高中数学新人教A版选修4-5第一讲不等式和绝对值不等式知识归纳与达标验收（含解析）

第一讲 不等式和绝对值不等式
?考情分析
从近两年的高考试题来看，绝对值不等式主要考查解法及简单的应用，题目难度中档偏下，着重考查学生的分类讨论思想及应用能力．
解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，化成不含绝对值的不等式，其一是依据绝对值的意义；其二是先令每一个绝对值等于零，找到分界点，通过讨论每一区间内的代数式的符号去掉绝对值．
?真题体验
1．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．
解：(1)f(x)＝
当x＜－1时，f(x)≥1无解；
当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；
当x＞2时，由f(x)≥1，解得x＞2.
所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．
(2)由f(x)≥x2－x＋m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.
而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－2＋≤，
且当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝.
故m的取值范围为.
2．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于
x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.　①
当x＜－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；
当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；
当x＞1时，①式化为x2＋x－4≤0，
从而1＜x≤.
所以f(x)≥g(x)的解集为.
(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2.
所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，
等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.
又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.
所以a的取值范围为[－1,1]．
3．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)求不等式|f(x)|>1的解集．
解：(1)由题意得f(x)＝
故y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，
当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；
当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.
故f(x)>1的解集为{x|1f(x)<－1的解集为.
所以|f(x)|>1的解集为.
4．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，
f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；
当－10，
解得当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为.
(2)由题设可得f(x)＝
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，
△ABC的面积为(a＋1)2.
由题设得(a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞)．
不等式的基本性质
利用不等式的性质判断不等式或有关结论是否成立，或利用不等式性质，进行数值或代数式大小的比较，常用到分类讨论的思想．
[例1]　“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的(　　)
A．必要不充分条件　 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析]　易得a>b且c>d时必有a＋c>b＋d.若a＋c>b＋d时，不一定有a>b且c>d，如a＝4，c＝1，b＝d＝2时，a＋c＞b＋d，但c＜d，故选A.
[答案]　A
基本不等式的应用
利用基本不等式求最值问题一般有两种类型：①和为定值时， 积有最大值；②积为定值时，和有最小值，在具体应用基本不等式解题时， 一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．
[例2]　若正数a，b满足a＋b＝2，则＋的最小值是(　　)
A．1 B.
C．9 D．16
[解析]　＋＝＝≥(5＋2)＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，故选B.
[答案]　B
[例3]　设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
(1)ab＋bc＋ca≤；
(2)＋＋≥1.
[证明]　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，
即ab＋bc＋ca≤.
(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.
所以＋＋≥1.
含绝对值的不等式的解法
1.公式法
|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)；
|f(x)|2．平方法
|f(x)|>|g(x)|?[f(x)]2>[g(x)]2.
3．零点分段法
解含有两个以上绝对值符号的不等式时，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．
[例4]　解下列关于x的不等式：
(1)|x－x2－2|>x2－3x－4；
(2)|x＋1|>|x－3|；
(3)|x2－2|x|－2|≤1；
(4)|x－2|－|2x＋5|>2x.
[解]　(1)法一：原不等式等价于
x－x2－2>x2－3x－4或x－x2－2<－(x2－3x－4)，
解得1－－3，
∴原不等式的解集为{x|x>－3}．
法二：∵|x－x2－2|＝|x2－x＋2|
＝x2－x＋2(x2－x＋2>0)，
∴原不等式等价于x2－x＋2>x2－3x－4?x>－3.
∴原不等式的解集为{x|x>－3}．
(2)|x＋1|>|x－3|，
两边平方得(x＋1)2>(x－3)2，∴8x>8，∴x>1，
∴原不等式的解集为{x|x>1}．
(3)∵x2＝|x|2，∴原不等式化为
－1≤|x|2－2|x|－2≤1，即?
?
∴1＋≤|x|≤3.
∴原不等式解集为[－3，－1－ ]∪[1＋，3]．
(4)①当x<－时，原不等式变形为
2－x＋2x＋5>2x，解得x<7，
∴x<－.
②当－≤x≤2时，
原不等式变形为2－x－2x－5>2x，解得x<－.
∴－≤x<－.
③当x>2时，原不等式变形为x－2－2x－5>2x，
解得x<－，∴原不等式无解．
综上可得，原不等式的解集为.
不等式的恒成立问题
对于不等式恒成立求参数范围问题，常见类型及其解法如下：
(1)分离参数法
运用“f(x)≤a?f(x)max≤a，f(x)≥a?f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题．
(2)更换主元法
不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法．
(3)数形结合法
在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观地解决问题．
[例5]　已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x－2a|.
(1)当a＝1时，求f(x)≤3的解集；
(2)当 x∈[1,2]时，f(x)≤3恒成立，求实数a的取值范围．
[解]　(1)当a＝1时，由f(x)≤3，可得|2x－1|＋|x－2|≤3，
∴①或②
或③
解①求得0≤x<；
解②求得≤x<2；
解③求得x＝2.
综上可得，0≤x≤2，即不等式的解集为[0,2]．
(2)∵当x∈[1,2]时，f(x)≤3恒成立，
即|x－2a|≤3－|2x－1|＝4－2x，
故2x－4≤2a－x≤4－2x，即3x－4≤2a≤4－x.
