1．1 归纳推理
归纳推理
问题1：我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它们都能导电吗？
提示：都能导电．
问题2：由问题1你能得出什么结论？
提示：一切金属都能导电．
问题3：若数列{an}的前四项为2,4,6,8，试写出an.
提示：an＝2n(n∈N＋)．
问题4：上面问题2、3得出结论有何特点？
提示：都是由几个特殊事例得出一般结论．
归纳推理
定义
特征
根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，将这种推理方式称为归纳推理.
归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理.
归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，得到的结论不一定正确，其正确性还有待于严格的证明或举例说明其结论的不正确性．
数与式的归纳
[例1] (1)已知下列各式：
1>，
1＋＋>1，
1＋＋＋＋＋＋>，
1＋＋＋…＋>2，
…，
请你归纳出一般性结论：______________.
(2)已知f(x)＝，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n＞1，且n∈N＋)，则f3(x)的表达式为________，猜想fn(x)(n∈N＋)的表达式为________．
[思路点拨] (1)观察左边最后一项分母的特点为2n－1，不等式右边为，由此可得一般结论．
(2)由函数关系列出前几项，归纳出一般性结论．
[精解详析] (1)观察不等式左边，各项分母从1开始依次增大1，且终止项为2n－1，不等式右边依次为，，，，…，从而归纳得出一般结论：1＋＋＋…＋>.
(2)∵f(x)＝，∴f1(x)＝.
又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，
∴f2(x)＝f1(f1(x))＝＝，
f3(x)＝f2(f2(x))＝＝，
f4(x)＝f3(f3(x))＝＝，
f5(x)＝f4(f4(x))＝＝，
∴根据前几项可以猜想fn(x)＝.
[答案] (1)1＋＋＋…＋>
(2)f3(x)＝ fn(x)＝
[一点通] 1.已知等式或不等式进行归纳推理的方法
(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；
(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；
(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；
(4)运用归纳推理得出一般结论．
2．数列中的归纳推理
在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．
(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；
(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；
(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．
1．试探究下列一组数列的基本规律：0,2,6,14,30，…，根据规律写出第6个符合规律的数，这个数是( )
A．60 B．62
C．64 D．94
解析：选B 这个数列从第二项起，每一项与它前一项的差依次等于2,22,23,24，所以第6个符合规律的数应为30＋25＝62.
2．观察下列不等式：
1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，
……
照此规律，第五个不等式为( )
A．1＋＋＋＋<
B．1＋＋＋＋<
C．1＋＋＋＋＋<
D．1＋＋＋＋＋<
解析：选D 观察每个不等式的特点，知第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.
3．给出以下数对序列：
(1,1)
(1,2)(2,1)
(1,3)(2,2)(3,1)
(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)
……
记第i行的第 j 个数对为aij，如a43＝(3,2)，则anm＝( )
A．(m，n－m＋1) B．(m－1，n－m)
C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)
解析：选A (1)由前4行的特点，归纳可得：若anm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴anm＝(m，n－m＋1)．
4．观察下列等式：
(1＋1)＝2×1，
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，
……
照此规律，第n个等式可为________．
解析：观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为：(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)．
答案：(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)
图与形的归纳
[例2] 有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )
A．26 B．31
C．32 D．36
[思路点拨] 数出前三个图案中有菱形纹的正六边形个数，注意分析规律，由此规律作出推断．
[精解详析] 有菱形纹的正六边形个数如下表：
图案
1
2
3
…
个数
6
11
16
…
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B.
[答案] B
[一点通] 解决此类问题可以从两个方面入手：
(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与序号的关系．
(2)从图形的结构变化规律入手，发现图形的结构每发生一次变化，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．
5．将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，数列的第10项为( )
A．76 B．77
C．65 D．66
解析：选B 归纳可得“梯形数”相邻两项的差依次比前面大1，所以前10个“梯形数”依次是：5,9,14,20,27,35,44,54,65,77.
6．由花盆摆成如图所示的图案，根据摆放规律，可得第5个图形中的花盆数为________．
解析：前3个图形中花盆数依次为1,7,19，由此归纳这列数的特点为相邻两项的差都是6的整数倍，依次是6，12，…，所以第5个图形中花盆的个数应为19＋18＋24＝61.
答案：61
7．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n>4时，f(n)＝______________(用含n的数学表达式表示)．
解析：如图，画图可知，f(4)＝5，当n>4时，
可得递推式f(n)－f(n－1)＝n－1，
由f(n)－f(n－1)＝n－1，
f(n－1)－f(n－2)＝n－2，
……
f(4)－f(3)＝3，叠加可得，
f(n)－f(3)＝(n＋2)(n－3)，
又f(3)＝2，所以f(n)＝(n＋2)(n－3)＋2，
化简整理得f(n)＝(n－2)(n＋1)．
答案：5 (n－2)(n＋1)
1．观察和实验是进行归纳推理的最基本的条件，是归纳推理的基础，通过观察和实验，为知识的总结和归纳提供依据．
2．由归纳推理所得到的结论未必是可靠的，但是它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现是十分有用的，是进行科学研究的最基本的方法之一．
1．观察下列数列的特点：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，则第100项是( )
A．10 B．13
C．14 D．100
解析：选C ∵＝91，∴从第92项到第105项都是14，故选C.
2.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的
数构成的规律，a所表示的数是( )
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 a 4 1
1 5 10 10 5 1
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选C 由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a＝3＋3＝6.
3．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内适合的图形为( )
□
●
▲
▲
■
○
●
△
A．■ B．△
C．□ D．○
解析：选A 图形涉及三种符号□、○、△，其中符号○与△各有3个，且各自有二黑一白，所以□缺一个黑色符号，即应画上■才合适．
4．设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋( )
A. B．π
C.π D．2π
解析：选B 三角形内角和为π，四边形为2π，五边形为3π，…，故f(k＋1)＝f(k)＋π.
