第2课时 补集
1.理解全集、补集的含义,会求给定集合的补集.
2.能够解决交集、并集、补集的综合运算问题.
3.能借助Venn图,利用集合运算解决有关的实际应用问题.
1
2
1.全集
1
2
2.补集
1
2
归纳总结1.简单地说,?UA是从全集U中取出集合A的全部元素之后,所有剩余的元素组成的集合.
2.性质:A∪(?UA)=U,A∩(?UA)=?,?U(?UA)=A,?UU=?,?U?=U,?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB),?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).
3.如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示.
1
2
【做一做1】 设全集U={1,2,4,8},M={1,2},则?UM等于( )
A.{4} B.{8} C.{4,8} D.?
答案:C
【做一做2】 设全集为U,M={0,2,4},?UM={6},则U等于( )
A.{0,2,4,6} B.{0,2,4}
C.{6} D.?
解析:U=M∪(?UM)={0,2,4}∪{6}={0,2,4,6}.
答案:A
?AC与?BC不一定相等
剖析:依据补集的含义,符号?AC和?BC都表示集合C的补集,但是?AC表示集合C在全集A中的补集,而?BC表示集合C在全集B中的补集;因为集合A和B不一定相等,所以?AC与?BC不一定相等.因此,求集合的补集时,首先要明确全集,否则容易出错.如集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},B={0,1,2,3,4},C={1,3,4},则?AC={2,5,6,7,8,9},?BC={0,2},很明显?AC≠?BC.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例1】 已知全集U,集合A={1,3,5,7},?UA={2,4,6},?UB={1,4,6},求集合B.
分析:由A及?UA求出全集U,再由补集定义求出集合B,或利用Venn图求出集合B.
解法一∵A={1,3,5,7},?UA={2,4,6},
∴U={1,2,3,4,5,6,7}.
又?UB={1,4,6},∴B={2,3,5,7}.
解法二用Venn图表示集合U,A,B,如图所示,
由图可知B={2,3,5,7}.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思根据补集的定义,借助Venn图,可直观地求出全集.此类问题,当集合中元素个数较少时,可借助Venn图求解;当集合中有无限个元素时,可借助数轴,利用数轴分析法求解.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练1】 已知全集U={x|-5≤x≤2},集合A={x|0≤x<1},则?UA= .?
解析:将集合U和集合A分别表示在数轴上,如图所示.
由补集定义得?UA={x|-5≤x<0,或1≤x≤2}.
答案:{x|-5≤x<0,或1≤x≤2}
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例2】 设全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|2
分析:在数轴上表示集合A,B→求A∪B→求?R(A∪B)→求?RA→求(?RA)∩B
解:把集合A,B在数轴上表示如图所示.
由图知,A∪B={x|2∴?R(A∪B)={x|x≤2,或x≥10}.
又?RA={x|x<3,或x≥7},
∴(?RA)∩B={x|2反思数轴与Venn图有同样的直观功效,在数轴上可以直观地表示数集,所以进行集合的交集、并集、补集运算时,经常在数轴上进行表示.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练2】 已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},则(?UA)∩(?UB)等于( )
A.{5,8} B.{7,9}
C.{0,1,3} D.{2,4,6}
解析:由已知可得?UA={2,4,6,7,9},?UB={0,1,3,7,9},所以(?UA)∩(?UB)={7,9}.
答案:B
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例3】 某班共有30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,求喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数.
分析:先将文字语言转化为集合语言,设U为全班学生组成的集合,A,B分别表示喜爱篮球运动的学生组成的集合、喜爱乒乓球运动的学生组成的集合,再利用Venn图可直观得出答案.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解:设全集U={全班30名学生},A={喜爱篮球运动的学生},B={喜爱乒乓球运动的学生},画出Venn图如图所示.
设既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的人数为x,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-x,喜爱乒乓球运动但不喜爱篮球运动的人数为10-x,则有(15-x)+x+(10-x)+8=30,解得x=3.所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-x=15-3=12.
反思解答有关集合的实际应用题时,首先要将文字语言转化为集合语言,然后结合集合的交、并、补运算来处理.此外,由于Venn图简明、直观,很多有关集合的实际应用问题往往借助Venn图来分析.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练3】 某商店销售电视机和电脑两种电器,有15人进入该商店,有6人买了电视机,有5人买了电脑,其中有2人同时买了电视机和电脑,求这15人中没有在该商店消费的人数.