再根据3x－4的最大值为6－4＝2，
4－x的最小值为4－2＝2，
∴2a＝2，∴a＝1，即a的取值范围为{1}．
(时间：90分钟，总分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若a>b>c，则一定成立的不等式是(　　)
A．a|c|>b|c| B．ab>ac
C．a－|c|>b－|c| D.<<
解析：选C　当c＝0时，A不成立；
当a<0时，B不成立；
当a＝1，c＝－1时，D不成立．
∵a>b，∴C成立．
2．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(aA．aC.解析：选A　设甲、乙两地的距离为S，则从甲地到乙地所需时间为，从乙地到甲地所需时间为，又因为a＝a，即a3．若a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则(　　)
A．ab＞bc B．ac＞bc
C．ab＞ac D．a|b|＞c|b|
解析：选C　∵a＋b＋c＝0，a＞b＞c.
∴a＞0，又b>c.∴ab>ac.
4．若<<0，则下列结论不正确的是(　　)
A．a2C.＋>2 D．|a|－|b|＝|a－b|
解析：选D　法一(特殊值法)：令a＝－1，b＝－2，代入A、B、C、D，知D不正确．
法二：由<<0，得b所以b2>ab，ab>a2，故A、B正确．
又由>1，>0，且≠，得＋>2，故C正确．
对于D，由b即|a|－|b|<0，而|a－b|≥0，故D错误．
5．函数y＝log2(x>1)的最小值为(　　)
A．－3 B．3
C．4 D．－4
解析：选B　x>1?x－1>0，y＝log2＝log2≥log2(2＋6)＝log28＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时取等号．
6．若6A．(9,30) B．[0,18]
C．[0,30] D．(15,30)
解析：选A　因为≤b≤2a，所以≤a＋b≤3a.
又因为69,3a<30.
所以9<≤a＋b≤3a<30.即97．已知|x－a|A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C　由|x－a|由已知得解得
8．设xy<0，x，y∈R，则下列选项正确的是(　　)
A．|x＋y|>|x－y| B．|x－y|<|x|＋|y|
C．|x＋y|<|x－y| D．| x－y|<||x|－|y||
解析：选C　∵xy<0，∴x，y异号．不妨取x＝1，y＝－1验证即可．
9．不等式|x＋log3x|<|x|＋|log3x|的解集为(　　)
A．(－∞，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(0,1)
解析：选D　在|a＋b|≤|a|＋|b|中，当ab>0或至少有一者为零时取等号，
∴当 |a＋b|<|a|＋|b|时，ab<0，
∴x·log3x<0，∵x>0，∴log3x<0，故010．若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为(　　)
A．5或8 B．－1或5
C．－1或－4 D．－4或8
解析：选D　当a≥2时，f(x)＝
如图1可知，当x＝－时，f(x)min＝f＝－1
＝3，可得a＝8；
当a<2时，f(x)＝
如图2可知，当x＝－时，f(x)min＝f＝－＋1＝3，可得a＝－4.综上可知，答案为D.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把正确答案填在题中横线上)
11．函数f(x)＝3x＋(x>0)的最小值为________．
解析：f(x)＝3x＋＝＋＋≥3＝9，当且仅当＝，即x＝2时取等号．
答案：9
12．设函数f(x)＝|2x－1|＋x＋3，则f(－2)＝________，若f(x)≤5，则x的取值范围是________．
解析：f(－2)＝|2×(－2)－1|＋(－2)＋3＝6.
|2x－1|＋x＋3≤5?|2x－1|≤2－x
?x－2≤2x－1≤2－x
?
解得－1≤x≤1.
答案：6　[－1,1]
13．定义运算x·y＝若|m－1|·m＝|m－1|，则m的取值范围是________．
解析：依题意，有|m－1|≤m，所以－m≤m－1≤m，所以m≥.
答案：
14．已知x2＋2y2＝1，则x2y4－1的最大值是________．
解析：∵x2＋2y2＝1，∴x2＋y2＋y2＝1.
又∵x2·y4－1＝x2·y2·y2－1，
x2·y2·y2≤3＝，
∴x2y4－1≤－1＝－.
即x2y4－1≤－.
∴x2y4－1的最大值是－.
答案：－
三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)解不等式：|－x|<2.
解：原不等式?
因为－x<2????x≥.
又－x>－2?或
?或≤x<2，
?或≤x<2?2≤x<5或≤x<2
?≤x<5.
所以原不等式组等价于?≤x<5.
因此，原不等式的解集为.
16．(本小题满分12分)已知x>0，y>0，
证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.
证明：因为x>0，y>0，
所以1＋x＋y2≥3>0，
1＋x2＋y≥3>0，
故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.
17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．
解：(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.
由此可得x≥3或x≤－1.
故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．
(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.
此不等式可化为
或
即或
结合a>0，解得x≤－，
即不等式f(x)≤0的解集为.
∵不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，
∴－＝－1，故a＝2.
18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝|x＋m|－|5－x|(m∈R)．
(1)当m＝3时，求不等式f(x)>6的解集；
(2)若不等式f(x)≤10对任意实数x恒成立，求m的取值范围．
解：(1)当m＝3时，f(x)>6，
即|x＋3|－|5－x|>6，
不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集．
解得x≥5；
或解得4或解集是?.
故不等式f(x)>6的解集为{x|x>4}．
(2)f(x)＝|x＋m|－|5－x|≤|(x＋m)＋(5－x)|＝|m＋5|，
由题意得|m＋5|≤10，则－10≤m＋5≤10，解得－15≤m≤5，故m的取值范围为[－15,5]．