课件24张PPT。1.1.3 集合的基本运算第1课时 并集和交集1.理解两个集合的并集和交集的含义,明确数学中的“或”“且”的含义.
2.知道符号“∪”与“∩”的区别,能借助Venn图或数轴求两个集合的交集和并集.
3.能够利用交集、并集的性质解决有关问题.121.并集和交集的定义 12名师点拨1.简单地说,集合A和集合B的全部(公共)元素组成的集合就是集合A与B的并(交)集;
2.当集合A,B无公共元素时,它们的交集是空集;
3.在两个集合的并集中,属于集合A且属于集合B的元素只出现一次;
4.交集与并集的相同点是:由两个集合确定一个新的集合;不同点是:生成新集合的法则不同.12【做一做1-1】 设集合M={1,2},N={2,3},则M∪N等于( )
A.{1,2,2,3} B.{2}
C.{1,2,3} D.{1,3}
答案:C
【做一做1-2】 设集合P={-1,0,1},Q={-2,1,4},则P∩Q等于( )
A.{1} B.{-2,-1,0,1,4}
C.{4} D.{0,1}
答案:A122.并集和交集的性质 【做一做2】 设集合A={7,a},B={-1},若A∩B=B,则a=___.
解析:因为A∩B=B,所以B?A.
又-1∈B,则-1∈A.又A={7,a},则a=-1.
答案:-11.数学中的“且”与“或”的含义
剖析:(1)数学中的“且”与生活用语中的“且”的含义相同,均表示“同时”的含义,即“x∈A,且x∈B”表示元素x属于集合A同时属于集合B;(2)数学中的“或”与生活用语中的“或”的含义不同,生活用语中的“或”是指“或此”与“或彼”只取其中之一,并不兼存;而数学中的“或”是指“或此”“或彼”“或此彼”,可兼有.“x∈A或x∈B”包含三种情况:①x∈A,但x?B;②x∈B,但x?A;③x∈A,且x∈B.而生活中“小张或小李去办公室把作业本拿来”只包含两种情况:①“小张去,而小李不去”;②“小李去,而小张不去”,即仅其中一人去.2.符号“∪”与“∩”的区别
剖析:(1)“∪”是并集符号,M∪N表示集合M与N的并集,即集合M与N的全部元素组成的集合;“∩”是交集符号,M∩N表示集合M与N的交集,即集合M与N的公共元素组成的集合.(2)“∪”是并集,其结果中的元素不少于每个集合中的元素.而“∩”是交集,其结果中的元素不多于每个集合中的元素.3.用数轴表示数集
剖析:如果一个集合中的元素全部是实数,那么这个集合称为数集,可以用数轴表示部分数集,如下表所示:归纳总结1.数轴上方的“线”下面的实数就是集合中的元素;
2.当端点不在集合中时,该实数用“空心圆圈”表示;
3.如果在同一条数轴上表示两个数集,那么在数轴上对应它们的竖线(垂直于数轴)高度要有所不同,否则容易混淆.例如,在同一条数轴上表示集合{x|x>2}和{x|1
0},B={x|-2分析:先求出集合A,再把集合A,B表示在数轴上,根据数轴写出A∪B.
解:由题意知A={x|x>-1},B={x|-2故A∪B={x|x>-2}.
反思两个集合的并集是指两个集合的所有元素组成的集合.求两个集合的并集时,首先要将两个集合化为最简形式,然后可以用直接观察、借助Venn图、利用数轴分析等方法写出两个集合的并集.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】 满足A∪{-1,1}={-1,0,1}的集合A共有( )
A.2个 B.4个 C.8个 D.16个
解析:由已知可得0∈A,所以A可以是{0}或{-1,0}或{0,1}或{-1,0,1},共4个.故选B.
答案:B题型一题型二题型三题型四【例2】 设集合A={x|x2-7x+6=0},B={x|4分析:首先明确集合A,B中的元素:集合A是一元二次方程x2-7x+6=0的解集,集合B是不等式4解:易知A={1,6},B={5,6,7,8},用Venn图表示集合A,B,如图所示,依据交集的定义,观察可得A∩B={6}.题型一题型二题型三题型四反思求两个集合的交集时,首先要识别所给的集合,其次要化简集合,使集合中的元素明朗化,最后依据交集的定义写出结果.有时要借助Venn图或数轴写出交集.借助数轴时要注意数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】 设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B等于( )
A.{x|0≤x≤2} B.{x|1≤x≤2}
C.{x|0≤x≤4} D.{x|1≤x≤4}
解析:在数轴上表示出集合A与B,如图.
则由交集的定义,得A∩B={x|0≤x≤2}.
答案:A题型一题型二题型三题型四【例3】 设集合A={-2},B={x|ax+1=0},若A∩B=B,求实数a的值.