解:设全集U={进入商店的15人},A={买电视机的顾客},B={买电脑的顾客},画出Venn图,如图所示,则A∩B中有2人,(?UA)∩B中有5-2=3(人),(?UB)∩A中有6-2=4(人),则?U(A∪B)中有15-4-2-3=6(人),即这15人中没有在该商店消费的人数是6.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例4】 设集合A={x|x+m≥0},B={x|-2分析:条件(?UA)∩B=?说明两个非空集合?UA和B没有公共元素.
解:
易得A={x|x≥-m},所以?UA={x|x<-m}.又B={x|-2
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思由集合的补集关系求解参数的方法:
(1)有限集:由补集求参数问题,若集合中元素个数有限时,可利用补集定义并结合集合知识求解.
(2)无限集:与集合交、并、补运算有关的求参数问题,若集合中元素有无限个时,一般利用数轴分析法求解.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练4】 若将例4中条件“(?UA)∩B=?”改为“(?UB)∪A=R”,其他条件不变,求m的取值范围.
解:由已知A={x|x≥-m},?UB={x|x≤-2,或x≥4}.
因为(?UB)∪A=R,所以-m≤-2,解得m≥2.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
易错点 求补集时易漏掉一些特殊元素
【例5】 已知R为全集,A={x|-1≤x<3},B={x|-2错解:∵A={x|-1≤x<3},
∴?RA={x|x<-1,或x>3}.
∵B={x|-2∴(?RA)∩B={x|-2错因分析:错解在求A的补集时,由于考虑不严密,漏掉了元素3,从而导致最后的结果是错误的.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
正解:∵A={x|-1≤x<3},
∴?RA={x|x<-1,或x≥3}.
∵B={x|-2∴(?RA)∩B={x|-2反思若已知集合是“连续”的数集(如本题中的集合A,B),求其补集时,易漏掉一些特殊的数(如端点等),可借助数轴来解决.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练5】 设全集U={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2},?UA={5},求实数a的值.
解法一:∵?UA={5},
∴5∈U,且5?A,
∴a2+2a-3=5,且|2a-1|≠5,
解得a=2或a=-4.
当a=2时,|2a-1|=3,A={2,3},符合题意;而当a=-4时,A={9,2},不是U的子集.∴a=2.
解法二:∵?UA={5},∴5∈U,且5?A,且|2a-1|=3.
第一章 集合与函数概念
1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示
1.了解集合的含义,并掌握集合中元素的三个特征.
2.掌握元素与集合的关系,并能用符号“∈”或“?”来表示.
3.掌握列举法和描述法,会选择不同的方法表示集合,记住常用数集的符号.
1
2
3
1.集合的概念
(1)含义:一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).
(2)集合相等:只要构成两个集合的元素是一样的,即这两个集合中的元素完全相同,就称这两个集合相等.
名师点拨集合中的元素必须满足如下性质:
(1)确定性:指的是作为一个集合中的元素,必须是确定的,即一个集合一旦确定,某一个元素属于或不属于这个集合是确定的,要么是该集合中的元素,要么不是,二者必居其一.
(2)互异性:集合中的元素必须是互异的,就是说,对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的.
(3)无序性:集合中的元素是没有顺序的,比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合.
1
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3
【做一做1】 下列能构成集合的是( )
A.中央电视台著名节目主持人
B.不超过20的非负数
C.班级中的优秀学生
D.世界上的高楼
答案:B
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2.元素与集合的关系
归纳总结1.对任意的元素a与集合A,在“a∈A”与“a?A”这两种情况中,必有一种且只有一种成立.
2.符号“∈”和“?”只能用于元素与集合之间,并且这两个符号的左边是元素,右边是集合,具有方向性,左右两边不能互换.
1
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3
【做一做2】 设M是所有偶数组成的集合,则( )
A.3∈M B.1∈M
C.2∈M D.2?M
解析:因为2是偶数,所以2是集合M中的元素,即2∈M.
答案:C
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3.集合的表示法
(1)自然语言表示法:用文字语言形式来表示集合的方法.例如:小于3的实数组成的集合.
(2)字母表示法:用一个大写拉丁字母表示集合,如A,B,C等,用小写拉丁字母表示元素,如a,b,c等.常用数集的表示:
(3)列举法:把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.
1
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名师点拨1.对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合,可采用列举法.
