3.1.2 用二分法求方程的近似解
1.了解二分法是求方程近似解的一种方法,能够借助于计算器用二分法求方程的近似解.
2.理解二分法的步骤与思想.
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1.二分法的概念
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
名师点拨二分法就是通过不断地将所选区间(a,b)一分为二,逐步地逼近零点的方法,即找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间内的某个数值近似地表示真正的零点.
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2.用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤
(1)确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε.
(2)求区间(a,b)的中点c.
(3)计算f(c);
若f(c)=0,则c就是函数的零点;
若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));
若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).
(4)判断是否达到精确度ε:
即若|a-b|<ε,则得到零点的近似值为a(或b);否则重复(2)~(4).
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【做一做1】 下列说法正确的是( )
A.二分法所求出的方程的解都是近似解
B.函数f(x)=|x|可以用二分法求零点
C.用二分法求函数零点的近似值时,每次等分区间后,零点必定在右侧区间内
D.若f(a)f(b)<0,且|a-b|<ε(ε为精确度),则区间(a,b)内的任意数都可作函数零点的近似值
答案:D
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3.二分法的应用
由函数的零点与相应方程根的关系,可以用二分法来求方程的近似解.
【做一做2】 下面关于二分法的叙述,正确的是( )
A.用二分法可求所有函数零点的近似值
B.用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任一位
C.二分法无规律可循,无法在计算机上完成
D.只有在求函数零点时才用二分法
答案:B
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【做一做3】 已知函数f(x)的图象是连续不断的曲线,在用二分法求方程f(x)=0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解所在的区间为( )
A.(1.25,1.5) B.(1,1.25)
C.(1.5,2) D.不能确定
解析:由于f(1.25)·f(1.5)<0,则方程的解所在的区间为(1.25,1.5).
答案:A
用二分法求方程的近似解需注意的问题
剖析:(1)看清题目要求的精确度,它决定着二分法步骤的结束.
(2)初始区间的选定要尽可能小,不同的初始区间结果是相同的,但等分区间的次数却相差较大.
(3)在二分法的第四步,由|a-b|<ε,便可判断零点的近似值为a或b,即只需进行有限次运算即可.
(4)用二分法求出的零点一般是零点的近似值,并不是所有函数都可以用二分法求零点的近似值;也就是说,并不是所有的方程都可以用二分法求近似解.
题型一
题型二
题型三
【例1】 下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
解析:利用二分法求函数零点必须满足零点两侧的函数值异号.在选项B中,不满足f(a)·f(b)<0,不能用二分法求零点;由于选项A,C,D中零点两侧的函数值异号,故可采用二分法求零点.
答案:B
题型一
题型二
题型三
题型一
题型二
题型三
【例2】 求方程lg x=2-x的近似解.(精确度0.1)
分析:在同一坐标系中,画出y=lg x和y=2-x的图象,确定方程的解所在的大致区间,再用二分法求解.
题型一
题型二
题型三
解:在同一坐标系中,作出y=lg x,y=2-x的图象如图所示,可以发现方程lg x=2-x有唯一解,记为x0,并且解在区间(1,2)内.
设f(x)=lg x+x-2,
则f(x)的零点为x0.
用计算器计算得f(1)<0,f(2)>0?x0∈(1,2);
f(1.5)<0,f(2)>0?x0∈(1.5,2);
f(1.75)<0,f(2)>0?x0∈(1.75,2);
f(1.75)<0,f(1.875)>0?x0∈(1.75,1.875);
f(1.75)<0,f(1.812 5)>0?x0∈(1.75,1.812 5).
∵|1.812 5-1.75|=0.062 5<0.1,
∴方程的近似解可取为1.812 5.
题型一
题型二
题型三
反思利用二分法求方程的近似解的步骤:(1)构造函数,利用图象确定方程的解所在的大致区间,通常取区间(n,n+1),n∈Z;(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M;(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解,通常取区间M的一个端点.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 根据下表,用二分法求函数f(x)=x3-3x+1在区间(1,2)内的零点的近似值(精确度0.1)是 .?