5．已知x∈(0，＋∞)，有下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4成立，观察上面各式，按此规律若x＋≥5，则正数a＝________.
解析：观察给出的各个不等式，不难得到x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，从而第4个不等式为x＋≥5，所以当x＋≥5时，正数a＝44.
答案：44
6．如图①是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图②中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列{an}的通项公式为an＝__________.
解析：根据OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1和题图②中的各直角三角形，由勾股定理，可得a1＝OA1＝1，a2＝OA2＝＝＝，a3＝OA3＝＝＝，…，故可归纳推测出an＝.
答案：
7．观察等式：1＋3＝4＝22,1＋3＋5＝9＝32,1＋3＋5＋7＝16＝42，你能得出怎样的结论？
解：通过观察发现：等式的左边为正奇数的和，而右边是整数(实际上就是左边奇数的个数)的完全平方．因此可推测得出：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n－1)＝n2(n≥2，n∈N＋)．
8．已知a，b为正整数，设两直线l1：y＝b－x与l2：y＝x的交点为P1(x1，y1)，且对于n≥2的自然数，两点(0，b)，(xn－1,0)的连线与直线y＝x交于点Pn(xn，yn)．
(1)求P1，P2的坐标；
(2)猜想Pn的坐标(n∈N＋)．
解：(1)解方程组得P1.
过(0，b)，两点的直线方程为＋＝1，与y＝x联立解得P2.
(2)由(1)可猜想Pn.
9．一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①②③④分别是制作该作品前四步所对应的图案，按照如此规律，第n步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为f(n)．
(1)求出f(2)，f(3)，f(4)，f(5)的值；
(2)利用归纳推理，归纳出f(n＋1)与f(n)的关系式；
(3)猜想f(n)的表达式，并写出推导过程．
解：(1)图①中只有一个小正方形，得f(1)＝1；
图②中有3层，以第2层为对称轴，有1＋3＋1＝5(个)小正方形，得f(2)＝5；
图③中有5层，以第3层为对称轴，有1＋3＋5＋3＋1＝13(个)小正方形，得f(3)＝13；
图④中有7层，以第4层为对称轴，有1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝25(个)小正方形，得f(4)＝25；
第五步所对应的图形中有9层，以第5层为对称轴，有1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1＝41(个)小正方形，得f(5)＝41.
(2)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，f(5)＝41，
∴f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，…，
∴f(n)－f(n－1)＝4×(n－1)＝4n－4.
∴f(n＋1)与f(n)的关系式为f(n＋1)－f(n)＝4n.
(3)猜想f(n)的表达式为f(n)＝2n2－2n＋1.
由(2)可知
f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，
……
f(n)－f(n－1)＝4×(n－1)＝4n－4，
将上述n－1个式子相加，得f(n)－f(1)＝4[1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)]，
则f(n)＝2n2－2n＋1.
1．2 类比推理
类比推理
三角形有下面两个性质：
(1)三角形的两边之和大于第三边；
(2)三角形的面积等于高与底乘积的.
问题1：你能由三角形的这两个性质推测空间四面体的性质吗？试写出来．
提示：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；
(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的.
问题2：由三角形的性质推测四面体的性质体现了什么？
提示：由一类事物的特征推断另一类事物的类似特征，即由特殊到特殊．
定义
特征
由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，把这种推理过程称为类比推理.
类比推理是两类事物特征之间的推理.
合情推理
合情推理的含义
(1)合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．
(2)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理．
1．类比推理是从人们已经掌握了的事物特征，推测正在被研究中的事物的特征．所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠；
2．类比推理以旧的知识作为基础，推测新的结果，具有发现功能．
平面图形与空间几何体的类比
[例1] 找出圆与球的相似性质，并用圆的下列性质类比球的有关性质．
(1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦；
(2)与圆心距离相等的两弦长相等；
(3)圆的周长C＝πd(d是直径)；
(4)圆的面积S＝πr2.
[思路点拨] 先找出相似的性质再类比，一般是点类比线、线类比面、面积类比体积．
[精解详析] 圆与球有下列相似的性质：
(1)圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合；球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合．
(2)圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形；球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形．
通过与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质.
圆
球
圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦
球心与截面(不经过球心的小圆面)圆心的连线垂直于截面
与圆心距离相等的两条弦长相等
与球心距离相等的两个截面的面积相等
圆的周长C＝πd
球的表面积S＝πd2
圆的面积S＝πr2
球的体积V＝πr3
[一点通] 解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中，相关类比点如下：
平面图形
立体图形
点
点、线
直线
直线、平面
边长
棱长、面积
面积
体积
三角形
四面体
线线角
面面角
平行四边形
平行六面体
圆
球
1．下面类比结论错误的是( )
A．由“若△ABC一边长为a，此边上的高为h，则此三角形的面积S＝ah ”类比得出“若一个扇形的弧长为l，半径为R，则此扇形的面积S＝lR”
B．由“平行于同一条直线的两条直线平行”类比得出“平行于同一个平面的两个平面平行”
C．由“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”类比得出“在空间中，垂直于同一个平面的两个平面平行”
D．由“三角形的两边之和大于第三边”类比得出“凸四边形的三边之和大于第四边”
解析：选C 只有C中结论错误，因为两个平面还有可能相交．
2.如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．
解：如图所示，在四面体P-ABC中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小．
我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.
定义、定理与性质的类比
[例2] 类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质．
[精解详析] ①两实数相加后，结果是一个实数，两向量相加后，结果仍是向量；
②从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律，
即：a＋b＝b＋a，a＋b＝b＋a，
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
③从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算，
即a＋x＝0与a＋x＝0都有唯一解，x＝－a与x＝－a；
④在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a＋0＝a.在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，也不改变该向量的方向，即a＋0＝a.