2.用列举法表示集合时,元素之间用“,”而不是用“、”隔开.
(4)描述法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.
1
2
3
【做一做3-2】 已知集合A={x|x-1=0},用列举法表示集合A= .?
解析:由题意可知A是方程x-1=0的解集.解方程x-1=0,得x=1,则A={1}.
答案:{1}
1.对集合中元素确定性的理解
剖析:教材中指出,把研究对象称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合,可理解为:研究对象就是构成集合的每个对象,即元素.一个对象是不是我们研究的对象(元素),其结果是明确的、确定的,只有两种结果:是或不是.因此,给定一个集合,任意一个元素要么在这个集合中,要么不在这个集合中,二者必居其一.例如,如果你是班内的文艺委员,让爱好唱歌的同学到音乐教室开会,那么可能会出现:你认为爱好唱歌的同学没有去,而你认为不爱好唱歌的同学反而去了,出现这种情况的原因是没有明确的标准来判断一名同学是否爱好唱歌.因此“爱好唱歌的同学”所指的对象不明确,不能构成一个集合.
2.点集的表示
剖析:在数学中,平面直角坐标系中的点通常用坐标(x,y)来表示.因此用列举法表示点集时,常写成{(x1,y1),(x2,y2),…}.用描述法表示点集时,由于其中元素的代表符号是(x,y),则常写成{(x,y)|x,y的特征,x,y∈R}.例如集合{(x,y)|y=x+1}表示函数y=x+1图象上所有点组成的集合.
题型一
题型二
题型三
题型四
【例1】 已知集合A={x|3-3x>0},则下列各式正确的是( )
A.3∈A B.1∈A
C.0∈A D.-1?A
解析:由题意可知A={x|x<1}.由3>1,1=1,0<1,-1<1,可得3?A,1?A,0∈A,-1∈A.
答案:C
反思判断一个元素是不是某个集合的元素,对于用描述法给出的集合,就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征;对于用列举法给出的集合,只需观察即可.
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 已知集合A={x|x-a<0},若3∈A,则下列各式一定正确的是( )
A.0?A B.1?A C.2∈A D.4∈A
解析:∵A={x|x-a<0}={x|x3,∴小于3的实数一定属于集合A,∴2∈A.
答案:C
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
【例2】 含有两个实数的集合A可以表示为{a-3,2a-1},求实数a满足的条件.
分析:根据集合中元素的互异性,得a-3≠2a-1,从而求出实数a满足的条件.
解:因为A={a-3,2a-1}中含有两个元素,由集合中元素的互异性,可得a-3≠2a-1,所以a≠-2,
即实数a满足的条件为a≠-2.
反思用列举法表示的集合,其默认的条件是集合中的元素各不相同,也就是说集合中的元素一定要满足互异性.
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 已知集合A中含有两个元素a和a2,若1∈A,则实数a的值为 .?
解析:由已知可得a=1或a2=1,即a=1或a=-1.
当a=1时,a=a2=1,不符合集合中元素的互异性,故a≠1;
当a=-1时,集合A中的元素是1和-1,符合集合中元素的互异性,故a=-1.
综上所述,实数a的值为-1.
答案:-1
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
【例3】 用列举法表示下列集合:
(1)小于1 000的所有自然数组成的集合;
(2)方程x2=1的实数根组成的集合;
(3)全体负整数组成的集合.
分析:先明确各集合中的元素,再分别用花括号括起来即可.
解:(1)设小于1 000的所有自然数组成的集合为A,则A={0,1,2,3,…,999}.
(2)设方程x2=1的实数根组成的集合为B,
则B={-1,1}.
(3)设全体负整数组成的集合为C,
则C={-1,-2,-3,-4,…}.
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
反思1.对于元素个数较少的集合或元素个数较多但元素间存在明显规律的集合,可采用列举法表示.
2.元素之间用逗号隔开,而不是顿号或分号.
3.元素不能重复且无遗漏.
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 用列举法表示下列集合:
(1)“rooftop”中所有字母组成的集合;
(2)直线y=x+1与y轴的交点组成的集合.
解:(1)用列举法表示为{r,o,f,t,p}.
(2)直线y=x+1与y轴的交点坐标为(0,1),从而所求集合为{(0,1)}.
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
【例4】 用描述法表示下列集合:
(1)被5除余1的正整数组成的集合;
(2)平面直角坐标系内,两个坐标轴上的点组成的集合;
(3)所有矩形组成的集合.
