第2课时 对数函数性质的应用
1.理解对数函数的单调性,并能利用单调性比较大小、求最值或值域、解不等式.
2.初步掌握对数函数在生活中的应用.
3.知道对数函数和指数函数互为反函数.
1.对数函数的图象和性质
对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象和性质如下表所示:
1
2
1
2
【做一做1-1】 若函数f(x)=logax在(0,+∞)内是减函数,则a的取值范围是( )
A.(0,+∞)
B.(-∞,1)
C.(0,1)
D.(1,+∞)
答案:C
【做一做1-2】 函数f(x)=log2x在[1,8]上的值域是 ( )
A.R B.[0,+∞)
C.(-∞,3] D.[0,3]
解析:函数f(x)=log2x在区间[1,8]上是增函数,故f(1)≤f(x)≤f(8),即0≤f(x)≤3.
答案:D
1
2
2.对数函数的反函数
对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的反函数是y=ax(a>0,且a≠1).
【做一做2】 函数y=3x的反函数是( )
A.y=x3 B.y=logx3
C.y=log3x D.y=lg x
答案:C
题型一
题型二
题型三
【例1】 比较下列各组中两个值的大小:
(1)log31.9,log32;(2)log23,log0.32;
(3)logaπ,loga3.141(a>0,且a≠1).
分析:(1)构造函数f(x)=log3x,利用其单调性比较;
(2)分别比较两对数与0的大小;
(3)分类讨论底数a的取值范围.
题型一
题型二
题型三
解:(1)(单调性法)因为f(x)=log3x在(0,+∞)内是增函数,由于1.9<2,则f(1.9)
(2)(中间量法)因为log23>log21=0,log0.32log0.32.
(3)(分类讨论)当a>1时,函数y=logax在定义域上是增函数,则有logaπ>loga3.141;
当0综上所述,当a>1时,logaπ>loga3.141;
当0题型一
题型二
题型三
反思比较两个对数值大小的方法:(1)单调性法:当底数相同时,构造对数函数利用其单调性来比较大小;(2)中间量法:当底数和真数都不相同时,通常借助中间量(如-1,0,1)来比较大小;(3)分类讨论法:当底数与1的大小关系不确定时,要对底数分类讨论.
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 已知实数a=log0.23,b=log0.30.2,c=log32,则a,b,c的大小关系为( )
A.bC.c解析:∵a=log0.23log0.30.3=1,
c=log32log31=0.∴a答案:D
题型一
题型二
题型三
题型一
题型二
题型三
反思对数不等式有三种常见类型:
(1)形如logax>logab(a>0,且a≠1,b>0)的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0(2)形如logax>b(a>0,且a≠1)的不等式,应将b化为以a为底的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解.
(3)形如logaf(x)>logbg(x)的不等式,基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值,利用对数函数的单调性来去掉对数符号,同时应保证真数大于零,取交集作为不等式的解集.
题型一
题型二
题型三
题型一
题型二
题型三
题型一
题型二
题型三
题型一
题型二
题型三
反思在解决底数中含字母的对数函数问题时,要注意对底数进行分类讨论,一般考虑a>1与00,且a≠1)的单调性的影响就会出现漏解或错解.
题型一
题型二
题型三
2.2 对数函数
2.2.1 对数与对数运算
第1课时 对数
1.理解对数的概念,掌握对数的基本性质.
2.理解对数的底数和真数的范围.
3.掌握指数式与对数式的互化,能应用对数的定义和性质解方程.
1
2
3
4
1.对数的概念
名师点拨对数式logaN可看作一种记号,表示关于x的方程ax=N(a>0,且a≠1)的解;也可以看作一种运算,即已知底为a(a>0,且a≠1),幂为N,求幂指数的运算.因此,对数式logaN又可看作幂运算的逆运算.
1
2
3
4
【做一做1-1】 若2m=3,则m=( )
A.log32 B.log23 C.log22 D.log33
答案:B
【做一做1-2】 log78的底数是 ,真数是 .?
答案:7 8
1
2
3
4
2.常用对数和自然对数
(1)常用对数:通常我们将以10为底的对数叫做常用对数,并把log10N记为lg N.?
(2)自然对数:在科学技术中常使用以无理数e=2.718 28…为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数,并把logeN记为ln N.?
【做一做2】 lg 7与ln 8的底数分别是( )
A.10,10 B.e,e C.10,e D.e,10
答案:C
1
2
3
4
3.对数与指数的关系
当a>0,且a≠1时,ax=N?x=logaN.
【做一做3】 log54=a化为指数式是( )
A.54=a B.45=a
C.5a=4 D.4a=5
答案:C
1
2
4
3
4.对数的基本性质
(1)零和负数没有对数.
(2)loga1=0(a>0,且a≠1).
(3)logaa=1(a>0,且a≠1).