[一点通] 运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象，本例中实数加法的对象为实数，向量加法的对象为向量，且都满足交换律与结合律，都存在逆运算，而且实数0与零向量0分别在实数加法和向量加法中占有特殊的地位．因此我们可以从这四个方面进行类比．
3．试根据等式的性质猜想不等式的性质并填写下表.
等式
不等式
a＝b?a＋c＝b＋c
①
a＝b?ac＝bc
②
a＝b?a2＝b2
③
答案：①a>b?a＋c>b＋c ②a>b?ac>bc(c>0)
③a>b>0?a2>b2(说明：“>”也可改为“<”)
4．已知等差数列{an}的公差为d，am，an是{an}的任意两项(n≠m)，则d＝，类比上述性质，已知等比数列{bn}的公比为q，bn，bm是{bn}的任意两项(n≠m)，则q＝________.
解析：∵an＝amqn－m，∴q＝.
答案：
1．类比推理先要寻找合适的类比对象，如果类比的两类对象的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．
2．归纳推理与类比推理都是合情推理．归纳推理是从特殊过渡到一般的思想方法，类比推理是由此及彼和由彼及此的联想方法，归纳和类比离不开观察、分析、对比、联想，许多数学知识都是通过归纳与类比发现的．
1．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适( )
A．三角形 B．梯形
C．平行四边形 D．矩形
解析：选C 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．
2．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体P-ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，四面体P-ABC的体积为V，则r＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C 设内切球的球心为O，所以可将四面体P-ABC分为四个小的三棱锥，即O-ABC，O-PAB，O-PAC，O-PBC，而四个小三棱锥的底面积分别是四面体P-ABC的四个面的面积，高是内切球的半径，所以V＝S1r＋S2r＋S3r＋S4r＝(S1＋S2＋S3＋S4)r，∴r＝.
3．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为( )
A．a1a2a3…a9＝29
B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2…a9＝2×9
D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
解析：选D 类比等比数列{bn}中b1b2b3…b9＝b，可得在等差数列{an}中a1＋a2＋…＋a9＝9a5＝9×2.
4．类比三角形中的性质：
①两边之和大于第三边；
②中位线长等于底边长的一半；
③三内角平分线交于一点．
可得四面体的对应性质：
①任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；
②过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的；
③四面体的六个二面角的平分面交于一点．
其中类比推理方法正确的有( )
A．① B．①②
C．①②③ D．都不对
解析：选C 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．
5．在△ABC中，D为BC的中点，则＝，将命题类比到四面体中去，得到一个命题为：______________________________________.
．解析：平面中线段的中点类比到空间为四面体中面的重心，顶点与中点的连线类比顶点和重心的连线．
答案：在四面体A-BCD中，G是△BCD的重心，则＝
6．运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一条固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k倍．你可以从给出的简单图形①②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线方程分别是＋＝1(a＞b＞0)与x2＋y2＝a2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为__________．
解析：由于椭圆与圆截y轴所得线段之比为，
即k＝，所以椭圆面积S＝πa2·＝πab.
答案：πab
7．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，在空间中，给出四面体性质的猜想．
解：如图，在Rt△ABC中，
cos2A＋cos2 B＝2＋2＝＝1.
于是把结论类比到四面体P-A′B′C′中，我们猜想，三棱锥P-A′B′C′中，若三个侧面PA′B′，PB′C′，PC′A′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
8．在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则，，也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和．
(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明；
(2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明)．
解：(1)在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和，则数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．
证明如下：
∵等差数列{an}的公差d＝3，
∴(S30－S20)－(S20－S10)
＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)
＝10d＋10d＋…＋＝100d＝300，
10个
同理可得：
(S40－S30)－(S30－S20)＝300，
所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300.
(2)在公差为d的等差数列{an}中，
若Sn是{an}的前n项和，
则对于任意k∈N＋，
数列S2k－Sk，S3k－S2k，
S4k－S3k也成等差数列，且公差为k2d.
9．先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求证a＋a≥.
证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2，
则f(x)＝2x2－2(a1＋a2)x＋a＋a＝2x2－2x＋a＋a.
因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，
所以Δ＝4－8(a＋a)≤0，所以a＋a≥.
(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，请写出上述结论的推广式；
(2)类比上述证法，对你推广的结论加以证明．
解：(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，
求证：a＋a＋…＋a≥.
(2)证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2，
则f(x)＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a＋a＋…＋a＝nx2－2x＋a＋a＋…＋a.
因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，
所以Δ＝4－4n(a＋a＋…＋a)≤0.
所以a＋a＋…＋a≥.
2数学证明
数学证明
看下面两个命题：
(1)三角函数都是周期函数，y＝tan x是三角函数，所以y＝tan x是周期函数；
(2)循环小数是有理数，0.33是循环小数，所以0.33是有理数．
问题1：这两个问题中的第一句都说明什么？
提示：一般性道理．
问题2：第二句又说什么？
提示：特殊示例．
问题3：第三句呢？
提示：由一般性道理对特殊示例作出判断．
1．演绎推理的一般模式
三段论是最常见的一种演绎推理形式，包括
大前提：一般性道理；
小前提：研究对象的特殊情况；
结论：由大前提和小前提作出的判断．
2．合情推理与演绎推理的关系
合情推理是认识世界、发现问题的基础，演绎推理是证明命题、建立理论体系的基础．
1．数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，解决问题的关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提．
2．三段论中的大前提提供了一个一般性原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般性原理与特殊情况的内在联系，从而得到了第三个命题——结论．
3．三段论推理的结论正确与否，取决于两个前提是否正确，推理形式是否正确．
把演绎推理写成三段论
[例1] 将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B.