分析:先确定要求的集合中的元素是什么,比如数字、点、图形等,再明确集合中元素的特征.
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)设元素为x,
则x是5的非负整数倍加1,
即x=5k+1,k∈N.
因此用描述法表示为A={x|x=5k+1,k∈N}.
(2)设元素为(x,y),则x=0或y=0,即xy=0,因此用描述法表示为B={(x,y)|xy=0}.
(3)设元素为x,则x是矩形,因此用描述法表示为C={x|x是矩形}或C={矩形}.
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
反思1.对于含有无限个元素的集合,常用描述法表示.用描述法表示集合,首先应弄清楚集合的属性,是数集、点集,还是其他类型的集合.一般地,数集中的元素用一个字母表示,而点集中的元素用一个有序实数对来表示.
2.若描述元素的共同特征时,出现了元素记号以外的字母,则要对新字母说明其含义或指出其取值范围.
3.在不引起混淆的情况下,可以省去竖线及左边部分,如{直角三角形}.
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练4】 用描述法表示下列集合:
(1)由不等式x+1>0的所有实数解组成的集合;
(2)直线y=x上去掉原点的点组成的集合.
解:(1)A={x|x+1>0}.
(2)B={(x,y)|y=x,x≠0}.
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
易错点 集合中元素的互异性
【例5】 用列举法写出关于x的方程x2-(a+1)x+a=0的解集.
错解:由x2-(a+1)x+a=0,得(x-a)(x-1)=0,
所以方程的解为x=1或x=a,
则该方程的解集为{1,a}.
错因分析:错解中没有注意到a是参数,方程的解集带有不确定性.为了保证集合中元素的互异性,写出解集时要对a进行分类讨论.
正解:由x2-(a+1)x+a=0,得(x-a)(x-1)=0,所以方程的解为x=1或x=a.
若a=1,则方程的解集为{1};
若a≠1,则方程的解集为{1,a}.
反思对于用列举法表示的集合,若其中的元素用字母表示,要注意满足集合中元素的互异性.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练5】 已知集合A={0,1,2},B={2,3},则集合C={z|z=x-y,x∈A,y∈B}中所有元素之和为( )
A.-9 B.-8 C.-7 D.-6
解析:当x=0,y=2或3时,z的值分别为-2,-3;
当x=1,y=2或3时,z的值分别为-1,-2;
当x=2,y=2或3时,z的值分别为0,-1.
综上可知,集合C={-3,-2,-1,0},所以集合C中所有元素之和为-6.
答案:D
1.1.2 集合间的基本关系
1.掌握两个集合之间的包含关系和相等关系,并能正确地判断.
2.了解Venn图的含义,会用Venn图表示两个集合间的关系.
3.了解空集的含义及其性质.
1
2
3
4
1.Venn图
(1)定义:在数学中,经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图,这种表示集合的方法叫做图示法.
(2)适用范围:元素个数较少的集合.
(3)使用方法:把元素写在封闭曲线的内部.
名师点拨常把封闭曲线画成椭圆或矩形等图形.
【做一做1】 如图所示的Venn图表示的集合为( )
A.{-1,9,13} B.{x=-1,9,13}
C.-1,9,13 D.(-1,9,13)
答案:A
1
2
3
4
2.子集
(1)定义:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A?B(或B?A),读作“A含于B”(或“B包含A”).
名师点拨如果对任意x∈A,有x∈B,那么A?B.若存在x∈A,但x?B,则称A不是B的子集,记作A?B.
(2)图示:当A?B时,用Venn图表示,如图①或图②所示.
(3)性质:任何一个集合是它本身的子集,即A?A;对于集合A,B,C,如果A?B,且B?C,那么A?C.
1
2
3
4
【做一做2】 已知集合A={-4,-1,m},集合B={-4,5},若B?A,则实数m= .?
解析:∵B?A,5∈B,
∴5∈A.
∴m=5.
答案:5
1
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4
3.集合相等与真子集
归纳总结1.对于集合A,B,C,若A?B,B?C,则A?C;任何集合都不是它本身的真子集.
2.若A?B,且A≠B,则A?B.
