课件24张PPT。1.3.2 奇偶性
第一课时 函数奇偶性的定义与判定课标要求:1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.2.学会利用图象理解和研究函数的性质.3.掌握判断函数奇偶性的方法. 自主学习奇函数、偶函数的定义
(1)偶函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内 一个x,都有 .
,那么函数f(x)就叫做偶函数.
(2)奇函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内 一个x,都有 .
,那么函数f(x)就叫做奇函数.知识探究任意f(-x)=f(x) f(x) 任意f(-x)=-探究1:若函数具有奇偶性则它的定义域有何特点?答案:定义域关于原点对称.探究2:若函数y=f(x)是奇函数,且点(a,f(a))是y=f(x)图象上一点,点(-a,
-f(a))是否在函数图象上?答案:由f(-a)=-f(a)知点(-a,-f(a))一定在函数y=f(x)图象上.自我检测2.若f(x)为R上的奇函数,则f(0)等于( )
(A)0 (B)-1 (C)1 (D)2B AC 4.若函数y=(x+1)(x-a)为偶函数,则a= .?解析:因为函数为偶函数,所以(-x+1)(-x-a)=(x+1)(x-a),即(a-1)x=(-a+1)
x恒成立,所以a-1=-a+1,a=1.
答案:15.函数y=f(x)是定义在[-2,a](a>-2)上的偶函数,则a的值为 .?解析:因为f(x)是偶函数,且定义在[-2,a]上,
所以定义域[-2,a]关于x=0对称,
所以a=-(-2)=2.
答案:2题型一函数奇偶性的判定(1)f(x)=x3+x; 课堂探究解:(1)函数的定义域为R,关于原点对称.
又f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x),
因此函数f(x)是奇函数.(3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),
不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.方法技巧 判断函数奇偶性的方法
(1)函数图象法.
(2)定义法:①求函数f(x)的定义域;
②判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称,若不关于原点对称,则该函数既不是奇函数,也不是偶函数,若关于原点对称,则进行下一步;
③结合函数f(x)的定义域,化简函数f(x)的解析式;
④求f(-x);
⑤根据f(-x)与f(x)之间的关系,判断函数f(x)的奇偶性:奇函数,偶函数,既奇又偶函数,非奇非偶函数;其中既奇又偶函数的表达式是f(x)=0,x∈A,A是关于原点对称的非空数集.即时训练1-1:判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=|x-1|+|x+1|;解:(1)f(x)的定义域是R,
又f(-x)=|-x-1|+|-x+1|
=|x+1|+|x-1|
=f(x),
故f(x)是偶函数.题型二函数奇偶性的图象特征【例2】 设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图,则不等式f(x)<0的解集是 .?解析:由奇函数的性质知,其图象关于原点对称,则f(x)在定义域[-5,5]上的图象如图,由图可知不等式f(x)<0的解集为{x|-2答案:{x|-2(2)奇函数与偶函数的图象特点:
①偶函数的图象关于y轴对称,反之,若f(x)的图象关于y轴对称,则f(x)为偶函数.
②奇函数的图象关于原点对称,反之,若f(x)的图象关于原点对称,则f(x)为奇函数.
③若0在奇函数f(x)的定义域内,则必有f(0)=0,即该奇函数的图象过坐标原点.方法技巧即时训练2-1:如图,给出了偶函数y=f(x)的局部图象,试比较f(1)与f(3)的大小.解:法一 因函数f(x)是偶函数,
所以其图象关于y轴对称,补全图如图.
由图象可知f(1)法二 由图象可知f(-1)又函数y=f(x)是偶函数,
所以f(-1)=f(1),f(-3)=f(3),
故f(1)即a×(-1)2+(-1)=-(-12+1),
整理得a-1=0,
解得a=1.
答案:(2)1 由函数的奇偶性求参数应注意两点
(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法,也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质,要注意函数奇偶性定义的正用和逆用.
(2)利用常见函数如一次函数,反比例函数,二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数.误区警示即时训练3-1:(1)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-2,2a],则a= ,b= ;?
(2)已知函数f(x)=ax2+2x是奇函数,则实数a= .?(2)由f(x)为奇函数得f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0,
所以a(-x)2+2(-x)+ax2+2x=0.即2ax2=0,所以a=0.
答案:(1) 0 (2)0谢谢观赏！课件23张PPT。第二课时 函数奇偶性的应用(习题课)课标要求:1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式.2.能利用函数的奇偶性与单调性分析,解决较简单的问题. 自主学习1.已知奇函数f(x)在[-3,-1]上单调递增,则f(x)在[1,3]上( )
(A)递增 (B)递减
(C)先增后减 (D)先减后增
2.已知偶函数在(-∞,0)上单调递增,则( )
(A)f(1)>f(2) (B)f(1)(C)f(1)=f(2) (D)以上都有可能AA自我检测C 4.函数f(x)是定义在R上的奇函数,且它是减函数,若实数a,b满足f(a)+f(b)
>0,则a+b 0(选填“>”“<”或“=”).?解析:由f(a)+f(b)>0得f(a)>-f(b)=f(-b),又f(x)在R上是减函数,所以a<
-b,即a+b<0.
