1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念
1.能够用集合与对应的语言给出函数的定义;知道构成函数的要素,清楚函数的定义中“任意一个数x ”和“唯一确定的数f(x)”的含义;明确符号“f(x)”表示的意义.
2.会判断两个函数是否相等;会求简单函数的函数值和定义域.
3.能正确使用区间表示数集.
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1.函数的概念
设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数y=f(x)的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数y=f(x)的值域,则值域是集合B的子集.
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名师点拨1.“A,B是非空的数集”,一方面强调了A,B只能是数集,即A,B中的元素只能是实数;另一方面指出了定义域、值域都不能是空集,也就是说,定义域为空集的函数是不存在的.
2.函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x,在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应.这三个性质只要有一个不满足便不能构成函数.
3.理解函数的概念要注意,函数的定义域是非空数集A,但函数的值域不一定是非空数集B,而是集合B的子集.
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2.常见函数的定义域和值域
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【做一做2-1】 已知函数y=f(x)的定义域为P,值域为Q,对于m∈P,与m对应的函数值为n,则有( )
A.n∈P
B.m=n
C.n∈P∩Q
D.n唯一
答案:D
【做一做2-2】 函数y=5-2x的定义域是( )
A.R B.Q
C.N D.?
答案:A
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3.区间与无穷大
(1)区间的概念.
设a,b是两个实数,且a
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
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知识拓展1.区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“,”隔开;
2.区间表示实数集的几条原则:连续的数集,左端点必须小于右端点,开或闭不能混淆;
3.用数轴表示区间时,要特别注意实心点与空心圆圈的区别;
4.由于区间是表示数集的一种形式,因此对于集合的运算仍然成立.
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(2)无穷大.
“∞”读作“无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”,满足x≥a,x>a,x≤a,x
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【做一做3-1】 集合{x|x≥1}用区间表示为( )
A.(-∞,1) B.(-∞,1]
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
答案:D
【做一做3-2】 区间[5,8)表示的集合是( )
A.{x|x≤5,或x>8} B.{x|5C.{x|5≤x<8} D.{x|5≤x≤8}
答案:C
名师点拨1.∞是一个符号,而不是一个数;
2.以“-∞”或“+∞”为区间的一端时,这一端必须用小括号.
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4.函数相等
一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域,其中值域是由定义域和对应关系决定的.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数相等.
【做一做4】 函数y=x-5与s=t-5是否相等?
解:两个函数的定义域都是R,对应关系都是自变量减5,即它们的定义域相同,对应关系一致,故这两个函数相等.
函数符号f(x)的意义
剖析:(1)符号y=f(x)表示变量y是变量x的函数,它仅仅是函数符号,并不表示y等于f与x的乘积.
(2)符号f(x)与f(m)既有区别又有联系,当m是变量时,函数f(x)与函数f(m)相等;当m是常数时,f(m)表示当自变量x=m时对应的函数值,是一个常量.
(3)符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算.
例如f(x)=x2-x+5,当x=2时,看作对“2”施加了这样的运算法则:先平方,再减去2,最后加上5;当x为某一代数式(或某一个函数)时,则左右两边的所有x都用同一个代数式(或某一个函数)来代替.如:f(2x+1)=(2x+1)2-(2x+1)+5,f(g(x))=[g(x)]2-g(x)+5.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思1.判断一个对应关系f:A→B是不是函数,要从以下三个方面去判断:(1)A,B必须是非空数集;(2)A中的任何一个元素在B中必须有元素与其对应;(3)A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应.
2.函数的定义中“任意一个数x”与“唯一确定的数f(x)”说明函数中两个变量x,y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”,而不能是“一对多 ”.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练1】 设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形:
其中,能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:①中,因为在集合M中当1答案:B
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
(1)求f(2),g(2)的值;
(2)求f(g(3))的值.
分析:(1)分别将f(x)与g(x)的表达式中的x换为2,计算得f(2)与g(2)的值;(2)先求g(3)的值m,再求f(m)的值.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思已知f(x)的表达式时,只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值;已知g(x)的表达式时,先求g(a)的值m,再求f(m)的值即得f(g(a))的值,即遵循由里往外的原则求f(g(a)).
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练2】 (1)已知f(x)=2x+1,g(x)=x2+1,若f(2a+1)=7,则f(g(a))= ;?
(2)函数y=x+1,x∈{1,2,3,4}的值域为 .?
解析:(1)∵f(x)=2x+1,∴f(2a+1)=2(2a+1)+1=4a+3=7,∴a=1.
∴g(a)=a2+1=2,
∴f(g(a))=f(2)=2×2+1=5.
(2) ∵x∈{1,2,3,4},分别代入y=x+1求值,可得所求函数值域为{2,3,4,5}.
答案:(1)5 (2){2,3,4,5}
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思1.如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R.
2.如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.
3.如果f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.
4.如果f(x)是由几个部分构成的,那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即求各部分自变量取值集合的交集).
5.对于由实际背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例4】 判断下列各组函数是不是相等函数:
(2)f(x)=(x-1)2,g(x)=x-1;
(3)f(x)=x2+x+1,g(t)=t2+t+1.