1
2
3
4
【做一做3-1】 已知M={1,2,3,4,5},N={1,4},则 ( )
A.M>N B.N?M
C.N∈M D.M=N
答案:B
【做一做3-2】 下列集合与集合{x|x2-x=0}相等的是( )
A.{0} B.{1}
C.{0,1} D.{1,2}
解析:集合{x|x2-x=0}是方程x2-x=0的解集,解方程x2-x=0,得x=0或x=1,则{x|x2-x=0}={0,1}.
答案:C
1
2
4
3
4.空集
(1)定义:我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为?.
(2)规定:空集是任何集合的子集,即??A.
名师点拨空集是任何非空集合的真子集,即??A(A≠?).
【做一做4-1】 集合M={x∈R|2x2+3=0}中元素的个数是( )
A.不确定 B.2
C.1 D.0
解析:由于方程2x2+3=0无实数根,则M=?.
答案:D
1
2
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3
【做一做4-2】 有下列命题:①空集没有子集;②任一集合至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若??A,则A≠?.其中正确的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:对于①,空集是任何集合的子集,故???,①错;对于②,?只有一个子集,是其自身,②错;对于③,空集不是空集的真子集,③错;空集是任何非空集合的真子集,④正确.
答案:B
1.对空集的理解
中没有元素.也就是说,确实存在没有任何元素的集合,那么如何刻画没有元素的集合呢?为此引进了空集的概念,把不含任何元素的集合叫做空集,并记为?.对于上述方程和不等式,我们不能说它们没有解集,而应该说它们的解集是?.空集不含任何元素,它是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.空集的概念是一个规定.
注:(1)?是不含任何元素的集合;
(2){0}是含有一个元素的集合,??{0};
(3)0∈{0},0??.
2.符号“∈”和“?”的区别
剖析:符号“∈”只适用于元素与集合之间,其左边只能写元素,右边只能写集合,说明左边的元素属于右边的集合,表示元素与集合之间的关系,如-1∈Z , ∈R;符号“?”只适用于集合与集合之间,其左右两边都必须写集合,说明左边的集合是右边集合的子集,左边集合的元素均属于右边的集合,如{1}?{1,0},{x|x<2}?{x|x<3}.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例1】 已知集合M满足{2,3}?M?{1,2,3,4,5},求集合M及其个数.
分析:由{2,3}?M知,M中至少含有元素2,3,且必须含有元素2,3;由M?{1,2,3,4,5}知,M中至多含有元素1,2,3,4,5.按M中所含元素的个数分类写出集合M.
解:当M中含有2个元素时,M为{2,3};
当M中含有3个元素时,M为{2,3,1},{2,3,4},{2,3,5};
当M中含有4个元素时,M为{2,3,1,4},{2,3,1,5},{2,3,4,5};
当M中含有5个元素时,M为{2,3,1,4,5}.
所以满足条件的集合M为{2,3},{2,3,1},{2,3,4},{2,3,5},{2,3,1,4},{2,3,1,5},{2,3,4,5},{2,3,1,4,5},集合M的个数为8.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思1.正确区分子集、真子集以及非空真子集等概念,先看清题目的要求,再求解.
2.写出集合的子集时,一般可以按照集合的元素个数进行分类,再依次找出每类中符合要求的集合.
3.解决这类问题时,还要注意两个比较特殊的集合,即?和集合本身.
4.含有n(n≥1,且n∈N)个元素的集合有2n个子集,(2n-1)个真子集,(2n-2)个非空真子集.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练1】 已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|0A.1 B.2 C.3 D.4
解析:由已知可得集合A={1,2},B={1,2,3,4},又因为A?C?B,所以集合C可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4}.
答案:C
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思判断两个集合间的关系时,主要是根据这两个集合中元素的特征,结合有关定义来判断.对于用列举法表示的集合,只需要观察其元素即可得它们之间的关系;对于用描述法表示的集合,要从所含元素的特征来分析,分析之前可以用列举法多取几个元素来估计它们之间可能有什么关系,然后再加以证明.当M?N和M?N均成立时,M?N较准确地表达了M和N之间的关系.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练2】 已知集合A={x|-1A.A>B B.A?B
C.B?A D.A?B
解析:在数轴上表示集合A,B,如图所示.
显然B?A.
答案:C
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例3】 已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1分析:先在数轴上表示出集合A.由于B?A,故集合B只能在集合A的内部.
