m= .?
答案:0
理解函数的奇偶性
剖析:函数f(x)的奇偶性的定义是用f(-x)=±f(x)来刻画函数f(x)的图象的特征(图象关于原点或y轴对称)的;函数的奇偶性是对于函数的整个定义域来说的,这一点与函数的单调性不同.从这个意义上来讲,函数的单调性是函数的局部性质,而奇偶性是函数的整体性质.只有对函数f(x)的定义域的每一个值x,都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x),才能说f(x)为偶函数或奇函数;定义中要求“对于函数f(x)的定义域内任意一个自变量x,都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)”成立,其前提为f(-x)和f(x)都有意义,所以-x也属于f(x)的定义域,即自变量x的取值要保持关于原点的对称性,于是奇(偶)函数的定义域是一个关于原点对称的数集,这是函数存在奇偶性的前提.例如将函数f(x)=x2+1,f(x)=x的定义域分别限定为(0,+∞)与(-3,3],那么它们都为非奇非偶函数;函数的奇偶性定义中的等式f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))是其定义域上的恒等式,而不是对部分x成立.
尽管当|x|≤1时,都有f(-x)=f(x),但当|x|>1时,f(-x)≠f(x),所以它不是偶函数.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思判断函数的奇偶性的方法:
(1)定义法:
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
(2)图象法:如果函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数;如果函数的图象关于原点和y轴均对称,那么这个函数既是奇函数又是偶函数;如果函数的图象关于原点和y轴均不对称,那么这个函数既不是奇函数也不是偶函数.
用以上方法讨论函数的奇偶性时,要遵循定义域优先的原则.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练1】 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x2+1,x∈[-2,2);(2)f(x)=|x-1|+|x+1|;(3)f(x)=0,x∈R.
解:(1)∵f(x)的定义域[-2,2)不关于原点对称,
∴f(x)既不是奇函数又不是偶函数.
(2)f(x)的定义域为R,关于原点对称,
又f(-x)=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=f(x),
∴f(x)为偶函数.
(3)∵f(x)=0,x∈R,
∴f(-x)=f(x),且f(-x)=-f(x),
故f(x)既是奇函数又是偶函数.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
分析:先证明f(x)是偶函数,再依据其图象关于y轴对称作图.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思利用函数的奇偶性作图,其依据是奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练2】
已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],其y轴右侧图象如图所示,写出使f(x)>0的x的取值集合.
解:
由于f(x)为奇函数,y轴右侧图象已知,结合奇函数图象关于原点对称,作出y轴左侧图象,如图所示,由图象知,当x∈(0,2)时,f(x)>0;当x∈(-5,-2)时,f(x)>0,所以使f(x)>0的x的取值集合为(-5,-2)∪(0,2).
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例3】 已知函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a= .?
解析:因为函数f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即(-x+a)(-x-4)=(x+a)·(x-4),即x2+(4-a)x-4a=x2-(4-a)x-4a,故4-a=-(4-a),解得a=4.
答案:4
反思利用函数奇偶性求参数值的常见类型及求解策略:
(1)定义域含参数:奇(偶)函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,可以利用a+b=0求参数.
(2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数可解.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例4】 若f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x(1-x),求函数f(x)的解析式.
解:∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x).当x>0时,-x<0,
∴f(x)=-f(-x)=x(1+x).
当x=0时,f(-0)=-f(0),
即f(0)=-f(0),∴f(0)=0.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思1.若f(x)是奇函数,且f(0)有意义,则f(0)=0;
2.已知函数的奇偶性和函数在某区间上的解析式,求该函数在与已知区间关于原点对称的区间上的解析式时,首先设出所求区间上的自变量,利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点,把它转化到已知解析式的区间上,代入已知的解析式,然后再次利用函数的奇偶性求解即可.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练4】 已知f(x)是R上的偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x2+x-1,求当x∈(-∞,0)时,f(x)的解析式.
解:设x<0,则-x>0.
∴f(-x)=(-x)2+(-x)-1=x2-x-1.
∵函数f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x).
∴当x∈(-∞,0)时,f(x)=x2-x-1.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
错解:∵当x<0时,f(-x)=(-x)2=x2=f(x);当x≥0时,f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),∴当x<0时,函数f(x)是偶函数;当x≥0时,函数f(x)是奇函数.
错因分析:“当x<0时,函数是偶函数;当x≥0时,函数是奇函数”这种说法是错误的.函数的奇偶性是函数的一个整体性质,是针对函数的整个定义域而言的.因此判断函数的奇偶性时,要考虑整个定义域,依据定义进行判断.
正解:显然f(x)的定义域关于原点对称.当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)3,f(x)=x2,于是f(-x)≠±f(x),故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解:函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪[0,+∞)=R.
∵当x>0时,有f(x)=x(x-1),-x<0,
∴f(-x)=-(-x)(-x+1)=x(1-x)=-x(x-1)=-f(x).
当x<0时,有f(x)=-x(x+1),-x>0,
∴f(-x)=-x(-x-1)
=x(x+1)=-f(x).
当x=0时,f(0)=0,f(-0)=0=-f(0).
综上所得,对x∈R,总有f(-x)=-f(x)成立.
故f(x)是奇函数.