(2)以an＝2n＋3为通项公式的数列{an}为等差数列．
[思路点拨] 首先分析出每个题的大前提、小前提及结论，再利用三段论形式写出来．
[精解详析] (1)等腰三角形两底角相等， 大前提
∠A，∠B是等腰三角形的两底角， 小前提
∠A＝∠B. 结论
(2)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列， 大前提
通项公式an＝2n＋3时，若n≥2，
则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)， 小前提
以an＝2n＋3为通项公式的数列为等差数列． 结论
[一点通] 三段论由大前提、小前提和结论组成．大前提提供一般性原理，小前提提供特殊情况，两者结合起来，体现一般性原理与特殊情况的内在联系，在用三段论写推理过程时，关键是明确命题的大、小前提，而大、小前提在书写过程中是可以省略的．
1．推理“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③正方形是平行四边形”中的小前提是( )
A．① B．②
C．③ D．①和②
解析：选B ①是大前提，②是小前提，③是结论．
2．“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等．”此推理的大前提为( )
A．正方形的对角线相等
B．矩形的对角线相等
C．等腰梯形的对角线相等
D．矩形的对边平行且相等
答案：B
3．用三段论的形式写出下列演绎推理．
(1)能被2整除的数都是偶数，34能被2整除，所以34是偶数．
(2)奇函数f(x)若在x＝0处有定义，则必有f(0)＝0.现有f(x)＝x，x∈R是奇函数，则有f(0)＝0.
解：(1)能被2整除的数都是偶数， (大前提)
34能被2整除， (小前提)
所以34是偶数． (结论)
(2)奇函数f(x)若在x＝0处有定义，则必有f(0)＝0，(大前提)
f(x)＝x，x∈R是奇函数，且在x＝0处有定义， (小前提)
则有f(0)＝0.(结论)
演绎推理的判断
[例2] 指出下面推理中的错误：
(1)自然数是整数， 大前提
－6是整数， 小前提
所以，－6是自然数． 结论
(2)中国的大学分布在中国各地， 大前提
北京大学是中国的大学， 小前提
所以，北京大学分布在中国各地． 结论
(3)三角函数是周期函数， 大前提
y＝sin x(0＜x＜π)是三角函数， 小前提
y＝sin x(0＜x＜π)是周期函数． 结论
[思路点拨] 判断三段论推理是否正确，必须严格按其推理规则进行考察，其推理规则为：所有M都是P，S是M，则S是P.既要看大前提、小前提是否有误，也要看推理形式是否合乎规范．
[精解详析] (1)推理形式错误，自然数是整数为大前提，小前提应是判断某数为自然数，而不是某数为整数．
(2)推理形式错误，大前提中M是“中国的大学”，它的含义是中国的每一所大学，而小前提中的“中国的大学”仅表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，犯了偷换概念错误．
(3)推理形式错误，大前提中的“三角函数”和小前提中的“三角函数”概念不同．
[一点通] 判断演绎推理是否正确的方法
(1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理，只有由一般到特殊的推理才是演绎推理，这是最易出错的地方；
(2)看大前提是否正确，大前提往往是定义、定理、性质等，注意其中有无前提条件；
(3)看小前提是否正确，注意小前提必须在大前提范围之内；
(4)看推理过程是否正确，即看由大前提、小前提得到的结论是否正确．
4．某人进行了如下的“三段论”：如果f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．你认为以上推理的( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．结论正确
解析：选A 若f′(x0)＝0，则x＝x0不一定是函数f(x)的极值点，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点，故大前提错误．
5．观察下面的演绎推理过程，判断正确的是( )
大前提：若直线a⊥直线l，且直线b⊥直线l，则a∥b.
小前提：正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥AA1，且AD⊥AA1.
结论：A1B1∥AD.
A．推理正确
B．大前提出错导致推理错误
C．小前提出错导致推理错误
D．仅结论错误
解析：选B 由l⊥a，l⊥b得出a∥b只在平面内成立，在空间中不成立，故大前提错误.
用三段论证明几何问题
[例3] 如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．
[思路点拨] 证明ED＝AF，可证明四边形AEDF为平行四边形．
[精解详析] 因为同位角相等，两条直线平行， 大前提
∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A， 小前提
所以FD∥AE. 结论
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 大前提
DE∥BA，且FD∥AE， 小前提
所以四边形AFDE为平行四边形． 结论
因为平行四边形的对边相等， 大前提
ED和AF为平行四边形AFDE的对边， 小前提
所以ED＝AF. 结论
[一点通]
(1)三段论推理的根据，从集合的观点来讲，就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.
(2)在几何证明题中，每一步实际上都暗含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，把一般性原理用于特殊情况，从而得到结论．
6．已知△ABC中，A＝30°，B＝45°，求证：a
证明：∵A＝30°，B＝45°，∴A∴a此问题的证明过程中蕴含的“三段论”中的大前提是________________．
解析：大前提是三角形中“大边对大角，小边对小角”的一个结论．
答案：在△ABC中，若A7.如图，已知在梯形ABCD中，AB＝DC＝DA，AC和BD是梯形的对角线．求证：AC平分∠BCD.
证明：∵等腰三角形两底角相等， 大前提
△ADC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角， 小前提
∴∠1＝∠2. 结论
∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等， 大前提
∠1和∠3是平行线AD，BC被AC截得的内错角， 小前提
∴∠1＝∠3. 结论
∵等于同一个角的两个角相等， 大前提
∠2＝∠1，∠3＝∠1， 小前提
∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD. 结论
用三段论证明代数问题
[例4] 已知{an}是各项均为正数的等差数列．lg a1，lg a2，lg a4成等差数列，又bn＝ (n＝1，2,3，…)．证明：{bn}为等比数列．
[证明] ∵lg a1，lg a2，lg a4成等差数列，
∴2lg a2＝lg a1＋lg a4，即a＝a1a4.