【做一做4-1】 在b=log3(m-1)中,实数m的取值范围是( )
A.R B.(0,+∞)
C.(-∞,1) D.(1,+∞)
解析:由m-1>0,得m>1.
答案:D
解析:原式=0+1=1.
答案:1
如何理解对数的概念
剖析:(1)对数是由指数转化而来.对数式logaN=b是由指数式ab=N转化而来的,两式底数相同,对数式中的真数N就是指数式中的幂的值N,而对数值b是指数式中的幂指数b.对数式与指数式的关系如图所示.
在指数式ab=N中,若已知a,N,求幂指数b,便是对数运算b=logaN.
(2)在对数记号logaN中,a>0,且a≠1,N>0.
因为在ab=N中,a>0,且a≠1,所以在logaN中,a>0,且a≠1.
又因为正数的任何次幂都是正数,即ab>0(a>0),所以N=ab>0.
(3)并不是所有的指数式都能直接改写成对数式,如(-2)2=4不能写成log-24=2.只有当a>0,且a≠1,N>0时,才有ab=N?b=logaN.
(4)因为对数式与指数式实际上是同一关系的不同表示形式,所以可以将对数问题转化为指数问题来解决.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
反思1.求对数式logaN(a>0,且a≠1,N>0)的值的步骤:
(1)设logaN=m;(2)将logaN=m写成指数式am=N;(3)将N写成以a为底的指数幂N=ab,则m=b,即logaN=b.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
分析:由题目可获取以下主要信息:
(1)(2)小题对数的值是特殊实数0和1;
(3)小题中底数和真数都含有根式.
解答本题可利用对数的定义求解.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思解有关对数的方程时,首先观察方程,若在真数位置上含有未知数,则转化为指数式来解决,如本例(1)(2)小题;若底数和真数的位置上均不含有未知数,则求对数的值即可,如本例(3)小题;最后要注意验根,即检验是否符合对数的定义.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
易错点 忽视对数的底数的取值范围
【例4】 已知logx9=2,求x的值.
错解:∵logx9=2,∴x2=9,∴x=±3.
错因分析:错解中,忽视了底数a>0,且a≠1,导致出现增根.
正解:∵logx9=2,∴x2=9,∴x=±3.
又x>0,且x≠1,∴x=3.
反思解决有关对数问题,要明确对数的底数是不等于1的正数,真数是正数,否则容易出现错解.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练4】 已知logx(x2-3x+3)=1,则x= .?
解析:∵logx(x2-3x+3)=1,
答案:3
第2课时 对数的运算
1.掌握对数的运算性质,并能运用运算性质化简、求值.
2.了解对数的换底公式及其应用.
3.初步掌握对数在生活中的应用.
1
2
1
2
【做一做1-1】 lg 2+lg 5的值为( )
A.2 B.5
C.7 D.1
解析:原式=lg(2×5)=lg 10=1.
答案:D
【做一做1-2】 log318-log32的值为( )
A.log316 B.log320
C.log336 D.2
答案:D
1
2
1
2
对数的运算性质
剖析:(1)对数的运算性质是我们进行化简、求值及证明的依据,要灵活掌握,达到正用、逆用及变形用.
(2)使用对数运算性质的前提条件是M>0,N>0,a>0,且a≠1,没有上述条件,公式就不一定成立.如log2[(-2)×(-7)]是存在的,但log2(-2)与log2(-7)不存在,故log2[(-2)×(-7)]≠log2(-2)+log2(-7).
(3)对数的运算性质与指数的运算性质的关系如下表(表中M>0,N>0,a>0,且a≠1).
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
反思对于同底的对数的化简,常用方法是:
(1)“收”:将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数;
(2)“拆”:将积(商)的对数拆成对数的和(差);
(3)“收”和“拆”相结合,如本题(2).
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
【例2】 已知log189=a,18b=5,求log3645.(用a,b表示)
分析:先利用指数式和对数式的互化公式,将18b=5化成log185=b,再利用换底公式将log3645化成以18为底的对数,最后进行对数运算.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思1.利用换底公式可以把不同底的对数化成同底的对数,要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.
2.题目中有指数式和对数式时,要注意将指数式与对数式统一成一种形式.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
【例3】 一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩余的质量约是原来的84%,估计经过多少年,该物质的剩余量是原来的一半?(结果保留整数)
分析:归纳出剩余量关于时间的关系式,利用计算器求解.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:设最初的质量是1,经过x年,剩余量是y,则
经过1年,剩余量是y=0.84;
经过2年,剩余量是y=0.842;
……
经过x年,剩余量是y=0.84x.
依题意,得0.84x=0.5,
解得x=log0.840.5.