解:由题意,在数轴上表示出集合A,B,如图所示,
故实数m的取值范围是{m|-1≤m<2}.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思解决已知两个集合间的关系,求参数的范围问题时,通常要借助数轴;利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误.在用数轴表示集合时,含“=”的端点用实心点表示,不含“=”的端点用空心圆圈表示.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练3】 已知集合A={x|x<-1,或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B?A,求实数a的取值范围.
解:当B=?时,只需2a>a+3,即a>3;
综上可得,实数a的取值范围为{a|a<-4,或a>2}.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例4】 设集合A={x|-2解:由A=B知,两个集合中的不等式的端点值相等,
反思解决集合相等的问题,要抓住元素相同这一关键,即一个集合中有的元素必定另一个集合也有,同时注意可能出现元素的重复,注意检验和取舍.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练4】 设集合A={x,y},B={0,x2},若A=B,求实数x,y的值.
解:∵A=B,∴x=0或y=0.
①当x=0时,x2=0,则B={0,0},不满足集合中元素的互异性,舍去;
②当y=0时,x=x2,解得x=1或x=0(舍去),此时A={1,0}=B,满足条件.
综上可知,x=1,y=0.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练5】 设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},若B?A,求实数a的取值范围.
解:由题意得A={0,-4},B?A.
(1)当A=B时,即B={0,-4},
故0,-4是关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根,
(2)当B=?时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1.
(3)当B只含有一个元素时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1.
当a=-1时,B={x|x2=0}={0}?A,满足条件.
综上所述,所求实数a的取值范围为a≤-1或a=1.
1.1.3 集合的基本运算
第1课时 并集和交集
1.理解两个集合的并集和交集的含义,明确数学中的“或”“且”的含义.
2.知道符号“∪”与“∩”的区别,能借助Venn图或数轴求两个集合的交集和并集.
3.能够利用交集、并集的性质解决有关问题.
1
2
1.并集和交集的定义
1
2
名师点拨1.简单地说,集合A和集合B的全部(公共)元素组成的集合就是集合A与B的并(交)集;
2.当集合A,B无公共元素时,它们的交集是空集;
3.在两个集合的并集中,属于集合A且属于集合B的元素只出现一次;
4.交集与并集的相同点是:由两个集合确定一个新的集合;不同点是:生成新集合的法则不同.
1
2
【做一做1-1】 设集合M={1,2},N={2,3},则M∪N等于( )
A.{1,2,2,3} B.{2}
C.{1,2,3} D.{1,3}
答案:C
【做一做1-2】 设集合P={-1,0,1},Q={-2,1,4},则P∩Q等于( )
A.{1} B.{-2,-1,0,1,4}
C.{4} D.{0,1}
答案:A
1
2
2.并集和交集的性质
【做一做2】 设集合A={7,a},B={-1},若A∩B=B,则a=___.
解析:因为A∩B=B,所以B?A.
又-1∈B,则-1∈A.又A={7,a},则a=-1.
答案:-1
1.数学中的“且”与“或”的含义
剖析:(1)数学中的“且”与生活用语中的“且”的含义相同,均表示“同时”的含义,即“x∈A,且x∈B”表示元素x属于集合A同时属于集合B;(2)数学中的“或”与生活用语中的“或”的含义不同,生活用语中的“或”是指“或此”与“或彼”只取其中之一,并不兼存;而数学中的“或”是指“或此”“或彼”“或此彼”,可兼有.“x∈A或x∈B”包含三种情况:①x∈A,但x?B;②x∈B,但x?A;③x∈A,且x∈B.而生活中“小张或小李去办公室把作业本拿来”只包含两种情况:①“小张去,而小李不去”;②“小李去,而小张不去”,即仅其中一人去.
2.符号“∪”与“∩”的区别
剖析:(1)“∪”是并集符号,M∪N表示集合M与N的并集,即集合M与N的全部元素组成的集合;“∩”是交集符号,M∩N表示集合M与N的交集,即集合M与N的公共元素组成的集合.(2)“∪”是并集,其结果中的元素不少于每个集合中的元素.而“∩”是交集,其结果中的元素不多于每个集合中的元素.