设{an}的公差为d，
即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，a1d＝d2，
从而d(d－a1)＝0.
①若d＝0，{an}为常数列，相应{bn}也是常数列，此时{bn}是首项为正数，公比为1的等比数列．
②若d＝a1≠0，
则a2n＝a1＋(2n－1)d＝2nd，bn＝＝.
这时{bn}是首项b1＝，公比为的等比数列．
综上可知，{bn}为等比数列．
[一点通]
(1)在证明或推理过程中，对于大前提，有一些是我们早已熟悉的公理、定理、定义、性质、公式，这些内容很多时候在证明或推理的过程中可以直接利用，不需再重新指出．因此，就会出现隐性三段论．
(2)本题在推理过程中，好似未用到演绎推理的三段论，其实不然．只是大前提“等比数列的判定方法”在证明过程中省略，并不影响结论的正确性．
8．“因为y＝sin x是区间上的增函数，所以sin>sin”，上述推理中，大前提为________________，小前提为________________，结论为________________．
答案：y＝sin x是区间上的增函数 ∈，∈，且> sin>sin
9．已知函数f(x)＝＋bx，其中a>0，b>0，x∈(0，＋∞)，确定f(x)的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．
解：设0f(x1)－f(x2)＝－
＝(x2－x1).
当0x2－x1>0,0b，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在上是减少的．
当x2>x1≥时，则
x2－x1>0，x1x2>，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在上是增加的．
1．应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提．但为了叙述简洁，如果大前提是人们熟知的，则可以省略不写．
2．合情推理与演绎推理是常见的两种推理方式，二者的主要区别与联系是：
推理方式
意义
主要形式
结论的真假
合情推理
认识世界、发现问题的基础
归纳推理、
类比推理
不确定
演绎推理
证明命题、建立理论体系的基础
三段论
真
1．下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )
A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数
B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数
C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数
D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数
解析：选B 对于A，小前提与结论互换，错误；对于B，符合演绎推理过程且结论正确；对于C和D，均为大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式．故选B.
2．“9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故此奇数是3的倍数”，上述推理是( )
A．小前提错 B．结论错
C．正确的 D．大前提错
解析：选C ∵大前提，小前提，推理形式都正确，
∴结论正确．
3．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足的条件是( )
A．a2＜b2＋c2 B．a2＝b2＋c2
C．a2＞b2＋c2 D．a2≤b2＋c2
解析：选C 由cos A＝＜0，
∴b2＋c2－a2＜0，∴a2＞b2＋c2.
4．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是( )
A．①④ B．②④
C．①③ D．②③
解析：选A 根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数，故①④正确．
5.如图，α⊥β，α∩β＝l，P∈α，PO⊥l交l于O，则可以得到的结论是________．
解析：由面面垂直的性质定理知PO⊥β.
答案：PO⊥β
6．函数y＝2x＋5的图像是一条直线，用三段论表示为：
大前提：_____________________________________________；
小前提：_____________________________________________；
结 论：_____________________________________________.
答案：一次函数的图像是一条直线
函数y＝2x＋5是一次函数
函数y＝2x＋5的图像是一条直线
7．已知a，b，m均为正实数，b证明：因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)
b0， (小前提)
所以，mb因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向， (大前提)
mb所以，mb＋ab因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向， (大前提)
b(a＋m)0， (小前提)
所以，<，即<. (结论)
8.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a，D，E分别为C1C，AB的中点，A1B交AB1于点G.
(1)求证：A1B⊥AD；
(2)求证：CE∥平面AB1D.
证明：(1)如图，连接A1D，DG，BD，
∵三棱柱ABC-A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱，
∴四边形A1ABB1为正方形，
∴A1B⊥AB1.
∵D是C1C的中点，
∴△A1C1D≌△BCD，
∴A1D＝BD.∵G为A1B的中点，
∴A1B⊥DG.
又∵DG∩AB1＝G，
∴A1B⊥平面AB1D，
又∵AD?平面AB1D，∴A1B⊥AD.
(2)连接GE，∵EG∥A1A，DC∥AA1，
∴GE∥DC.
∵GE＝AA1＝a，DC＝CC1＝a，
∴GE＝DC.
∴四边形GECD为平行四边形，∴EC∥GD.
又∵EC?平面AB1D，DG?平面AB1D，
∴EC∥平面AB1D.
9．求证：函数f(x)＝是奇函数且在定义域上是增函数．
证明：f(x)＝＝1－，
所以f(x)的定义域为R.
f(－x)＋f(x)＝＋
＝2－＝2－
＝2－＝2－2＝0，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
任取x1，x2∈R，且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝，
由于x1所以f(x1)3综合法与分析法
综合法
阅读下面的例题．
例：若实数a，b满足a＋b＝2，证明：2a＋2b≥4.
证明：因为a＋b＝2，所以2a＋2b≥2＝2＝2＝4，
故2a＋2b≥4成立．
问题1：本题利用了什么公式？
提示：基本不等式．
问题2：本题证明顺序是什么？
提示：从已知到结论．
综合法
(1)含义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明的思维方法，称为综合法．
(2)思路：综合法的基本思路是“由因导果”．
(3)模式：综合法可以用以下的框图表示：
→→→…→
其中P为条件，Q为结论.
分析法
你们看过侦探小说《福尔摩斯探案集》吗？福尔摩斯在探案中的推理，给人印象太深刻了．有时，他先假定一个结论成立，然后逐步寻找这个结论成立的一个充分条件，直到找到一个明显的证据．
问题1：福尔摩斯的推理如何入手？
提示：从结论成立入手．
问题2：他又是如何分析的？
提示：逐步探寻每一结论成立的充分条件．
问题3：这种分析问题方法在数学问题的证明中可以借鉴吗？
提示：可以．
分析法
(1)含义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．这种证明问题的思维方法称为分析法．
(2)思路：分析法的基本思路是“执果索因”．
(3)模式：若用Q表示要证明的结论，则分析法可以用如下的框图来表示：
1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．
2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．
综合法的应用
[例1] 已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：＋≥4.