分析:先求出函数定义域,根据定义域和表达式(即对应关系)来确定.
解:(1)f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≠2}.
由于定义域不同,故f(x)与g(x)不是相等函数.
(2)f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为R,即定义域相同.由于f(x)与g(x)的表达式不相同,即对应关系不一致,故f(x)与g(x)不是相等函数.
(3)两个函数的自变量所用字母不同,但其定义域相同,且对应关系一致,故两个函数相等.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思判断两个函数f(x)和g(x)是否相等的方法是:先求函数f(x)和g(x)的定义域,如果定义域不同,那么它们不相等,如果定义域相同,再化简函数的表达式,如果化简后的函数表达式相同,那么它们相等,否则它们不相等.
题型一
题型二
题型三
题型四
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题型一
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题型一
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题型三
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题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
正解:要使函数有意义,必须使(x-2)·(x+3)≠0,
即x-2≠0,且x+3≠0,解得x≠2,且x≠-3,
故所求函数的定义域为{x|x≠2,且x≠-3}.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
1.2.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
1.掌握函数的三种表示法:解析法、图象法、列表法,以及各种表示法的优缺点.
2.在实际问题中,能够选择恰当的表示法来表示函数.
3.能利用函数图象求函数的值域,并确定函数值的变化趋势.
【做一做2】 农业科学家在研究玉米的生长过程时,把生长过程分为32个生长阶段,通过试验得到了各个生长阶段植株高度的相关数据,如图所示.
在玉米的生长过程中,给定生长的某个阶段,就可以从这幅图中查到唯一一个与这个阶段相对应的玉米的植株高度,因此这个图可表示玉米的植株高度关于生长阶段的函数.这种表示函数的方法是 .?
答案:图象法
【做一做3】 已知函数f(x)由下表给出:
则f(f(2))= .?
答案:0
1.画函数f(x)图象的基本方法
剖析:(1)若函数f(x)是正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等基本函数,则依据各种函数的图象特点,直接画出f(x)的图象.
(2)若函数f(x)不是基本函数,则用描点法画出f(x)的图象,其步骤是:列表、描点、连线.
2.判断一个图形是否可以作为函数的图象
剖析:任作垂直于x轴的直线,若图形与此直线至多有一个交点,则此图形可以作为函数图象;若图形与直线存在两个或两个以上的交点,则此图形不可以作为函数的图象.
如图,由上述判断方法可得,图①可以作为函数的图象;图②不可以作为函数的图象,因为存在垂直于x轴的直线与图形有两个交点.
题型一
题型二
题型三
题型四
【例1】 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,其图象可能是( )
解析:由这一过程中汽车的速度变化可知,速度由小变大→保持匀速→由大变小.
速度由小变大时,路程曲线上升得越来越快,曲线显得陡峭;匀速行驶中路程曲线上升速度不变;速度由大变小时,路程曲线上升得越来越慢,曲线显得平缓,仅有选项A符合该特征.
答案:A
题型一
题型二
题型三
题型四
反思关于函数图象的问题,一般情况下信息都暗含在图象中,应从坐标的含义及图象的走势两方面入手分析.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】
某工厂八年来产品累积产量C(即前t年年产量之和)与时间t(单位:年)的函数图象如图,下列四种说法:
①前三年中,产量增长的速度越来越快;
②前三年中,产量增长的速度越来越慢;
③第三年后,这种产品停止生产;
④八年来,年产量保持不变.
其中说法正确的是( )
A.②③ B.②④ C.①③ D.①④
解析:由图象知前三年累积产量越来越多,但增加的越来越慢,故②③正确.
答案:A
题型一
题型二
题型三
题型四
(1)函数f(x)的解析式及其定义域;
(2)f(4)的值.
分析:(1)设出g(x)和h(x)的解析式,利用g(1)=2和h(1)=-3求出其中各系数的值;
(2)由(1)得函数f(x)的解析式,将x=4代入f(x)的解析式即可.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 求满足下列条件的函数f(x)的解析式:
(1)f(x+1)=2x2+5x+2;
(2)已知二次函数的图象过点(3,8),且顶点坐标为(-6,5).
解:(1)令x+1=t,则x=t-1.
∴f(t)=2(t-1)2+5(t-1)+2=2t2+t-1,
∴f(x)=2x2+x-1.
(2)(方法1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
【例3】 已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2).
(1)画出f(x)的图象;
(2)根据图象写出f(x)的值域.
分析:(1)先画出f(x)=x2-2x,x∈R的图象,夹在直线x=-1和x=2之间的部分即是所求函数的图象;(2)f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围就是f(x)的值域.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)f(x)的图象如图所示.
(2)观察f(x)的图象可知,f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[-1,3],则f(x)的值域是[-1,3].
反思图象法求函数f(x)的值域的步骤:(1)画出函数f(x)的图象;(2)观察图象,f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围就是f(x)的值域.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 画出函数y=-2x+1,x∈[0,2]的图象,并根据图象写出函数的值域.
