21.2.3　因式分解法(要点讲解+当堂检测+答案)

人教版数学九年级上册同步学案
第二十一章　一元二次方程
21.2　解一元二次方程
21.2.3　因式分解法
要 点 讲 解
要点一　因式分解法解一元二次方程
1. 因式分解法的定义：先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
2. 因式分解法的理论依据：两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个等于0.用式子表示为：若a·b＝0，则a＝0或b＝0.
3. 用因式分解法解一元二次方程的步骤：
(1)将方程化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式；
(2)将方程的左边分解为两个一次因式的积；
(3)令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；
(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是方程的解.
注意：(1)如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积；(2)等式的左边有三项，其中两项符号为“＋”，都是一个整式的平方，还有一项符号可能为“＋”也可能为“－”，除符号外它是那两项算术平方根乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解.
经典例题1　用因式分解法解下列方程：
(1)(x＋5)2－2(5＋x)＝0；
(2)(x＋3)2＝(1－2x)2.
解：(1)因式分解，得(x＋5)(x＋5－2)＝0，
即(x＋5)(x＋3)＝0.
于是得x＋5＝0或x＋3＝0，
x1＝－5，x2＝－3.
(2)移项，得(x＋3)2－(1－2x)2＝0.
因式分解，得[(x＋3)＋(1－2x)][(x＋3)－(1－2x)]＝0，
即(4－x)(3x＋2)＝0.
于是得4－x＝0或3x＋2＝0，
x1＝4，x2＝－.
点拨：若方程中有括号，不要急于去掉括号，观察方程是否可采用因式分解法求解.
要点二　用适当的方法解一元二次方程
解一元二次方程的方法有：直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法.
(1)当一个一元二次方程的一边为零，而另一边可以分解成两个一次式的积时，就可以运用因式分解法求解.
(2)如果一个一元二次方程的一边是含有未知数的平方式，另一边是一个非负数，就可以直接开平方求解.
(3)当不易使用因式分解法，且方程中的系数绝对值较大时，我们考虑使用配方法解方程.
(4)公式法是解决一元二次方程的通用方法，当其他方法都不易解决时，我们考虑使用公式法解题.
经典例题2　解下列方程：
(1)x2－6x＋9＝(5－2x)2；
(2)3x＋15＝－2x2－10x；
(3)x2＋4x－5＝0.
解析：(1)先变形得到(x－3)2＝(5－2x)2，然后利用直接开平方法解方程；(2)先把方程整理变形，然后利用因式分解法解方程；(3)利用公式法或配方法解方程.
解：(1)原方程可化为(x－3)2＝(5－2x)2.
∴x－3＝±(5－2x)，
∴x－3＝5－2x或x－3＝－(5－2x)，
∴x1＝，x2＝2.
(2)原方程可化为3(x＋5)＝－2x(x＋5).
移项得3(x＋5)＋2x(x＋5)＝0，
即(x＋5)(3＋2x)＝0，∴x＋5＝0或3＋2x＝0.
∴x1＝－5，x2＝－.
(3)解法一：a＝1，b＝4，c＝－5，
Δ＝b2－4ac＝42－4×1×(－5)＝36>0，
∴方程有两个不相等的实数根.
∴x＝＝＝，
x1＝1，x2＝－5.
解法二：移项，得x2＋4x＝5.
配方，得x2＋4x＋4＝5＋4，
(x＋2)2＝9.
因此可得x＋2＝±3，
x1＝1，x2＝－5.
点拨：配方法和公式法可以解所有一元二次方程，但公式法较为简单.直接降次法和因式分解法适用于特殊的方程.对于一个一元二次方程，要善于观察，根据其特点选择合适的方法.
易错易混警示　解方程时方程两边同除以含未知数的相同因式而失根
方程两边都有含某个未知数的相同因式时，有的同学易认为在方程两边同除以这个相同的因式，可使得方程降次，这是一种错误的做法.因为在方程两边同除以这个相同的因式时，不能保证它的值不是0，从而使得方程丢根.因此不要轻易在方程两边除以某个含有未知数的式子，最好的方法是把它作为公因式提出来分解因式.
经典例题3　解方程：(3x－1)(x－1)＝(4x＋1)(x－1).
解析：移项后，先提取公因式进行因式分解后即可求解.
解：移项，得(3x－1)(x－1)－(4x＋1)(x－1)＝0.
因式分解，得(x－1)[(3x－1)－(4x＋1)]＝0，
即(x－1)(x＋2)＝0，∴x1＝1，x2＝－2.
点拨：用因式分解法解方程时，当方程的左、右两边都有含某个未知数的相同因式时，方程两边不能直接除以这个因式(只有满足公因式不为零时，才能直接约去公因式)，应通过移项、变形求解.
当 堂 检 测
1. 经计算，整式x＋1与x－4的积为x2－3x－4，则一元二次方程x2－3x－4＝0的根为(　　)
A. x1＝－1，x2＝－4　　 B. x1＝－1，x2＝4
C. x1＝1，x2＝4 D. x1＝1，x2＝－4
2. 方程2x2＝3x的解为(　　)
A. x＝0 B. x＝ C. x＝－ D. x1＝0，x2＝
3. 关于方程49－x2＝0下面叙述正确的是(　　)
A. 只能用直接开平方法
B. 只能用因式分解法
C. 既可用因式分解法，又可用直接开平方法
D. 不论用什么法，都应先将方程变为x2＝49
4. 当x＝ 时，代数式(2x－1)2和x2的值相等.
5. 解方程：2(x－3)2＝x2－9.
6. 阅读下面材料：把方程x2－4x＋3＝0写成x2－4x＋4－4＋3＝0，(x－2)2－1＝0.因式分解，得(x－2＋1)(x－2－1)＝0，(x－1)(x－3)＝0.
发现：(－1)＋(－3)＝－4，(－1)×(－3)＝3.
结论：方程x2－(p＋q)x＋pq＝0，
可变形为(x－p)·(x－q)＝0.
应用上面总结的解题方法，解下列方程：
(1)x2＋5x＋6＝0；
(2)x2＋3x－4＝0.
7. 用合适的方法解下列方程.
(1)2x2－5x＋1＝0；
(2)(x－2)2－49＝0；
(3)x2－2x＝4.
当堂检测参考答案
1. B 2. D 3. C
4. 或1
5. 解：2(x－3)2－(x＋3)(x－3)＝0，(x－3)[2(x－3)－(x＋3)]＝0，(x－3)(2x－6－x－3)＝0，(x－3)(x－9)＝0，∴x1＝3，x2＝9.
7. 解：(1)a＝2，b＝－5，c＝1.Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4×2×1＝17.∴x＝＝，∴x1＝，x2＝.　
(2)(x－2－7)(x－2＋7)＝0，即(x－9)(x＋5)＝0，∴x1＝9，x2＝－5.　
(3)x2－2x＋1＝4＋1，即(x－1)2＝5，∴x－1＝±，∴x1＝1＋，x2＝1－.