故约经过4年,该物质的剩余量是原来的一半.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思解有关对数应用问题的步骤:(1)审清题意,弄清各数据的含义;(2)恰当地设未知数,建立数学模型,即已知ax=N(a,N是常数,且a>0,a≠1),求x;(3)利用换底公式借助计算器来解数学模型;(4)还原为实际问题,归纳结论,注意有时要检验结论是否符合实际意义.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 抽气机每次抽出容器内空气的60%,要使容器内的空气少于原来的0.1%,则至少要抽几次?(lg 2≈0.301 0)
解:设至少抽n次可使容器内空气少于原来的0.1%,原来容器中的空气体积为a,
则a(1-60%)n<0.1%a,即0.4n<0.001,
两边取常用对数得n·lg 0.4
故至少需要抽8次.
题型一
题型二
题型三
题型四
错因分析:错解中,lg x+lg y=2lg(x-2y)与xy=(x-2y)2对x,y的取值范围的要求是不相同的,即求解过程不等价,因此,得出解后要代入原方程验证,这是求解过程中最易忽略的地方.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思根据指数式与对数式的互化可知,真数实际上是指数式中的指数幂,故为正数.所以当求解含有对数式的问题时,一定要注意真数的取值范围,保证真数大于零.求解过程不等价时,在求出答案后需进行检验.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练4】 已知方程lg(x+1)+lg x=lg 6,则x等于 ( )
A.-3 B.2
C.-3或2 D.3或-2
解析:∵lg(x+1)+lg x=lg 6,
解得x=2.
答案:B
2.2.2 对数函数及其性质
第1课时 对数函数的图象和性质
1.掌握对数函数的概念,会判断对数函数.
2.初步掌握对数函数的图象和性质.
3.能利用对数函数的性质解决与对数函数有关的定义域、定点问题.
1
2
3
1.对数函数的定义
一般地,我们把函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
归纳总结1.由于指数函数y=ax中的底数a满足a>0,且a≠1,则对数函数y=logax中的底数a也必须满足a>0,且a≠1.
2.对数函数的解析式同时满足:(1)对数符号前面的系数是1;(2)对数的底数是不等于1的正实数(常数);(3)对数的真数仅有自变量x.
1
2
3
2.对数函数的图象和性质
一般地,对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象和性质如下表所示:
1
2
3
归纳总结对数函数的知识总结:
对数增减有思路,函数图象看底数;
底数只能大于0,等于1来可不行;
底数若是大于1,图象从下往上增;
底数0到1之间,图象从上往下减;
无论函数增和减,图象都过(1,0)点.
1
2
3
【做一做2-1】 函数y=log4.3x的值域是( )
A.(0,+∞) B.(1,+∞)
C.(-∞,0) D.R
答案:D
1
2
3
3.反函数
对数函数y=logax(a>0,且a≠1)和指数函数y=ax(a>0,且a≠1)互为反函数.它们的图象关于直线y=x对称.
【做一做3】 函数y=ln x的反函数是 .?
答案:y=ex
对数函数和指数函数的区别与联系
剖析:将对数函数和指数函数的性质对比列表如下:
题型一
题型二
题型三
题型四
【例1】 下列函数中,哪些是对数函数?
(1)y=logax2(a>0,且a≠1);
(2)y=log2x-1;
(3)y=2log8x;
(4)y=logxa(x>0,且x≠1);
(5)y=log5x.
分析:根据对数函数的定义进行判断.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:只有(5)为对数函数.
(1)中真数不是自变量x,故不是对数函数;
(2)中对数式后减1,故不是对数函数;
(3)中log8x前的系数是2,而不是1,
故不是对数函数;
(4)中底数是自变量x,而非常数a,故不是对数函数.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 若函数f(x)=(a2-a+1)log(a+1)x是对数函数,则实数a= .?
解得a=1.
答案:1
题型一
题型二
题型三
题型四
解得x<4,且x≠3,
故函数的定义域为(-∞,3)∪(3,4).
反思求与对数函数有关的函数的定义域时,除了已学习过的求函数定义域的方法外,还要注意对数的真数大于零.特别地,函数y=logaf(x)的定义域是使f(x)>0的x的取值范围.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
【例3】 已知函数f(x)=loga(x+1)+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标是 .?
解析:令x+1=1,得x=0,
则f(0)=loga1+1=1,即定点P的坐标为(0,1).
答案:(0,1)
反思函数f(x)=klogag(x)+b(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,若g(m)=1,则定点P的坐标为(m,b).
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
易错点 忽略对数函数的定义域致错
【例4】 已知函数y=f(x),x,y满足关系式lg(lg y)=lg(3-x),求函数y=f(x)的表达式及定义域、值域.
错解:∵lg(lg y)=lg(3-x),∴lg y=3-x,
∴y=103-x,定义域为R,值域为(0,+∞).
题型一
题型二
题型三
题型四
正解:∵lg(lg y)=lg(3-x),
∴y>103-3=1,
∴y=f(x)的定义域为(-∞,3),值域是(1,+∞).
反思解决含有对数的问题时,一定要使对数式有意义,即要使对数的真数大于0,底数大于0且不等于1.
题型一
题型二
题型三
题型四
