21.2.2 第1课时　一元二次方程的根的判别式(要点讲解+当堂检测+答案)

人教版数学九年级上册同步学案
第二十一章　一元二次方程
21.2　解一元二次方程
21.2.2　公式法
第1课时　一元二次方程的根的判别式
要 点 讲 解
要点　一元二次方程的根的判别式
将ax2＋bx＋c＝0(a≠0)配方成(x＋)2＝后，可以看出，只有当b2－4ac≥0时，方程才有实数根，这样b2－4ac的值就决定着一元二次方程根的情况.
一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2－4ac.
Δ的符号
方程根的情况
注意
Δ＞0
方程有两个不相等的实数根，即x＝
(1)应用根的判别式时必须先将一元二次方程化成一般形式，然后准确确定a，b，c的值；(2)此判别式只适用于一元二次方程，当无法判定方程是不是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论；(3)当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根
Δ＝0
方程有两个相等的实数根，即x1＝x2＝－
Δ＜0
方程无实数根
上面的结论反过来也成立，即当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0；当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；当方程没有实数根时，Δ＜0.
一元二次方程根的判别式主要有以下两点应用：(1)不解方程判断方程根的情况；(2)根据方程根的情况求字母系数的取值范围.
经典例题1　不解方程，判断下列方程根的情况.
(1)x2＋9＝6x； (2)x2＋3x＝－1； (3)3x2＋3＝2x.
解析：确定各方程中a，b，c的值，将它们代入Δ＝b2－4ac.由Δ的符号确定方程根的情况.
解：(1)原方程可化为x2－6x＋9＝0.∵Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×1×9＝0，∴原方程有两个相等的实数根.　
(2)原方程可化为x2＋3x＋1＝0.∵Δ＝b2－4ac＝32－4×1×1＝5＞0，∴原方程有两个不相等的实数根.　
(3)原方程可化为3x2－2x＋3＝0.∵Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×3×3＝－12＜0，∴原方程无实数根.
点拨：应用根的判别式“b2－4ac”判断方程根的情况时，必须先将一元二次方程化为一般形式，确定方程中a，b，c的值后再判断.
易错易混警示　当二次项系数中含字母时，运用根的判别式时出错
在已知一元二次方程根的情况时，求方程中字母参数的取值，常忽略一元二次方程二次项系数必须不为0这一条件.
经典例题2　当m取何值时，关于x的方程(m＋2)x2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根？
解析：根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m＋2≠0且Δ＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可.
解：由题意可得
解得m>－3且m≠－2.
所以当m>－3且m≠－2时，方程有两个不相等的实数根.
当 堂 检 测
1. 一元二次方程x2－4x＋4＝0的根的情况是(　　)
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定
2. 下列一元二次方程没有实数根的是(　　)
A. x2－1＝0　　　　 B. x2＋x＋2＝0
C. x2－2x－1＝0 D. x2＋2x＋1＝0
3. 若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是(　　)
A. k<5　　　　　　 B. k≥5且k≠1
C. k≤5且k≠1 D. k>5
4. 已知关于x的方程kx2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确的是(　　)
A .当k＝0时，方程无解
B. 当k＝1时，方程有一个实数根
C. 当k＝－1时，方程有两个相等的实数根
D. 当k≠0时，方程总有两个不相等的实数根
5. 关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值是 .
6. 若关于x的一元二次方程x2－4x－m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 .
7. 不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况.
(1)x2－5x＋4＝0；
(2)4m(m－1)＋1＝0；
(3)2x2＋4x＋15＝0.
当堂检测参考答案
1. B 2. B 3. C 4. C
5. 1
6. m＞－4
7. 解：(1)∵a＝1，b＝－5，c＝4，∴Δ＝b2－4ac＝25－4×1×4＝9＞0.故方程有两个不相等的实数根.　
(2)整理得：4m2－4m＋1＝0.∵a＝4，b＝－4，c＝1，∴Δ＝b2－4ac＝16－4×4×1＝0.故方程有两个相等的实数根.