解析:首先根据零点在(1,2)区间内,再判断零点在(1.5,2)上,最终判断零点在(1.5,1.562 5)内.
答案:1.5或1.562 5
题型一
题型二
题型三
【例3】 某市A地到B地的电话线路发生故障,这是一条10 km长的线路,每隔50 m有一根电线杆,如何迅速查出故障所在?
分析:对每一段线路一一检查很麻烦,当然也是不必要的,可以利用二分法的思想设计方案.
题型一
题型二
题型三
解:如图,可首先从中点C开始查起,用随身携带的工具检查,若发现AC段正常,则断定故障在BC段;
再到BC段的中点D检查,若CD段正常,则故障在BD段;
再到BD段的中点E检查,如此,每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半,经过7次查找,即可将故障范围缩小到50~100 m之间,即可迅速找到故障所在.
反思本题实际上是二分法思想在实际问题中的应用,通过取区间(线路)的中点,依次使区间(线路)的长度减半,就逐步逼近了函数的零点(线路故障处),从而使问题得到解决.
题型一
题型二
题型三
【变式训练3】 物理课上老师拿出长为1m的一根电线,此电线中有一处折断无法通电(表面看不出来),如何迅速查出故障存在?要把折断处的范围缩小到3~4cm,要查多少次?
解:运用二分法的原理进行查找,经过5次查找就可将折断处的范围缩小到3~4cm.
第三章 函数的应用
3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
1.理解函数零点的定义以及函数零点与方程根的关系,会求函数的零点.
2.掌握函数零点的判定方法.
3.会用函数零点的存在性定理判断函数是否存在零点.
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1.函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点和相应方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的关系
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【做一做1】 已知二次函数y=x2-x-1,则使y=0成立的实数x有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.无数个
解析:判别式Δ=1+4=5>0,则方程x2-x-1=0有两个不相等的实数根,即使y=0成立的实数x有2个.
答案:C
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2.函数的零点
(1)定义:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)几何意义:函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是函数y=f(x)的零点.
(3)结论:方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点.
名师点拨并非所有的函数都有零点.例如,函数f(x)=x2+1,由于方程x2+1=0无实数根,故该函数无零点.
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【做一做2-1】 已知函数y=f(x)有零点,下列说法不正确的是( )
A.f(0)=0
B.方程f(x)=0有实根
C.函数f(x)的图象与x轴有交点
D.函数f(x)的零点是方程f(x)=0的实数根
答案:A
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3.函数零点的判定定理
名师点拨判断函数y=f(x)是否存在零点的方法:
(1)方程法:判断方程f(x)=0是否有实数解.
(2)图象法:判断函数y=f(x)的图象与x轴是否有交点.
(3)定理法:利用零点的判定定理来判断.
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【做一做3-1】 函数f(x)=x2+x-b2的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.无数
解析:∵关于x的一元二次方程x2+x-b2=0的根的判别式Δ=1+4b2>0,∴函数f(x)=x2+x-b2有2个零点.
答案:C
【做一做3-2】 若函数f(x)=kx-2x在(0,1)内有零点,则实数k的取值范围是 .?
解析:∵f(x)=kx-2x在(0,1)内有零点,
∴y1=kx与y2=2x的图象在(0,1)内有交点.画出
y2=2x在(0,1)内的图象,如图,又知y1=kx过原点,
故可知k>2时,y1与y2在(0,1)内有交点.
答案:(2,+∞)
1.对零点判定定理的理解
剖析:(1)当函数y=f(x)同时满足:①函数的图象在闭区间[a,b]上是连续曲线;②f(a)·f(b)<0,则可以判断函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,但是不能明确说明有几个零点.
(2)当函数y=f(x)的图象在闭区间[a,b]上不是连续曲线,或不满足f(a)·f(b)<0时,函数y=f(x)在区间[a,b]上可能存在零点,也可能不存在零点.