[思路点拨] 由已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论．
[精解详析] 法一：∵a，b为正数，且a＋b＝1，
∴a＋b≥2，
∴≤，
∴＋＝＝≥4.
法二：∵a，b为正数，
∴a＋b≥2＞0，＋≥2＞0，
∴(a＋b)≥4，
又a＋b＝1，∴＋≥4.
法三：∵a，b为正数，
∴＋＝＋
＝1＋＋＋1≥2＋2 ＝4，
当且仅当a＝b时，取“＝”号．
[一点通] 综合法的解题步骤
1．在△ABC中，＝，证明B＝C.
证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得＝.于是sin Bcos C－cos Bsin C＝0，即sin(B－C)＝0，因为－π2．已知点P是直角三角形ABC所在平面外的一点，O是斜边AB的中点，并且PA＝PB＝PC.
求证：PO⊥平面ABC.
证明：连接OC，如图所示，
∵AB是Rt△ABC的斜边，
O是AB的中点，
∴OA＝OB＝OC.
又∵PA＝PB＝PC，
∴PO⊥AB，且△POA≌△POC，
∴∠POA＝∠POC.
∴∠POC＝90°，
即PO⊥AB，PO⊥OC，且AB∩OC＝O，
所以PO⊥平面ABC.
分析法的应用
[例2] 当a＋b>0时，求证： ≥(a＋b)．
[思路点拨] 条件和结论的联系不明确，考虑用分析法证明，将要证明的不等式一步步转化为较简单的不等式．
[精解详析] 要证 ≥(a＋b)，
只需证()2≥2，
即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，
即证a2＋b2≥2ab.
因为a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，
所以≥(a＋b)成立．
[一点通] 分析法是“执果索因”，一步步寻找结论成立的充分条件．它是从求证的结论出发，逆向分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的，它的常见书写表达式是“要证……，只需证……”．
3．求证：＋<＋.
证明：欲证不等式＋<＋成立，
只需证3＋2＋6<4＋2＋5成立，
即证<成立，
即证18<20成立．
由于18<20成立，故＋<＋.
4.如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F，求证：AF⊥SC.
证明：要证AF⊥SC，只需证SC⊥平面AEF，
只需证AE⊥SC(因为EF⊥SC)．
只需证AE⊥平面SBC，
只需证AE⊥BC(因为AE⊥SB)，
只需证BC⊥平面SAB，
只需证BC⊥SA(因为AB⊥BC)，
由SA⊥平面ABC可知，BC⊥SA成立．
∴AF⊥SC.
综合法和分析法的应用
[例3] 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，记A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：＋＝.
[思路点拨] 综合分析此题，利用等差数列的性质及余弦定理即可得证．
[精解详析] 要证＋＝，
只需证＋＝3，
即证明＋＝1，
所以只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
即证明c2＋a2＝ac＋b2.(*)
∵△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，
∴∠B＝60°.
由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos 60°.
∴b2＝c2＋a2－ac.代入(*)式，等式成立．
∴c2＋a2＝ac＋b2成立．故命题得证．
[一点通] 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证．
5．设x，y∈(0，＋∞)，求证：(x＋y)2＋(x＋y)≥x＋y.
证明：原不等式等价于2(x＋y)2＋x＋y≥4x＋4y，即证(x＋y)[2(x＋y)＋1]≥2(2＋2)．
∵x，y∈(0，＋∞)，
∴x＋y≥2>0.
∴只需证2(x＋y)＋1≥2＋2，
即证＋≥＋.
∵x＋≥，y＋≥，
当且仅当x＝y＝时，等号成立，
∴＋≥＋成立．
∴(x＋y)2＋(x＋y)≥x＋y.
6．证明函数f(x)＝log2(＋x)是奇函数．
证明：∵>|x|，
∴＋x>0恒成立，
∴f(x)＝log2(＋x)的定义域为R，
∴要证函数y＝log2(＋x)是奇函数，
只需证f(－x)＝－f(x)，
只需证log2(－x)＋log2(＋x)＝0，
只需证log2[(－x)(＋x)]＝0，
∵(－x)(＋x)＝x2＋1－x2＝1，
而log21＝0.∴上式成立．
故函数f(x)＝log2(＋x)是奇函数．
分析法与综合法的优缺点：
综合法和分析法是直接证明的两种基本方法，两种方法各有优缺点．分析法解题方向较为明确，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后用综合法有条理地表述解题过程．
1．下列表述：
①综合法是由因导果法；
②综合法是顺推法；
③分析法是执果索因法；
④分析法是间接证明法；
⑤分析法是逆推法．
其中正确的说法有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析：选C 由分析法、综合法的定义知①②③⑤正确.
2．2．平面内有四边形ABCD和点O，＋＝＋，则四边形ABCD为( )
A．菱形 B．梯形
C．矩形 D．平行四边形
解析：选D ∵＋＝＋，
∴－＝－.∴＝.
∴四边形ABCD为平行四边形．
3．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )
A．a≤ B．ab≥
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
解析：选C ∵a＋b＝2≥2，∴ab≤1.
∵a2＋b2＝4－2ab，∴a2＋b2≥2.
