指数运算及指数函数习题课
1.掌握根式的性质及分数指数幂的运算性质.
2.能对指数函数的图象进行综合运用.
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4.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象性质
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【做一做4-1】 函数y=3x-2的图象不经过( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:将函数y=3x的图象向下平移2个单位,得到函数y=3x-2的图象,从而可知y=3x-2的图象不经过第二象限.
答案:B
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解决指数函数性质的综合问题应关注两点
剖析:(1)指数函数的单调性与底数有关,因此讨论指数函数的单调性时,一定要明确底数与1的大小关系.与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关,其解决方法一般是利用函数单调性的定义.
(2)指数函数本身不具有奇偶性,但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性,其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
反思1.进行指数幂的运算时,一般化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数,同时兼顾运算的顺序.
2.在明确根指数的奇偶(或具体次数)时,若能明确被开方数的符号,则可以对根式进行化简运算.
3.对于含有字母的化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式表示.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
反思根据函数图象的变换规律,有以下结论:
(1)函数y=ax+b(a>0,且a≠1)的图象,可由指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象向左(b>0)或向右(b<0)平移|b|个单位长度而得到;
(2)函数y=ax+b的图象,可由指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度而得到;
(3)函数y=a-x的图象与函数y=ax的图象关于y轴对称;函数y=-ax的图象与函数y=ax的图象关于x轴对称;函数y=-a-x的图象与函数y=ax的图象关于原点对称;函数y=a|x|的图象关于y轴对称,当x≥0时,其图象与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象相同;当x<0时,其图象与x>0时的图象关于y轴对称.
题型一
题型二
题型三
题型四
解析:当x>0时,y=ax(0
答案:D
题型一
题型二
题型三
题型四
(1)求f(x)的定义域;
(2)讨论f(x)的奇偶性.
分析:(1)要使f(x)有意义,只需分母不为零即可;(2)利用奇、偶函数定义求解.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
本章整合
基本初等函数(Ⅰ)
基本初等函数(Ⅰ)
基本初等函数(Ⅰ)
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一 指数、对数的有关运算问题
指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点,它们既是学习和研究指数函数、对数函数的基础,也是高考必考内容之一,学习时应引起足够的重视.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题二 指数函数、对数函数、幂函数的定义域和值域的应用
三种函数的定义域、值域如下表所示:
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
应用3已知不等式2x+3-2m>0在[0,+∞)内恒成立,求实数m的取值范围.
提示:g(m)f(x)恒成立,只需g(m)大于f(x)的最大值.
解:原不等式可变形为2m-3<2x,要使此不等式在[0,+∞)内恒成立,只需2m-3小于y=2x在[0,+∞)内的最小值.当x∈[0,+∞)时,由y=2x的单调性可知y=2x在[0,+∞)内的最小值是20=1,所以有2m-3<1,解得m<2.故实数m的取值范围为(-∞,2).
专题一
专题二
专题三
专题四
专题三 指数函数、对数函数图象的应用
指数函数、对数函数图象的应用有两个方面:一是已知函数解析式求作函数图象,即“知式求图”,此类题目往往是选择题,常借助于指数函数、对数函数的图象特征来解决;二是判断方程的根的个数时,通常不具体解方程,而是转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点个数问题.这就要求画指数函数、对数函数的图象时尽量准确,特别是一些关键点要正确,比如,指数函数的图象必过点(0,1),对数函数的图象必过点(1,0).
专题一
专题二
专题三
专题四
应用1方程a-x=logax(a>0,且a≠1)的实数解的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
提示:画出 的图象,观察交点的个数.要注意分a>1与0解析:当a>1时,在同一坐标系中画出y=logax的图象和y=a-x的图象如图①,由图象知两函数图象只有一个交点;当0
答案:B
专题一
专题二
专题三
专题四
应用2已知a>0,且a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的图象可能是( )
提示:先由函数的定义域判断函数图象的位置,再对底数a进行讨论,最后确定选项.
专题一
专题二
专题三
专题四
解析:由y=loga(-x)的定义域为(-∞,0)知,图象应在y轴左侧,可排除A,D选项.当a>1时,y=ax应为增函数,y=loga(-x)应为减函数,可知B项正确;而对C项,由y=ax的图象知y=ax为减函数,则0答案:B
专题一
专题二
专题三
专题四
专题四 指数函数、对数函数、幂函数的单调性的应用
1.解指数不等式、对数不等式
求解指数不等式、对数不等式时,一般是利用指数函数、对数函数的单调性去掉底数,转化为关于指数或真数的不等式,再求解.特别地,解对数不等式时,要防止定义域扩大,应在解的过程中加上限制条件,使定义域保持不变,即进行同解变形.若非同解变形,最后一定要检验.
专题一
专题二
专题三
专题四
应用1(1)已知3x≥30.5,求实数x的取值范围;
(2)已知0.2x<25,求实数x的取值范围.
提示:(1)构造指数函数,利用指数函数的单调性求解;(2)将式子转化为同底的指数式,然后利用指数函数的单调性求解.
解:(1)因为3>1,所以指数函数f(x)=3x在R上是增函数.由3x≥30.5,可得x≥0.5,即x的取值范围为[0.5,+∞).
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
2.求定义域
求形如函数y=f(ax)和y=f(logax)的定义域时,往往把ax和logax看成一个整体,列出关于ax和logax的不等式(组),解得定义域.
解析:要使函数有意义,则需6x-36≥0,
即6x≥62.又函数y=6x在R上是增函数,则x≥2.