例如:二次函数f(x)=x2-2x-3在区间[3,4]上有f(3)=0,f(4)>0,所以f(3)·f(4)=0,但x=3是函数f(x)的一个零点.
函数f(x)=x2在区间[-1,1]上有f(-1)·f(1)=1>0,但是它存在零点0.
2.函数的零点不是点
剖析:我们把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)的零点,因此函数的零点不是点,是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标,即零点是一个实数.当函数的自变量取这一实数时,其函数值为零.函数f(x)的零点是方程f(x)=0的实根,方程f(x)=0有几个实根,函数f(x)就有几个零点.例如,函数f(x)=x+1,当f(x)=x+1=0成立时,x=-1,所以函数f(x)=x+1有一个零点-1,由此可见,函数f(x)=x+1的零点是一个实数,而不是一个点.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
反思1.求函数f(x)的零点时,可考虑解方程f(x)=0,方程f(x)=0无实数根,则函数f(x)无零点,方程f(x)=0有实数根,则方程的实数根是函数f(x)的零点.
2.本例(4)小题中容易错写成函数的零点是x=-6和x=2,其原因是没有验根.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 已知函数f(x)=x2+ax+b的零点是-1和-2,则函数g(x)=bx-a的零点为 .?
解析:由已知得-1和-2是方程x2+ax+b=0的根,
∴a=3,b=2,∴g(x)=2x-3.
令g(x)=2x-3=0,解得x=log23,故函数g(x)的零点为log23.
答案:log23
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
反思当无法解方程f(x)=0时,常用图象法判断函数f(x)的零点个数.
对于函数f(x),如果能化为f(x)=g(x)-h(x)的形式,其中函数g(x)和h(x)的图象能够画出来,那么在同一平面直角坐标系中画出函数g(x)和h(x)的图象,它们图象交点的个数就是函数f(x)的零点的个数.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
【例3】方程log3x+x=3的解所在的区间为( )
A.(0,2) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
解析:构造函数,转化为确定函数的零点所在的区间.令f(x)=log3x+x-3,则f(1)=log31+1-3=-2<0,f(2)=log32+2-3=logf(3)=log33+3-3=1>0,f(4)=log34+4-3=log312>0,那么方程log3x+x=3的解所在的区间为(2,3).
答案:C
反思判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题,当无法解方程f(x)=0时,常用函数零点的判定定理来解决.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 根据表格中的数据,可以断定方程ex-2x-5=0的一个根所在的区间是( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
解析:设f(x)=ex-2x-5,此函数的图象是连续不断的,由表可知f(0)=1-5=-4<0,f(1)=2.72-7=-4.28<0,f(2)=7.39-9=-1.61<0,f(3)=20.09-11=9.09>0,f(4)=54.60-13=41.60>0,所以f(2)·f(3)<0,所以函数f(x)的一个零点,即方程ex-2x-5=0的一个根所在的区间是(2,3).
答案:C
题型一
题型二
题型三
题型四
易错点 对函数零点的判定定理理解不透彻
【例4】 已知函数y=f(x)的图象在闭区间[a,b]上为一条连续的曲线,且f(a)·f(b)>0,则函数f(x)在(a,b)内( )
A.肯定没有零点
B.至多有一个零点
C.可能有两个零点
D.以上说法均不正确
错解:根据函数零点的判定定理可知,选A.
错因分析:当函数在闭区间[a,b]上为一条连续的曲线,且当f(a)·f(b)<0时,函数在(a,b)内至少存在一个零点.但是若不满足上述条件中的任何一个,则函数未必不存在零点.
题型一
题型二
题型三
题型四
正解:不妨设y=f(x)=x2-1,区间[a,b]为[-2,2],则f(-2)·f(2)>0,但是y=f(x)在区间(-2,2)内存在两个零点-1,1,则可以排除选项A,B,D,故选C.
题型一
题型二
题型三
题型四
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:函数f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0}.
当x>0时,f(x)>0,f(x)=0无实根;
当x<0时,f(x)<0,f(x)=0无实根.
综上,函数f(x)没有零点.
答案:A