解:函数y=-2x+1,x∈[0,2]的图象如图所示,
由图象可知,y=-2x+1,x∈[0,2]的值域为[-3,1].
题型一
题型二
题型三
题型四
【例4】 如图所示,在矩形ABCD中,BA=3,CB=4,点P在AD上移动,CQ⊥BP,Q为垂足.设BP=x,CQ=y,试求y关于x的函数表达式,并画出函数的图象.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练4】 将长为12 m的铁丝折成矩形,且矩形的一边长为x m,求面积y(单位:m2)关于x的函数表达式,并画出函数的图象.
解:∵矩形一边长为x m,则另一边长为(6-x)m,
∴面积y=x(6-x)=-x2+6x.
又6-x>0,
∴x<6.
∴所求的函数表达式为y=-x2+6x(0函数图象如图所示.
第2课时 分段函数与映射
1.了解分段函数的概念,会求分段函数的函数值,能画出分段函数的图象.
2.了解映射的概念,会判断给出的对应是不是映射.
3.能在实际问题中列出分段函数,并能解决有关问题.
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1.分段函数
所谓分段函数,是指在定义域的不同部分,有不同的对应关系的函数.
名师点拨分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数.分段函数的定义域是各段自变量取值的并集,值域是各段函数值的并集.
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2.映射
(1)定义:一般地,设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.
归纳总结满足下列条件的对应f:A→B为映射:
(1)A,B为非空集合;
(2)有对应关系f;
(3)集合A中的每一个元素在集合B中均有唯一确定的元素与之对应.
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(2)映射与函数的联系
归纳总结函数新概念,记准三要素;定义域值域,关系式相连;函数表示法,记住也不难;图象和列表,解析最常见;函数变映射,只是数集变;不再是数集,任何集不限.
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【做一做2-1】 已知映射f:A→B,对任意x∈A,则B中与x对应的元素有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.无数个
答案:B
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【做一做2-2】 下列从集合M到集合N的对应中,不是映射的是( )
解析:选项A,B,C均符合映射的定义,都是映射;选项D中,集合M中的元素1在集合N中有两个元素a和b与之对应,不符合映射的定义,则选项D不是映射.
答案:D
剖析:(1)集合A,B中的元素可以是数、点或图形等具有确定性的对象;(2)映射是有方向的,A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的;(3)映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应,而且这个与之对应的元素是唯一的,这样集合A中元素的任意性和集合B中与其对应的元素的唯一性就构成了映射的核心;(4)映射允许集合B中存在元素在A中没有元素与其对应;(5)映射是特殊的对应,即“多对一”或“一对一”的对应,而对应不一定是映射,其中“一对多”的对应不是映射.
题型一
题型二
题型三
题型四
A.①② B.②③
C.①④ D.②④
解析:对于①,集合M中的元素0在N中无元素与之对应,所以①不是映射;对于③,M中的元素0及负实数在N中没有元素与之对应,所以③不是映射;对于②④,M中的元素在N中都有唯一的元素与之对应,所以②④是映射.故选D.
答案:D
题型一
题型二
题型三
题型四
反思判断一个对应是不是映射,依据是映射的定义.判断方法为:先看集合A中每一个元素在集合B中是否均有对应元素.若不是,则不是映射;若是,再看对应元素是否唯一,若唯一,则是映射;若不唯一,则不是映射.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射:
(1)A=N*,B=N*,对应关系f:x→|x-3|;
(2)A={平面内的圆},B={平面内的矩形},对应关系f:作圆的内接矩形;
(3)A={高一(1)班的男生},B=R,对应关系f:每个男生对应自己的身高;
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)A中元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对值为0,而0?B,故不是映射.
(2)因为一个圆有无数个内接矩形,即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应,故不是映射.
(3)对A中任何一个元素,按照对应关系f,在B中都有唯一的元素与之对应,符合映射定义,是映射.
题型一
题型二
题型三
题型四
分析:先求f(-3),设f(-3)=m,再求f(m),设f(m)=n,再求f(n)即可.
解:∵-3<0,∴f(-3)=0.∴f(f(-3))=f(0)=π.
又π>0,∴f(f(f(-3)))=f(π)=π+1,
即f(f(f(-3)))=π+1.
反思1.求分段函数的函数值,一定要注意所给自变量的值所在的范围,再代入相应的解析式求得.
2.像本题中含有多层“f”的问题,要按照“由里到外”的顺序,层层处理.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
反思求实际问题中函数的解析式,其关键是要充分利用条件建立关于变量的等式.确定函数的定义域时,除了考虑函数解析式自身的限制条件外,还要考虑问题的实际意义.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
错因分析:本题是一个分段函数问题,在解决此类问题时,要紧扣“分段”的特征,即函数在定义域的不同部分,有不同的对应关系,它不是几个函数,而是一个函数.求值时不能忽视x的取值范围,因此错解中x=-2和x=1都应舍去.
正解:当x≥0时,由x2-1=3,得x=2或x=-2(舍去);
当x<0时,由2x+1=3,得x=1(舍去).故x的值为2.
题型一
题型二
题型三
题型四