分析:A∩B=B→B?A→讨论集合B是否为空集→列方程→解得a的值题型一题型二题型三题型四反思在利用两个集合交集和并集的性质解题时,常借助交集、并集的定义以及集合间的关系去分析,如A∩B=A?A?B,A∪B=A?B?A等,解答时需要灵活处理.当题设中隐含有与空集有关的集合关系时,其特殊性很容易被忽视,从而引发解题失误.如本题易错得 B?A的理解不够全面,遗漏了B=?的情形.对于B?A,当A≠?时,则有B=?和B≠?两种情况需要讨论.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】 已知集合A={x|0≤x≤3},B={x|x>m},若A∪B=B,则实数m的取值范围是( )
A.m≤0 B.m<0
C.m≤3 D.0解析:∵A∪B=B,∴A?B.
如图所示,在数轴上表示集合A与B,则由图可知当A?B时,m<0.
答案:B题型一题型二题型三题型四易错点 A∩B=?的含义
【例4】已知集合A={x|x2+2x+2-p=0},B={x|x>0},且A∩B=?,求实数p满足的条件.
错解:因为A∩B=?,则A=?,所以关于x的方程x2+2x+2-p=0没有实数根.
所以Δ=22-4(2-p)<0,解得p<1.
错因分析:当A∩B=?时,若B≠?,则A=?或A≠?,且A与B没有公共元素,错解忽视了A≠?,且A与B没有公共元素的情况,导致错误.题型一题型二题型三题型四正解:由于A∩B=?,且B≠?,
则A=?或A≠?,且A与B没有公共元素.
当A=?时,Δ=22-4(2-p)<0,解得p<1;
当A≠?,且A与B没有公共元素时,
设关于x的方程x2+2x+2-p=0有非正数解x1,x2,
解得1≤p≤2.
故实数p满足的条件是p<1或1≤p≤2,即p≤2.题型一题型二题型三题型四反思当A∩B=?时,有以下四种情况:(1)A=?,B=?;(2)A≠?,B=?;(3)A=?,B≠?;(4)A≠?,B≠?,且A与B没有公共元素.当已知条件中出现A∩B=?时,这四种情况都要考虑到,否则容易出错.题型一题型二题型三题型四【变式训练4】 已知集合A={x|-1解:∵(A∩B)??,∴A∩B=?.
当B=?时,2a≥a+2,得a≥2;
综上所述,a的取值范围是a≤-3或a≥1.课件21张PPT。第2课时 补集1.理解全集、补集的含义,会求给定集合的补集. 2.能够解决交集、并集、补集的综合运算问题. 3.能借助Venn图,利用集合运算解决有关的实际应用问题.121.全集 122.补集 12归纳总结1.简单地说,?UA是从全集U中取出集合A的全部元素之后,所有剩余的元素组成的集合.
2.性质:A∪(?UA)=U,A∩(?UA)=?,?U(?UA)=A,?UU=?,?U?=U,?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB),?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).
3.如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示.12【做一做1】 设全集U={1,2,4,8},M={1,2},则?UM等于( )
A.{4} B.{8} C.{4,8} D.?
答案:C
【做一做2】 设全集为U,M={0,2,4},?UM={6},则U等于( )
A.{0,2,4,6} B.{0,2,4}
C.{6} D.?
解析:U=M∪(?UM)={0,2,4}∪{6}={0,2,4,6}.
答案:A?AC与?BC不一定相等
剖析:依据补集的含义,符号?AC和?BC都表示集合C的补集,但是?AC表示集合C在全集A中的补集,而?BC表示集合C在全集B中的补集;因为集合A和B不一定相等,所以?AC与?BC不一定相等.因此,求集合的补集时,首先要明确全集,否则容易出错.如集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},B={0,1,2,3,4},C={1,3,4},则?AC={2,5,6,7,8,9},?BC={0,2},很明显?AC≠?BC.题型一题型二题型三题型四题型五【例1】 已知全集U,集合A={1,3,5,7},?UA={2,4,6},?UB={1,4,6},求集合B.
分析:由A及?UA求出全集U,再由补集定义求出集合B,或利用Venn图求出集合B.
解法一∵A={1,3,5,7},?UA={2,4,6},
∴U={1,2,3,4,5,6,7}.
又?UB={1,4,6},∴B={2,3,5,7}.
解法二用Venn图表示集合U,A,B,如图所示,
由图可知B={2,3,5,7}.题型一题型二题型三题型四题型五反思根据补集的定义,借助Venn图,可直观地求出全集.此类问题,当集合中元素个数较少时,可借助Venn图求解;当集合中有无限个元素时,可借助数轴,利用数轴分析法求解.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练1】 已知全集U={x|-5≤x≤2},集合A={x|0≤x<1},则?UA= .?
