高中数学新人教A版必修2课件：第四章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系（32张ppt）

课件32张PPT。4.2　直线、圆的位置关系
4.2.1　直线与圆的位置关系课标要求:1.理解直线和圆的三种位置关系.2.会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.3.能解决直线与圆位置关系的综合问题.自主学习知识探究1.直线与圆的位置关系及图形表示由上表可知,当直线与圆相交时,有两个公共点;当直线与圆相切时,只有一个公共点;当直线与圆相离时,没有公共点.2.直线与圆的位置关系的判断方法
判断直线与圆的位置关系一般有两种方法.
(1)代数法(判别式法):将直线和圆的方程联立得到一个关于x,y的二元二次方程组,消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程,则
Δ>0?直线和圆相交(有两个公共点);
Δ=0?直线和圆相切(有一个公共点);
Δ<0?直线和圆相离(无公共点).
(2)几何法:设圆心到直线的距离为d,圆的半径长为r,则
dd=r?直线和圆相切(有一个公共点);
d>r?直线和圆相离(无公共点).用表格表示如下:3.自一点引圆的切线的条数
(1)若点在圆外,则过此点可以作圆的两条切线.
(2)若点在圆上,则过此点只能作圆的一条切线,且此点是切点.
(3)若点在圆内,则过此点不能作圆的切线.
4.切线方程的几个重要结论
(1)经过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)经过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+
(y0-b)(y-b)=r2.6.切点弦方程
过圆x2+y2=r2外一点P(x0,y0)引圆的两条切线,切点分别为A,B,则过A,B两点的直线方程为x0x+y0y=r2.
7.弦长问题
设直线l的方程为y=kx+b,圆O的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2,求弦长的方法有以下两种:(2)代数法:将直线方程与圆的方程组成方程组,设交点坐标分别为E(x1,y1),
F(x2,y2).
①若交点坐标简单易求,则直接利用两点间的距离公式进行求解.自我检测(教师备用)1.直线x+y-3=0与圆x2+y2-4y=0的位置关系为(　 　)
(A)相交且直线过圆心
(B)相交且直线不过圆心
(C)相切
(D)相离B3.已知直线x=a(a>0)和圆(x-1)2+y2=4相切,那么a的值是(　 　)
(A)5 (B)4
(C)3 (D)2BCD5.圆心坐标为(2,-1)的圆被直线x-y-1=0截得的弦长为2 ,则此圆的方程为　　　　　　　　　　.?答案:(x-2)2+(y+1)2=4题型一 直线与圆位置关系的判断【例1】 已知圆x2+y2=8,定点P(4,0),过点P的直线的斜率在什么范围内取值时,这条直线与已知圆:(1)相交;(2)相切;(3)相离,并写出过点P的切线方程.课堂探究解:设过点P的直线的斜率为k(由已知k存在),则方程为y=k(x-4).
法一　由 消去y,得x2+k2(x-4)2=8,
即(k2+1)x2-8k2x+16k2-8=0,
Δ=(-8k2)2-4(1+k2)(16k2-8)=32(1-k2).(1)令Δ>0,即32(1-k2)>0,得-1所以当k的取值范围为(-1,1)时,直线与圆相交.
(2)令Δ=0,32(1-k2)=0,得k=±1.
所以当k=±1时直线与圆相切,切线方程为x-y-4=0或x+y-4=0.
(3)令Δ<0,32(1-k2)<0,k>1或k<-1.
所以当k的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞)时,直线与圆相离.方法技巧 判定直线与圆位置关系的常用方法
(1)几何法:根据圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系判断.
(2)代数法:根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数判断.
(3)直线系法:若动直线过定点P,则点P在圆内时,直线与圆相交;当P在圆上时,直线与圆相切或相交;当P在圆外时,直线与圆位置关系不确定.即时训练1-1:已知点P(x0,y0),圆O:x2+y2=r2(r>0),直线l:x0x+y0y=r2,有以下几个结论:①若点P在圆O上,则直线l与圆O相切;②若点P在圆O外,则直线l与圆O相离;③若点P在圆O内,则直线l与圆O相交;④无论点P在何处,直线l与圆O恒相切.其中正确的个数是(　　)
(A)1 (B)2
(C)3 (D)41-2:已知圆C的方程是(x-1)2+(y-1)2=4,直线l的方程为y=x+m,求:当m为何值时,
(1)直线平分圆;
(2)直线与圆相切;
(3)直线与圆有两个公共点.解:(1)因为直线平分圆,所以圆心在直线上,即有m=0.题型二 直线被圆截得的弦长问题【例2】 已知圆的方程为x2+y2=8,圆内有一点P(-1,2),AB为过点P且倾斜角为α的弦.
(1)当α=135°时,求AB的长;(2)当弦AB被点P平分时,求直线AB的方程.2-2:设直线x+2y+4=0和圆x2+y2-2x-15=0相交于点A,B.
(1)求弦AB的垂直平分线方程;解:(1)因为圆x2+y2-2x-15=0化成标准方程得(x-1)2+y2=16,
所以圆心为C(1,0),半径r=4.
因为直线x+2y+4=0和圆x2+y2-2x-15=0相交于点A,B,
所以设弦AB的垂直平分线方程为l:2x-y+m=0,
由垂径定理,可知点C(1,0)在l上,得2×1-0+m=0,
解得m=-2.
因此,弦AB的垂直平分线方程为2x-y-2=0.(2)求弦AB的长.题型三直线与圆相切问题【例3】 (12分)已知圆O:x2+y2=4.
(1)过点P( , )作圆O的切线,求切线l的方程;(2)过点Q(2,4)作圆O的切线,求切线l的方程.变式探究:若本例中(2)改为过点Q(2,4)作圆的切线,则切线长为　　 　.?答案:4 方法技巧 (1)用点斜式求直线方程时要首先验证斜率不存在的情形.(2)直线与圆相切用几何法列式计算比较简单,一般不用代数法(判别式法).
(3)求动点P的轨迹方程要用坐标变量表示P点,即P(x,y),然后利用条件列出(x,y)满足的方程化简则得解.即时训练3-1:(1)已知圆x2-2ax+y2=0(a>0)与直线l:x- y+3=0相切,则a=　　　　.?答案:(1)3(2)过点P(2,1)作圆x2+(y-2)2=1的切线,则切线长为　　　　.?答案:(2)2