3.2.2 函数模型的应用实例
1.会利用已知函数模型解决实际问题.
2.能建立函数模型解决实际问题.
3.了解利用拟合函数模型解决实际问题.
函数模型的应用
(1)用已知的函数模型刻画实际问题;
(2)建立恰当的函数模型,并利用所得函数模型解释有关现象,对某些发展趋势进行预测,其基本过程如图所示:
名师点拨巧记函数建模过程:
收集数据,画图提出假设;
依托图表,理顺数量关系;
抓住关键,建立函数模型;
精确计算,求解数学问题;
回到实际,检验问题结果.
【做一做1】 一辆汽车的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示,那么图象所对应的函数模型是( )
A.一次函数模型
B.二次函数模型
C.指数函数模型
D.对数函数模型
答案:A
1.常用的函数模型
剖析:在实际问题中,常用的函数模型如下表所示:
2.在应用题中列出函数解析式的三种方法
剖析:解答应用题的实质是要转化题意,寻找所给条件中含有的相等关系,用等式把变量联系起来,然后再整理成函数的解析式的形式.常用的方法有:
(1)待定系数法:若题目给出了含参数的函数关系式,则可用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值,从而得到确定的函数解析式.
(2)归纳法:先让自变量x取一些特殊值,计算出相应的函数值,从中发现规律;再推广到一般情形,从而得到函数解析式.
(3)方程法:用x,y表示自变量及其他相关的量,根据问题的实际意义,运用掌握的数学、物理等方面的知识,列出关于x,y的二元方程;把x看成常数,解方程得y(即函数关系式),此种方法形式上和列方程解应用题类似,故称为方程法.
题型一
题型二
题型三
题型四
【例1】 灌满开水的热水瓶放在室内,如果瓶内开水原来的温度是θ1 ℃,室内气温是θ0 ℃,t min后,开水的温度可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt求得,这里,k是一个与热水瓶类型有关的正的常量.现有一只某种类型的热水瓶,测得瓶内水温为100 ℃,过1 h后又测得瓶内水温变为98 ℃.已知某种奶粉必须用不低于85 ℃的开水冲调,现用这种类型的热水瓶在早上六点灌满100 ℃的开水,问:能否在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调上述奶粉(假定该地白天室温为20 ℃)?
分析:先用待定系数法来确定k的值,然后根据给出的时间列出方程,解出水的温度,并与85 ℃相比,若高于这个温度,该热水瓶的水就可以用,否则不可以用.
题型一
题型二
题型三
题型四
利用计算器,解得k≈0.000 422.
故θ=20+80e-0.000 422t.
从早上六点至中午十二点共6 h,即360 min.
当t=360时,θ=20+80e-0.000 422×360=20+80e-0.151 92.由计算器算得θ≈89 ℃>85 ℃,即能够在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调奶粉.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 某种病毒经30 min繁殖为原来的2倍,且已知病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:h,y表示病毒个数),则k= ?,经过5 h,1个病毒能繁殖为 ?个.?
解析:当t=0.5时,y=2,
∴当t=5时,y=22×5=1 024.
答案:2ln 2 1 024
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
反思当实际应用题中没有给出函数模型时,其解题步骤是:
第一步:认真读题,缜密审题,确切理解题意,明确问题的实际背景,找出题意中所蕴含的函数关系;
第二步:恰当地设未知数,列出函数解析式,将实际问题转化成函数问题,即实际问题函数化;
第三步:运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题,得出函数问题的解;
第四步:将所得函数问题的解还原成实际问题的结论,要注意检验所得的结论是否符合实际问题的意义.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
【例3】 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观察站,测量最大积雪深度x cm与当年灌溉面积y hm2.现有连续10年的实测资料,如下表所示.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
(1)描点画出灌溉面积y hm2随积雪深度x cm变化的图象;
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y=f(x),并画出图象;
(3)根据所建立的函数模型,若今年最大积雪深度为25 cm,请估计可以灌溉的土地面积是多少?
分析:首先根据表中数据作出散点图,然后通过观察图象来判断问题所适用的函数模型.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)描点作图如图甲:
题型一
题型二
题型三
题型四
(2)从图甲中可以看到,数据点大致落在一条直线附近,由此,我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y=a+bx(a,b为常数,b≠0).取其中的两组数据(10.4,21.1),(24.0,45.8),代入y=a+bx,
用计算器可算得a≈2.4,b≈1.8.