4．用分析法证明命题“已知a－b＝1.求证：a2－b2＋2a－4b－3＝0.”最后要具备的等式为( )
A．a＝b B．a＋b＝1
C．a＋b＝－3 D．a－b＝1
解析：选D 要证a2－b2＋2a－4b－3＝0，
即证a2＋2a＋1＝b2＋4b＋4，即(a＋1)2＝(b＋2)2，即证|a＋1|＝|b＋2|，
即证a＋1＝b＋2或a＋1＝－b－2，
故a－b＝1或a＋b＝－3，而a－b＝1为已知条件，也是使等式成立的充分条件．
5．将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．
答案：a2＋b2－2ab≥0 (a－b)2≥0 (a－b)2≥0
6．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．
解析：∵a＋b＋c＝0，a·b＝0，
∴c＝－(a＋b)．
∴|c|2＝(a＋b)2＝1＋b2.
由(a－b)·c＝0，
∴(a－b)·[－(a＋b)]＝－|a|2＋|b|2＝0.
∴|a|2＝|b|2＝1.
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
答案：4
7．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．
证明：设圆和正方形的周长为L，则圆的面积为π2，正方形的面积为2，
则本题即证π2>2.
要证π2>2，只需证>，
只需证>，即证4>π.因为4>π显然成立，
所以π2>2.
故原命题成立．
8．求证：≤7.
证明：因为x2＋3x＋4＝2＋>0，
所以要证≤7，
只需证x2－3x＋4≤7(x2＋3x＋4)，
只需证x2＋4x＋4≥0.
因为x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0成立，
所以≤7成立．
9．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数f(x＋1)与f(x)的图像关于y轴对称．求证：f为偶函数．
证明：要证f为偶函数，
只需证f的对称轴为x＝0.
只需证－－＝0.
只需证a＝－b.
∵函数f(x＋1)与f(x)的图像关于y轴对称，
即x＝－－1与x＝－关于y轴对称．
∴－－1＝－，∴a＝－b.
∴f为偶函数．
4反证法
反证法
1．问题：在今天商品大战中，广告成了电视节目中的一道美丽的风景线，几乎所有的广告商都熟谙这样的命题变换艺术．如宣传某种食品，其广告词为：“拥有的人都幸福，幸福的人都拥有．”该广告词实际说明了什么？
提示：说的是“不拥有的人不幸福”．
2．已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证：a，b，c不可能都是奇数．
问题1：你能利用综合法和分析法给出证明吗？
提示：不能．
问题2：a，b，c不可能都是奇数的反面是什么？此时，还满足条件a2＋b2＝c2吗？
提示：a，b，c都是奇数．此时不满足条件a2＋b2＝c2.
1．反证法的定义
在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而断定命题的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法．
2．反证法的证题步骤
(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出矛盾；
(3)否定假设，肯定结论．
1．反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题结论的目的．
2．可能出现矛盾的四种情况：(1)与题设矛盾；(2)与假定矛盾；(3)与公理、定理或已被证明了的结论矛盾；(4)在证明过程中，推出自相矛盾的结论．
用反证法证明否(肯)定式命题
[例1] 已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．
[思路点拨] 此题为否定形式的命题，可选用反证法，证题关键是利用等差中项、等比中项．
[精解详析] 假设，，成等差数列，
则＋＝2，
即a＋c＋2＝4b，
而b2＝ac，即b＝，∴a＋c＋2＝4，
∴(－)2＝0，即＝，
从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，
故，，不成等差数列．
[一点通]
(1)对于这类“否定”型命题，显然从正面证明需要证明的情况太多，不但过程繁琐，而且容易遗漏，故可以考虑采用反证法．一般地，当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明．
(2)反证法证明“肯定”型命题适宜于结论的反面比原结论更具体更容易研究和掌握的命题．
1．用反证法证明＋>3.
证明：假设＋>3不成立，则＋≤3.
平方得：2＋2＋3≤9，即≤2,6≤4，这与实数的大小关系相矛盾，所以＋>3.
2．已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数．
证明：假设a不是偶数，则a为奇数．
设a＝2m＋1(m为整数)，则a2＝4m2＋4m＋1.
∵4(m2＋m)是偶数，
∴4m2＋4m＋1为奇数，
即a2为奇数，与已知矛盾．
∴a一定是偶数.
用反证法证明唯一性命题
[例2] 求证函数f(x)＝2x＋1有且只有一个零点．
[思路点拨] 一般先证存在性，再用反证法证唯一性．
[精解详析] (1)存在性：因为2×(－)＋1＝0，所以－为函数f(x)＝2x＋1的零点．
所以函数f(x)＝2x＋1至少存在一个零点．
(2)唯一性：假设函数f(x)＝2x＋1除－外还有零点x0，则f＝f(x0)＝0.
即2×＋1＝2x0＋1.
∴x0＝－，这与x0≠－矛盾．
故假设不成立，即函数f(x)＝2x＋1除－外没有零点．
综上所述，函数f(x)＝2x＋1有且只有一个零点．
[一点通]
(1)结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的“唯一”型命题，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明简单而又明了．
(2)“有且只有”的含义有两层．①存在性：本题中只需找到函数f(x)＝2x＋1的一个零点即可．②唯一性：正面直接证明较为困难，故可采用反证法寻求矛盾，从而证明原命题的正确性．
3．过平面α上一点A，作直线a⊥α，求证：a是唯一的．
证明：假设a不是唯一的，则过点A至少还有一条直线b满足b⊥α.
∵a，b是相交直线，∴a，b可以确定一个平面β.
设α和β相交于过点A的直线c.
∵a⊥α，b⊥α，∴a⊥c，b⊥c，又a∩b＝A，∴c⊥β.
这与c?β矛盾．
故过点A垂直于平面α的直线有且只有一条，即a是唯一的．
4．用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行．
证明：假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.
因为b∥a，由平行公理知b′∥b.
这与假设b∩b′＝A矛盾，所以过直线外一点只有一条直线与已知直线平行.