3.用数轴表示数集
剖析:如果一个集合中的元素全部是实数,那么这个集合称为数集,可以用数轴表示部分数集,如下表所示:
归纳总结1.数轴上方的“线”下面的实数就是集合中的元素;
2.当端点不在集合中时,该实数用“空心圆圈”表示;
3.如果在同一条数轴上表示两个数集,那么在数轴上对应它们的竖线(垂直于数轴)高度要有所不同,否则容易混淆.例如,在同一条数轴上表示集合{x|x>2}和{x|1题型一
题型二
题型三
题型四
【例1】 设集合A={x|x+1>0},B={x|-2分析:先求出集合A,再把集合A,B表示在数轴上,根据数轴写出A∪B.
解:由题意知A={x|x>-1},B={x|-2故A∪B={x|x>-2}.
反思两个集合的并集是指两个集合的所有元素组成的集合.求两个集合的并集时,首先要将两个集合化为最简形式,然后可以用直接观察、借助Venn图、利用数轴分析等方法写出两个集合的并集.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 满足A∪{-1,1}={-1,0,1}的集合A共有( )
A.2个 B.4个 C.8个 D.16个
解析:由已知可得0∈A,所以A可以是{0}或{-1,0}或{0,1}或{-1,0,1},共4个.故选B.
答案:B
题型一
题型二
题型三
题型四
【例2】 设集合A={x|x2-7x+6=0},B={x|4分析:首先明确集合A,B中的元素:集合A是一元二次方程x2-7x+6=0的解集,集合B是不等式4
解:易知A={1,6},B={5,6,7,8},用Venn图表示集合A,B,如图所示,依据交集的定义,观察可得A∩B={6}.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思求两个集合的交集时,首先要识别所给的集合,其次要化简集合,使集合中的元素明朗化,最后依据交集的定义写出结果.有时要借助Venn图或数轴写出交集.借助数轴时要注意数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B等于( )
A.{x|0≤x≤2} B.{x|1≤x≤2}
C.{x|0≤x≤4} D.{x|1≤x≤4}
解析:在数轴上表示出集合A与B,如图.
则由交集的定义,得A∩B={x|0≤x≤2}.
答案:A
题型一
题型二
题型三
题型四
【例3】 设集合A={-2},B={x|ax+1=0},若A∩B=B,求实数a的值.
分析:A∩B=B→B?A→讨论集合B是否为空集→列方程→解得a的值
题型一
题型二
题型三
题型四
反思在利用两个集合交集和并集的性质解题时,常借助交集、并集的定义以及集合间的关系去分析,如A∩B=A?A?B,A∪B=A?B?A等,解答时需要灵活处理.当题设中隐含有与空集有关的集合关系时,其特殊性很容易被忽视,从而引发解题失误.如本题易错得 B?A的理解不够全面,遗漏了B=?的情形.对于B?A,当A≠?时,则有B=?和B≠?两种情况需要讨论.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 已知集合A={x|0≤x≤3},B={x|x>m},若A∪B=B,则实数m的取值范围是( )
A.m≤0 B.m<0
C.m≤3 D.0解析:∵A∪B=B,∴A?B.
如图所示,在数轴上表示集合A与B,则由图可知当A?B时,m<0.
答案:B
题型一
题型二
题型三
题型四
易错点 A∩B=?的含义
【例4】已知集合A={x|x2+2x+2-p=0},B={x|x>0},且A∩B=?,求实数p满足的条件.
错解:因为A∩B=?,则A=?,所以关于x的方程x2+2x+2-p=0没有实数根.
所以Δ=22-4(2-p)<0,解得p<1.
错因分析:当A∩B=?时,若B≠?,则A=?或A≠?,且A与B没有公共元素,错解忽视了A≠?,且A与B没有公共元素的情况,导致错误.
题型一
题型二
题型三
题型四
正解:由于A∩B=?,且B≠?,
则A=?或A≠?,且A与B没有公共元素.
当A=?时,Δ=22-4(2-p)<0,解得p<1;
当A≠?,且A与B没有公共元素时,
设关于x的方程x2+2x+2-p=0有非正数解x1,x2,
解得1≤p≤2.
故实数p满足的条件是p<1或1≤p≤2,即p≤2.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思当A∩B=?时,有以下四种情况:(1)A=?,B=?;(2)A≠?,B=?;(3)A=?,B≠?;(4)A≠?,B≠?,且A与B没有公共元素.当已知条件中出现A∩B=?时,这四种情况都要考虑到,否则容易出错.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练4】 已知集合A={x|-1解:∵(A∩B)??,∴A∩B=?.
当B=?时,2a≥a+2,得a≥2;
综上所述,a的取值范围是a≤-3或a≥1.