这样,我们得到一个函数模型y=2.4+1.8x.作出函数图象如图乙,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系.
(3)由(2),得当x=25时,y=2.4+1.8×25=47.4,即当最大积雪深度为25 cm时,估计可以灌溉土地47.4 hm2.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思对于此类的实际应用问题,关键是建立适当的函数关系式,再解决数学问题,最后验证并结合问题的实际意义作出回答.这个过程就是先拟合函数再利用函数解题.函数拟合与预测的一般步骤是:
(1)根据原始数据,绘出散点图.
(2)通过观察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.
(3)根据所学的函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.
(4)利用函数关系式,根据条件对所给的问题进行预测,为决策和管理提供依据.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 某企业常年生产一种出口产品,自2013年以来,每年在正常情况下,该产品产量平稳增长.已知2013年为第1年,前4年年产量f(x)(单位:万件)如下表所示:
(1)画出2013~2016年该企业年产量的散点图;
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型,并求出函数解析式;
(3)2017年(即x=5)因受到某种原因的影响,年产量减少30%,试根据所建立的函数模型,确定2017年的年产量为多少?
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)画出散点图,如图所示.
(2)由散点图知,可选用一次函数模型.设f(x)=ax+b(a≠0).
∴f(x)=1.5x+2.5.检验:f(2)=5.5,
且|5.58-5.5|=0.08<0.1.
f(4)=8.5,且|8.44-8.5|=0.06<0.1.
∴一次函数模型f(x)=1.5x+2.5能基本反映年产量的变化.
(3)根据所建的函数模型,预计2017年的年产量为f(5)=1.5×5+2.5=10(万件),
又年产量减少30%,即10×(1-30%)=7(万件),即2017年的年产量为7万件.
题型一
题型二
题型三
题型四
易错点 求函数最值时忽略了实际情况对函数定义域的限制
【例4】 如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(b
问:当x为何值时,四边形EFGH的面积最大?并求出最大面积.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
反思利用函数解决实际问题时,要遵循定义域优先的原则,即必须考虑到自变量的实际意义,否则会出现错解.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练4】 渔场中鱼群的最大养殖量为m(m>0),为了保证鱼群的生长空间,实际养殖量x小于m,以便留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比,比例系数为k(k>0).
(1)写出y关于x的函数关系式,并指出该函数的定义域;
(2)求鱼群年增长量的最大值.
题型一
题型二
题型三
题型四
3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型
1.利用计算工具,比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.
2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.
1
2
1.四种函数模型的性质
1
2
【做一做1】 函数y=2x与y=x2的图象的交点个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:作出两个函数的图象,在第一象限中有2个交点,在第二象限中有1个交点,即共有3个交点.
答案:D
1
2
2.三种增长函数模型的比较
(1)指数函数和幂函数.
一般地,对于指数函数y=ax(a>1)和幂函数y=xn(n>0),通过探索可以发现,在区间(0,+∞)内,无论n比a大多少,尽管在x的一定变化范围内,ax会小于xn,但由于ax的增长快于xn的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有ax>xn.
(2)对数函数和幂函数.
对于对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0),在区间(0,+∞)内,随着x的增大,logax增长得越来越慢,图象就像是渐渐地与x轴平行一样.尽管在x的一定变化范围内,logax可能会大于xn,但由于logax的增长慢于xn的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有logax
1
2
(3)指数函数、对数函数和幂函数.
在区间(0,+∞)内,尽管函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.因此,总会存在一个x0,当x>x0时,就有logax【做一做2】 当x>4时,a=4x,b=log4x,c=x4,则有( )
A.aC.c答案:D
几类常见函数模型的增长特点
剖析:(1)直线模型:即一次函数模型y=kx+b(k≠0).现实生活中很多事例可以用直线模型表示,例如,匀速直线运动的时间和位移的关系,弹簧的伸长与拉力的关系等.直线模型的增长特点是直线上升(x的系数k>0),通过图象可以很直观地认识它.