答案:<5.奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数,且最大值是4,最小值是-1,则2f(-6)
+f(-3)= .?解析:由题意可知,f(-6)=-f(6)=-4,f(-3)=-f(3)=1,所以2f(-6)+f(-3)=-7.
答案:-7题型一利用奇偶性求函数值【例1】 设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x+m(m为常数),则f(-3)= .? 课堂探究解析:因为f(x)为R上的奇函数,
所以f(0)=0,即m=0,
所以f(x)=x2+2x,
故f(3)=32+2×3=15,
又f(x)为奇函数,
所以f(-3)=-f(3)=-15.
答案:-15 本题中当x≥0时,函数解析式含参数m,因此需利用奇函数在原点处有定义,则f(0)=0的性质,求出m的值,然后根据奇函数性质求f(-3)的值.误区警示即时训练1-1:已知函数f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=x2- ,则f(1)等于( )
(A)2 (B)1 (C)0 (D)-2解析:由f(x)是奇函数,得f(1)=-f(-1)=-[(-1)2- ]=-2.
故选D.题型二利用奇偶性求函数f(x)的解析式【例2】(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x-3,求f(x)的解析式;(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≤0时,f(x)=x3+x+1,求f(x)的解析式. 利用函数奇偶性求解析式时的注意事项:
(1)求哪个区间上的解析式,就在哪个区间上取x.
(2)然后要利用已知区间的解析式写出f(-x);
(3)利用f(x)的奇偶性把f(-x)写成-f(x)或f(x),从而解出f(x);
(4)要注意R上的奇函数定有f(0)=0.
若是求整个定义域内的解析式,各区间内解析式不一样时其结果一般为分段函数的形式,此点易忽略.方法技巧即时训练2-1:(1)已知函数f(x)是奇函数,且x>0时,f(x)=x+b,若f(-3)=5,则x<0时函数解析式为 ;?解析:(1)因为f(x)是奇函数,
所以f(-3)=-f(3)=5.所以f(3)=-5.
又x>0时,f(x)=x+b,
所以3+b=-5,
所以b=-8.
所以x>0时,f(x)=x-8.
设x<0,则-x>0,
即f(-x)=-x-8.
又f(x)是奇函数,
所以-f(x)=-x-8,即f(x)=x+8.
答案:(1)f(x)=x+8(2)已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=
x-x2,则当x∈(0,+∞)时,f(x)= .?解析:(2)设x>0,则-x<0,
所以f(-x)=(-x)-(-x)2=-x-x2,
又因为f(x)为偶函数.
所以f(-x)=f(x),故f(x)=-x-x2.
答案:(2)-x-x2函数的奇偶性与单调性的综合题型三(2)解不等式f(t-1)+f(2t)<0.变式探究1:若本例将定义域(-1,1)改为R,其他条件不变,则不等式f(t-1)
+f(2t)<0的解集是什么?变式探究2:本例中函数的值域是什么?方法技巧 (1)利用单调性和奇偶性解不等式的方法
①充分利用已知的条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)②在对称区间上根据奇函数的单调性一致,偶函数的单调性相反,列出不等式或不等式组,求解即可,同时要注意函数自身定义域对参数的影响.
(2)具有奇偶性的函数,它的单调性特点
①若f(x)是奇函数,且f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)在[-b,-a]上也为单调函数,且具有相同的单调性.
②若f(x)是偶函数,且f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)在[-b,-a]上也为单调函数,且具有相反的单调性.(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并加以证明.抽象函数的奇偶性题型四【例4】 已知对于任意非零实数x,y,函数f(x)(x≠0)满足f(xy)=f(x)+f(y).
(1)求f(1),f(-1);
(2)判断函数f(x)的奇偶性.解:(1)因为对任意非零实数x,y,函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),
取x=y=1,得f(1)=2f(1),所以f(1)=0.取x=y=-1,得f(1)=2f(-1),
所以f(-1)=0.
(2)对任意x≠0,取y=-1,得f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)+0=f(x),
即f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数.即时训练4-1:已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足f(ab)=af(b)+bf(a).
(1)求f(0),f(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论.解:(1)令a=b=0,则f(0×0)=0·f(0)+0·f(0)=0,
所以f(0)=0.令a=b=1,
则f(1×1)=f(1)+f(1),得f(1)=0.
(2)f(x)是奇函数,证明如下:
令a=b=-1,则f(1)=-f(-1)-f(-1)=0,
所以f(-1)=0.令a=-1,b=x,
则f(-x)=f[(-1)·x]=-f(x)+xf(-1)=-f(x).
故f(x)为奇函数.谢谢观赏！