答案:[2,+∞)
解析:要使函数有意义,则需1-log3x≥0,即log3x≤1=log33.又函数y=log3x在(0,+∞)内是增函数,则x≤3.又x>0,则0答案:(0,3]
专题一
专题二
专题三
专题四
3.比较大小
比较几个数的大小是指数函数、对数函数、幂函数的单调性的又一重要应用,其基本方法是,将需要比较大小的实数看成某类函数的函数值,然后利用该类函数的单调性进行比较,有时也采用中间量法、图象法、特殊值法等方法.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
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A.bC.b
所以b答案:A
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2(2016·山东高考)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=( )
A.(-1,1) B.(0,1)
C.(-1,+∞) D.(0,+∞)
解析:A={y|y>0},B={x|-1-1},选C.
答案:C
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3(2016·全国甲高考)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是( )
A.y=x B.y=lg x
解析:y=10lg x=x,定义域与值域均为(0,+∞).
y=x的定义域和值域均为R;y=lg x的定义域为(0,+∞),值域为R;
y=2x的定义域为R,值域为(0,+∞);
答案:D
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4(2016·全国乙高考)若a>b>1,0A.acC.alogbc
答案:C
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5(2015·课标全国Ⅱ高考)设函数
则f(-2)+f(log212)=( )
A.3 B.6
C.9 D.12
解析:∵f(-2)=1+log24=3,f(log212)=
∴f(-2)+f(log212)=9.
答案:C
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解析:∵f(a)=-3,
∴当a≤1时,f(a)=2a-1-2=-3,即2a-1=-1,此等式显然不成立.
当a>1时,f(a)=-log2(a+1)=-3,即a+1=23,解得a=7.
答案:A
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7(2015·课标全国Ⅰ高考)设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a=( )
A.-1 B.1
C.2 D.4
解析:设(x,y)是函数y=f(x)图象上的任意一点,它关于直线y=-x的对称点为(-y,-x),由已知得点(-y,-x)在曲线y=2x+a上,∴-x=2-y+a,解得y=-log2(-x)+a,
即f(x)=-log2(-x)+a.
∴f(-2)+f(-4)=-log22+a+(-log24)+a=1,解得a=2.
答案:C
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解析:函数f(x)的定义域为R,又由题意可知f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数.
答案:A
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解析:设logba=t,由a>b>1,知t>1.
由ab=ba,得b2b=,即得2b=b2,即b=2,
∴a=4.
答案:4 2
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解析:∵f(x)是偶函数,
∴f(-1)=f(1).
于是ln a=0,∴a=1.
答案:1
对数运算及对数函数习题课
1.能利用对数的概念和运算性质化简求值.
2.能借助对数函数的性质研究复杂函数的性质.
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3.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象与性质
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1.利用对数函数的单调性比较大小
剖析:(1)若底数为同一常数,则可利用对数函数的单调性进行判断;
(2)若底数为同一字母,则可根据对数函数的单调性对底数进行分类讨论;
(3)若底数不同,真数相同,则可利用对数函数的图象或换底公式化为同底数,再作比较;
(4)若底数、真数均不相同,则可借助中间值-1,0,1等与其作比较.
2.与对数函数有关的函数值域的求法
剖析:充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法.
对于形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的复合函数,其值域的求解步骤如下:
(1)分解成y=logau,u=f(x)这两个函数;
(2)求f(x)的定义域;
(3)求u的取值范围;
(4)利用y=logau的单调性求解.
注意事项:(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母),要考查其单调性,就必须对底数进行分类讨论.
(2)求对数函数的值域时,一定要注意定义域对它的影响.当对数函数中含有参数时,有时需讨论参数的取值范围.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思解决对数的运算问题,主要依据是对数的运算性质.常用方法有:
(1)将真数化为“底数”“已知对数的数”的幂的积,再展开;
(2)将同底数的对数的和、差、倍合并;
(3)不同底的对数式用换底公式化为同底.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
反思1.一般地,函数y=f(x±a)±b(a,b为正实数)的图象可由函数y=f(x)的图象变换得到.
将y=f(x)的图象向左或向右平移a个单位可得到函数y=f(x±a)的图象,再向上或向下平移b个单位可得到函数y=f(x±a)±b的图象(记忆口诀:左加右减,上加下减).
2.含有绝对值的函数的图象变换是一种对称变换,一般地,y=f(|x-a|)的图象是关于x=a对称的轴对称图形,也可以由y=f(x)的图象平移对称得到y=f(|x-a|)的图象;函数y=|f(x)|的图象与y=f(x)的图象在x轴上方相同,在x轴下方关于x轴对称.
3.y=f(x)的图象与y=f(-x)的图象关于y轴对称,y=f(x)的图象与y=-f(x)的图象关于x轴对称.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
反思1.对数型函数的单调性可用单调性定义判断.
2.关于形如y=logaf(x)一类函数的单调性,有以下结论:函数y=logaf(x)的单调性与函数u=f(x)(f(x)>0)的单调性,当a>1时相同,当0研究此类型的函数单调性,首先要考虑函数的定义域,即“定义域优先”.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
【例4】 已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x)(a>0,且a≠1).
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性,并予以证明;
(3)当a>1时,求使f(x)>0的x的取值范围.
题型一
题型二
题型三
题型四
(2)f(x)为奇函数.证明如下:
由(1)知f(x)的定义域为(-1,1),且f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x),故f(x)为奇函数.
(3)因为当a>1时,f(x)在定义域(-1,1)内是增函数,
所以由f(x)>0,得loga(x+1)-loga(1-x)>0,即loga(x+1)>loga(1-x),即x+1>1-x,解得00的x的取值范围是(0,1).
题型一
题型二
题型三
题型四