(2)指数函数模型:能用指数型函数表达的函数模型y=k·ax+b(k≠0)叫做指数函数模型.指数函数增长的特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数a>1,ax的系数k>0),常形象地称之为“指数爆炸”.通过细胞分裂的实例以及函数图象的变化都可以清楚地看到“指数爆炸”的威力.
(3)对数函数模型:能用对数函数表达的函数模型y=klogax+b(k≠0)叫做对数函数模型.对数函数增长的特点是随着自变量的增大(底数a>1,logax的系数k>0),函数值增大的速度越来越慢.
题型一
题型二
题型三
题型一
题型二
题型三
解析:以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,可知变量y2关于x呈指数函数变化.
答案:y2
反思选择函数描述变化规律时,当增长速度最快且呈“爆炸”式增长时,常选择指数函数模型来描述;当增长速度较慢时,常选择对数函数模型来描述;当增长速度相对平稳时,常选择幂函数模型来描述;当增长的速度不变时,常选择一次函数模型来描述.
题型一
题型二
题型三
题型一
题型二
题型三
【例2】 甲、乙、丙三个公司分别到慈善总会捐款给某灾区,捐款方式如下:
甲公司:在10天内,每天捐款5万元给灾区;乙公司:在10天内,第1天捐款1万元,以后每天比前一天多捐款1万元;丙公司:在10天内,第1天捐款0.1万元,以后每天捐款都比前一天翻一番.
你觉得哪个公司最慷慨?
分析:分别计算三个公司在10天内的捐款总数,捐款总数越大的公司越慷慨.
题型一
题型二
题型三
题型一
题型二
题型三
由上表可以看出,丙公司捐款最多,为102.3万元,即丙公司最慷慨.
反思解答此类问题的关键是明确“指数爆炸”“对数增长”等函数增长差异,需注意幂函数的增长是介于两者之间的.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 某汽车制造商在2017年初公告:公司计划2017年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示:
如果我们分别将2014,2015,2016,2017定义为第一、二、三、四年.现在你有两个函数模型:二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),指数函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1),哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系?
题型一
题型二
题型三
题型一
题型二
题型三
题型一
题型二
题型三
易错点 提取图象信息错误而导致解题错误
【例3】 已知甲、乙两物体在同一直线上向同一方向做匀速直线运动,其位移y(单位:km)和运动时间x(单位:h)
(0≤x≤5)的关系如图所示,给出以下说法:
①甲、乙运动的速度相同,都是5 km/h;
②甲、乙运动的时间相同,开始运动后相等
时间内甲的位移比乙大;
③甲、乙运动的时间相同,乙的速度是4 km/h;
④当甲、乙运动了3h后,甲的位移比乙大3 km,但乙在甲前方2 km处.
其中正确的说法是( )
A.③ B.①②③ C.①③④ D.②③④
错解经分析,③是对的,故①错;对于②,因为乙的图象在甲的上方,所以应是甲的位移比乙小,故②错误;对于④,当甲、乙运动了3 h后,甲的位移为3×5=15(km),乙的位移为5+3×4=17(km),故④错误.故选A.
错因分析错解中因对乙出发点的位置理解不准确导致判断②④出错.
正解经分析③是对的,故①错;对于②,甲、乙运动的时间显然都是5 h,因为甲的速度为5 km/h,乙的速度为4 km/h,所以开始运动后相等时间内甲的位移比乙大,故②正确;对于④,当甲、乙运动了3 h后,甲的位移为3×5=15(km),乙的位移为3×4=12(km).又因为乙是从甲前方5 km处开始运动的,所以甲的位移比乙大3 km,但乙在甲前方2 km处,所以④正确,故选D.
题型一
题型二
题型三
题型一
题型二
题型三
反思图表型应用问题是高考中一道亮丽的风景线.这类试题应结合图象的特征,观察坐标轴所代表的含义,紧扣题目的语言描述,并把它转化为数学特征(单调性、最值等)即可得到完美的解决.
题型一
题型二
题型三
【变式训练3】
甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是( )
A.甲比乙先出发
B.乙比甲跑的路程多
C.甲、乙两人的速度相同
D.甲先到达终点
解析:由图可知,甲与乙同时出发,甲的速度大,甲先到达终点.
答案:D