用反证法证明“至多”或“至少”类命题
[例3] 已知a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a，b，c中至少有一个大于0.
[思路点拨] 从结论的反面入手有时解决问题更简便．
[精解详析] 假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0.
所以a＋b＋c≤0.
而a＋b＋c
＝＋＋
＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.
所以a＋b＋c>0.这与a＋b＋c≤0矛盾，故a，b，c中至少有一个大于0.
[一点通]
(1)对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．
(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：
原结论词
至少有一个
至多有一个
至少有n个
至多有n个
反设词
一个也没有
(不存在)
至少有两个
至多有
n－1个
至少有
n＋1个
5．设x，y都是正数，且x＋y>2，试用反证法证明：<2和<2中至少有一个成立．
证明：假设<2和<2都不成立，即≥2，≥2.
又∵x，y都是正数，
∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.
两式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y)，
∴x＋y≤2.与已知x＋y>2矛盾，
∴假设不成立，即<2和<2中至少有一个成立．
6．用反证法证明：若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．
证明：假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，不妨设α，β为其两个实根，且α＜β，则f(α)＝f(β)＝0.因为函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，又α＜β，所以f(α)＜f(β)，这与假设f(α)＝f(β)＝0相矛盾．所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．
用反证法证题要把握三点：
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．
(3)推导出来的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与定理、公理相矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．
1．命题“关于x的方程f(x)＝0有唯一解”的结论的否定是( )
A．无解 B．两解
C．至少有两解 D．无解或至少有两解
答案：D
2．用反证法证明命题“如果a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )
A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除 D．a不能被5整除
解析：选B “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”，故选B.
3．下列命题错误的是( )
A．三角形中至少有一个内角不小于60°
B．四面体的三组对棱都是异面直线
C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点
D．设a，b∈Z，若a，b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数
解析：选D a＋b为奇数?a，b中有一个为奇数，另一个为偶数．故D错误．
4．设a，b，c为正实数，则3个数a＋，b＋，c＋中( )
A．都大于2 B．都小于2
C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2
解析：选D 若三个数都小于2，则a＋＋b＋＋c＋<6，而＋＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，矛盾．
5．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为________．
解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②.
答案：③①②
6．和两条异面直线AB，CD都相交的两条直线AC，BD的位置关系是________．
解析：假设AC与BD共面于平面α，则A，C，B，D都在平面α内，∴AB?α，CD?α，这与AB，CD异面相矛盾，故AC与BD异面．
答案：异面
7．如果非零实数a，b，c两两不相等，且2b＝a＋c，
证明：＝＋不成立．
证明：假设＝＋成立，则＝＝，
故b2＝ac，又b＝，
所以2＝ac，即(a－c)2＝0，a＝c.
这与a，b，c两两不相等矛盾．
因此＝＋不成立．
8．求证：不论x，y取任何非零实数，等式＋＝总不成立．
证明：设存在非零实数x，y，使得等式＋＝总成立．则有＝，(x＋y)2＝xy，x2＋xy＋y2＝0.
因为x，y是非零实数，所以x2＋xy＋y2＝2＋>0，这与x2＋xy＋y2＝0矛盾．所以，不论x，y取任何非零实数，等式＋＝总不成立．
9.如图所示，在△ABC中，AB>AC，AD为BC边上的高线，AM是BC边上的中线．求证：点M不在线段CD上．
证明：假设点M在线段CD上，
则BD由已知，得AB2＝BD2＋AD2，AC2＝AD2＋CD2，
∴AB2＝BD2＋AD2即AB2∴ABAC矛盾．
∴点M不在线段CD上．
一、归纳和类比
1．归纳推理和类比推理是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．
2．从推理形式上看，归纳是由部分到整体、由个别到一般的推理；类比是两类事物特征间的推理，是由特殊到特殊的推理．
二、数学证明
1．三段论是最常见的一种演绎推理形式，包括大前提、小前提、结论．在前提和推理形式都正确的前提下，结论就一定正确．
2．合情推理是认识世界、发现问题的基础，演绎推理是证明命题、建立理论体系的基础．
三、综合法与分析法
1．综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法和综合法可相互转换，相互渗透，充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法可以联合运用，转换解题思路，增加解题途径．
2．综合法是“由因导果”；分析法是“执果索因”，书写时要注意格式和语言．
四、反证法
1．反证法是间接证明的一种基本方法，它不去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用正确的推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．在证明一些否定性命题、唯一性命题或含有“至多”“至少”等字句的命题时，正面证明较难，可考虑反证法，即“正难则反”．
2．反证法的步骤
(1)作出否定结论的假设；
(2)进行推理，导出矛盾；
(3)否定假设，肯定结论．
第三章 推理与证明
章末小结
一、归纳和类比
1．归纳推理和类比推理是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．
2．从推理形式上看，归纳是由部分到整体、由个别到一般的推理；类比是两类事物特征间的推理，是由特殊到特殊的推理．
二、数学证明
1．三段论是最常见的一种演绎推理形式，包括大前提、小前提、结论．在前提和推理形式都正确的前提下，结论就一定正确．
2．合情推理是认识世界、发现问题的基础，演绎推理是证明命题、建立理论体系的基础．
三、综合法与分析法
1．综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法和综合法可相互转换，相互渗透，充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法可以联合运用，转换解题思路，增加解题途径．
2．综合法是“由因导果”；分析法是“执果索因”，书写时要注意格式和语言．
四、反证法
1．反证法是间接证明的一种基本方法，它不去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用正确的推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．在证明一些否定性命题、唯一性命题或含有“至多”“至少”等字句的命题时，正面证明较难，可考虑反证法，即“正难则反”．
2．反证法的步骤
(1)作出否定结论的假设；
(2)进行推理，导出矛盾；
(3)否定假设，肯定结论．