解析:将集合U和集合A分别表示在数轴上,如图所示.
由补集定义得?UA={x|-5≤x<0,或1≤x≤2}.
答案:{x|-5≤x<0,或1≤x≤2}题型一题型二题型三题型四题型五【例2】 设全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|2分析:在数轴上表示集合A,B→求A∪B→求?R(A∪B)→求?RA→求(?RA)∩B
解:把集合A,B在数轴上表示如图所示.
由图知,A∪B={x|2∴?R(A∪B)={x|x≤2,或x≥10}.
又?RA={x|x<3,或x≥7},
∴(?RA)∩B={x|2反思数轴与Venn图有同样的直观功效,在数轴上可以直观地表示数集,所以进行集合的交集、并集、补集运算时,经常在数轴上进行表示.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练2】 已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},则(?UA)∩(?UB)等于( )
A.{5,8} B.{7,9}
C.{0,1,3} D.{2,4,6}
解析:由已知可得?UA={2,4,6,7,9},?UB={0,1,3,7,9},所以(?UA)∩(?UB)={7,9}.
答案:B题型一题型二题型三题型四题型五【例3】 某班共有30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,求喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数.
分析:先将文字语言转化为集合语言,设U为全班学生组成的集合,A,B分别表示喜爱篮球运动的学生组成的集合、喜爱乒乓球运动的学生组成的集合,再利用Venn图可直观得出答案.题型一题型二题型三题型四题型五解:设全集U={全班30名学生},A={喜爱篮球运动的学生},B={喜爱乒乓球运动的学生},画出Venn图如图所示.
设既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的人数为x,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-x,喜爱乒乓球运动但不喜爱篮球运动的人数为10-x,则有(15-x)+x+(10-x)+8=30,解得x=3.所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-x=15-3=12.
反思解答有关集合的实际应用题时,首先要将文字语言转化为集合语言,然后结合集合的交、并、补运算来处理.此外,由于Venn图简明、直观,很多有关集合的实际应用问题往往借助Venn图来分析.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练3】 某商店销售电视机和电脑两种电器,有15人进入该商店,有6人买了电视机,有5人买了电脑,其中有2人同时买了电视机和电脑,求这15人中没有在该商店消费的人数.
解:设全集U={进入商店的15人},A={买电视机的顾客},B={买电脑的顾客},画出Venn图,如图所示,则A∩B中有2人,(?UA)∩B中有5-2=3(人),(?UB)∩A中有6-2=4(人),则?U(A∪B)中有15-4-2-3=6(人),即这15人中没有在该商店消费的人数是6.题型一题型二题型三题型四题型五【例4】 设集合A={x|x+m≥0},B={x|-2分析:条件(?UA)∩B=?说明两个非空集合?UA和B没有公共元素.
解:
易得A={x|x≥-m},所以?UA={x|x<-m}.又B={x|-2(1)有限集:由补集求参数问题,若集合中元素个数有限时,可利用补集定义并结合集合知识求解.
(2)无限集:与集合交、并、补运算有关的求参数问题,若集合中元素有无限个时,一般利用数轴分析法求解.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练4】 若将例4中条件“(?UA)∩B=?”改为“(?UB)∪A=R”,其他条件不变,求m的取值范围.
解:由已知A={x|x≥-m},?UB={x|x≤-2,或x≥4}.
因为(?UB)∪A=R,所以-m≤-2,解得m≥2.题型一题型二题型三题型四题型五易错点 求补集时易漏掉一些特殊元素
【例5】 已知R为全集,A={x|-1≤x<3},B={x|-2错解:∵A={x|-1≤x<3},
∴?RA={x|x<-1,或x>3}.
∵B={x|-2∴(?RA)∩B={x|-2错因分析:错解在求A的补集时,由于考虑不严密,漏掉了元素3,从而导致最后的结果是错误的.题型一题型二题型三题型四题型五正解:∵A={x|-1≤x<3},
∴?RA={x|x<-1,或x≥3}.
∵B={x|-2∴(?RA)∩B={x|-2反思若已知集合是“连续”的数集(如本题中的集合A,B),求其补集时,易漏掉一些特殊的数(如端点等),可借助数轴来解决.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练5】 设全集U={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2},?UA={5},求实数a的值.
解法一:∵?UA={5},
∴5∈U,且5?A,
∴a2+2a-3=5,且|2a-1|≠5,
解得a=2或a=-4.
当a=2时,|2a-1|=3,A={2,3},符合题意;而当a=-4时,A={9,2},不是U的子集.∴a=2.
解法二:∵?UA={5},∴5∈U,且5?A,且|2a-1|=3.