高中数学新人教A版必修2课件：第四章圆与方程4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用（26张ppt）

课件26张PPT。4.2.2　圆与圆的位置关系
4.2.3　直线与圆的方程的应用课标要求:1.能根据圆的方程,判断圆与圆的位置关系.2.能用直线与圆的方程解决一些简单的问题,了解代数方法解决几何问题的思想.自主学习知识探究1.圆与圆的位置关系及其判断
(1)几何法.由两圆的圆心距d与半径长r,R(R>r)的关系来判断.(2)代数法.设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0.
对于方程组
消去x2,y2,得到一个二元一次方程,然后将其代入其中一个圆的方程得到一个一元二次方程.利用判别式Δ判断两圆的位置关系如下:
Δ>0?有两个不同实数解?两圆相交;
Δ=0?有两个相同实数解?两圆相切(外切或内切);
Δ<0?没有实数解?两圆相离(外离或内含).2.两圆相交时公共弦所在直线的方程
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0　①,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0　②,若两圆相交,则有一条公共弦,由①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0　③.
(1)方程③表示两圆C1与C2的公共弦所在直线的方程;
(2)若圆C1与圆C2的半径长相等,则方程③表示的直线是两圆的对称轴.
3.两圆公共弦长的求法
(1)代数法:将两圆的方程联立得方程组,由此解出两交点的坐标,再利用两点间的距离公式求公共弦长.
(2)几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用勾股定理解直角三角形,求出公共弦长.4.两圆的位置关系与公切线条数的关系
(1)两圆外离,有四条公切线.
(2)两圆外切,有三条公切线.
(3)两圆相交,有两条公切线.
(4)两圆内切,有一条公切线.
(5)两圆内含,没有公切线.如图所示.5.圆系方程
具有某些共同性质的圆的集合称为圆系,它们的方程叫做圆系方程.常见的圆系方程有以下几种.
(1)同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数.
(2)半径长相等的圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中r是定值,a,b是参数.
(3)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程:x2+y2+Dx+Ey+F+λ
(Ax+By+C)=0(λ∈R).
(4)过两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程:x2+
y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(其中不含有圆C2,因此注意检验圆C2是否满足题意以防漏解).
当λ=-1时,方程变为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,表示过两圆的交点的直线(当两圆是同心圆时,此直线不存在;当两圆相交时,此直线为公共弦所在直线;当两圆相切时,此直线为两圆的公切线).自我检测(教师备用)1.圆x2+y2-2x=0和圆x2+y2+4y=0的位置关系是(　 　)
(A)相离 (B)外切
(C)相交 (D)内切
2.圆x2+y2=4与圆(x-4)2+(y-7)2=1的位置关系是(　 　)
(A)相交 (B)外切 (C)内切 (D)相离
3.与圆O1:x2+y2+4x-4y+7=0和圆O2:x2+y2-4x-10y+13=0都相切的直线条数是(　 　)
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1CDB5.若关于x的方程x+k= 有两个相异实根,则实数k的取值范围为
　　　 　.?4.已知两圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=20相交于A,B两点,则直线AB的方程为　 .?答案:x+3y=0题型一 圆与圆位置关系的判断【例1】 已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0,圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).试求a为何值时,两圆C1,C2的位置关系为
(1)相切;课堂探究解:圆C1,C2的方程,经配方后可得C1:(x-a)2+(y-1)2=16,
C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,
所以圆心C1(a,1),C2(2a,1),半径r1=4,r2=1.
所以|C1C2|= =a.
(1)当|C1C2|=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切;
当|C1C2|=r1-r2=3,即a=3时,两圆内切.解:(2)当3<|C1C2|<5,即3(3)当|C1C2|>5,即a>5时,两圆外离.
(4)当0≤|C1C2|<3,即0≤a<3时,两圆内含.(2)相交;(3)外离;(4)内含.方法技巧 判断两圆的位置关系有几何法和代数法两种,几何法比代数法简便,因此解题时常用几何法,用几何法判断两圆位置关系的步骤如下:
(1)将两圆的方程化为标准方程.
(2)求出两圆的圆心距d和半径r1,r2.
(3)根据d与|r1-r2|、r1+r2的大小关系作出判断.即时训练1-1:(1)圆x2+y2+4x-4y+7=0与圆x2+y2-4x+10y+13=0的公切线的条数是(　　)
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
(2)已知0(A)内切 (B)外切 (C)内含 (D)相交1-2:已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0,C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).
试求a为何值时两圆C1,C2(1)相切;(2)相交;(3)相离.解:对圆C1,C2的方程,经配方后可得
C1:(x-a)2+(y-1)2=16,
C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,
所以圆心C1(a,1),r1=4,C2(2a,1),r2=1,
所以|C1C2|= =a,
(1)当|C1C2|=r1+r2=5即a=5时,两圆外切,
当|C1C2|=r1-r2=3即a=3时,两圆内切.
(2)当3<|C1C2|<5即3(3)当|C1C2|>5即a>5时,两圆外离,当|C1C2|<3即0(3)注意:两相交圆的圆心的连线垂直平分相交弦.(注:本题只用了几何法,同学们也可以试试用代数法求解)即时训练2-1:两圆相交于两点A(1,3)和B(m,-1),两圆圆心都在直线x-y+c=0上,则m+c的值为　　　　.?答案:32-2:求过点(0,6)且与圆C:x2+y2+10x+10y=0相切于原点的圆的方程.题型三直线和圆的方程的应用【例3】 装修房间时,准备在过道顶部设计如图所示的圆弧造型.(1)请你建立适当的平面直角坐标系,求出圆弧所在圆的方程;
(2)现有一个长方体形的冰箱,其长、宽、高分别为100 cm,80 cm,180 cm,用坐标法判断该冰箱能否直立通过此过道?规范解答:(1)如图,以AD所在直线为x轴,以AD的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,则点F(60,160).
设圆的方程为x2+[y-(200-r)]2=r2(r>0),
因为点F在圆上,
所以602+[160-(200-r)]2=r2(r>0),解得r=65,
故圆的方程为x2+(y-135)2=4 225.
(2)当y=180时,x2+(180-135)2=652,
解得x2=2 200>402,
故冰箱可以通过此过道.方法技巧 求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤
(1)认真审题,明确题意.(2)建立平面直角坐标系,用坐标表示点,用方程表示曲线,从而在实际问题中建立直线与曲线的方程.
(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题.
(4)把代数结果还原为实际问题的解.即时训练3-1:已知Rt△ABC的斜边BC为定长2m,以斜边的中点O为圆心作直径为定长2n(n>m)的圆,直线BC交此圆于P,Q两点,求证:|AP|2+|AQ|2+
|PQ|2为定值.证明:如图,以O为原点,以直线BC为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则B(-m,0),C(m,0),P(-n,0),Q(n,0).
设A(x,y),因为|OA|= |BC|=|m|=m,
所以点A在圆x2+y2=m2(除B,C两点)上,
所以|AP|2+|AQ|2+|PQ|2=(x+n)2+y2+(x-n)2+y2+(2n)2
=2x2+2y2+6n2
=2m2+6n2(定值).