1数系的扩充与复数的引入
数的概念的扩展
已知方程：(1)x2－2x＋2＝0，(2)x2＋1＝0.
问题1：方程(1)在有理数数集中有解吗？在实数范围内呢？
提示：在有理数集中无解；在实数范围内有解，其解为.
问题2：方程(2)在实数集中有解吗？
提示：没有．
问题3：若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？
提示：有解x＝i，但不是实数．
1．复数的概念
(1)虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1.我们把i叫作虚数单位．
(2)复数：把形如a＋bi的数叫作复数(a，b是实数，i是虚数单位)．复数通常表示为z＝a＋bi(a，b∈R)．
(3)复数的实部与虚部：对于复数z＝a＋bi，a与b分别叫作实部与虚部．
(4)复数的分类：
复数a＋bi(a，b∈R)
2．复数集
复数的全体组成的集合叫作复数集，记作C.显然R?C.
复数的相等
问题1：若a，b，c，d∈R且a＝c，b＝d，则复数a＋bi和c＋di相等吗？
提示：相等．
问题2：若a＋bi＝c＋di，那么实数a，b，c，d有何关系？
提示：a＝c，b＝d.
复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.
复平面及复数的几何意义
问题1：实数与数轴上的点一一对应，复数可以用平面内的点表示吗？
提示：可以．
问题2：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有何对应关系？与平面直角坐标系中的点Z(a，b)有何对应关系？
提示：一一对应，一一对应．
问题3：在平面直角坐标系中点Z(a，b)与向量＝(a，b)有何对应关系？
提示：一一对应．
问题4：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有何对应关系？
提示：一一对应．
1．复平面
当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴．
2．复数的几何意义
(1)任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．
(2)一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量＝(a，b)是一一对应的．
3．复数的模
设复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，显然，|z|＝.
1．注意复数的代数形式z＝a＋bi中a，b∈R这一条件，否则a，b就不一定是复数的实部与虚部．
2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.
3．只有两个复数都是实数时才能比较大小，否则没有大小关系．
复数的基本概念
[例1] 复数z＝(m2－3m＋2)＋(m2＋m－2)i，求当实数m为何值时：
(1)z为实数；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数．
[思路点拨] 分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断．
[精解详析] (1)当m2＋m－2＝0，即m＝－2或m＝1时，z为实数．
(2)当m2＋m－2≠0，即m≠－2且m≠1时，z为虚数．
(3)当即m＝2时，z为纯虚数．
[一点通] 复数分类的关键
(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)时应先转化形式．
(2)注意分清复数分类中的条件
设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则①z为实数?b＝0，②z为虚数?b≠0，③z为纯虚数?a＝0，b≠0，④z＝0?a＝0，且b＝0.
1．若(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i是纯虚数，则实数m的值为( )
A．－1 B．4
C．－1或4 D．不存在
解析：选B 由条件知，
∴∴m＝4.
2．下列命题中：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若复数x＋yi(x，y∈R)是实数，则x＝0，y＝0；
③若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；
④若两个复数实部的差和虚部的差都等于0，则这两个复数相等．
其中，正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B 对于①，若a＝－1时，(a＋1)i为实数；对于②，若x＋yi(x，y∈R)是实数，则y＝0；对于③，因为a＋i和b＋i是虚数，所以不能比较大小；由复数相等的条件可知④正确.
复数的相等
[例2] (1)已知(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，x，y∈R，求x与y；
(2)设z1＝1＋sin θ－icos θ，z2＝＋(cos θ－2)i.若z1＝z2，求θ.
[思路点拨] 先找出两个复数的实部和虚部，然后再利用两个复数相等的充要条件列方程组求解．
[精解详析] (1)根据复数相等的充要条件，得方程组得
(2)由已知，得
解得则θ＝2kπ(k∈Z)．
[一点通] 复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．
(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．
3．若ai＋2＝b－i(a，b∈R)，i为虚数单位，则a2＋b2＝( )
A．0 B．2
C. D．5
解析：选D 由题意得则a2＋b2＝5.
4．满足方程x2－2x－3＋(9y2－6y＋1)i＝0的实数对(x，y)表示的点的个数是________．
解析：由题意知
∴
∴实数对(x，y)表示的点有，，共有2个．
答案：2
复数的几何意义
[例3] 实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点
(1)位于第二象限；
(2)位于直线y＝x上？
[思路点拨] 位于第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0；位于直线y＝x上的点的横坐标等于纵坐标．
[精解详析] 根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点就是点Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．
(1)由点Z位于第二象限得
解得－2
故满足条件的实数a的取值范围为(－2,1)．
(2)由点Z位于直线y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.
故满足条件的实数a的值为1.
[一点通] 按照复数集和复平面内所有的点的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所对应的点，就可根据点的位置确定复数的实部、虚部满足的条件．
5．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B 实部为－2，虚部为1的复数为－2＋i，所对应的点位于复平面的第二象限，选B.
6．设复数z＝a＋bi对应的点在虚轴右侧，则( )
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0
C．b＞0，a∈R D．a＞0，b∈R
解析：选D 复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数．
7．在复平面内，求复数z，使复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的对应点
(1)在虚轴上；
(2)在实轴负半轴上．
解：(1)若复数z的对应点在虚轴上，
则m2－m－2＝0，∴m＝－1或m＝2，
此时，z＝6i或z＝0.
(2)若复数z的对应点在实轴负半轴上，则
解得m＝1，∴z＝－2.
复数的模
[例4] (1)若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝，则复数z＝( )
A．1＋2i B．－1－2i
C．±1±2i D．1＋2i或－1－2i
(2)设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－1,1)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
[精解详析] (1)依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，
由|z|＝得 ＝，
解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i.
(2)因为|z1|＝ ，|z2|＝＝，
所以＜，即a2＋4＜5，所以a2＜1，
即－1＜a＜1.
[答案] (1)D (2)B
[一点通] 复数模的计算
(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解．
8．设复数z1＝x＋2i(x∈R)，z2＝2－yi(y∈R)，若z1＝z2，则|z1|＝________.
解析：∵z1＝z2，∴∴
∴z1＝2＋2i，∴|z1|＝2.
答案：2
9．求复数z1＝6＋8i及z2＝－－i的模，并比较它们的模的大小．
解：∵z1＝6＋8i，z2＝－－i，
∴|z1|＝＝10，
|z2|＝ ＝.
∵10>，
∴|z1|>|z2|.
1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数bi(b≠0，b∈R)不要只记形式，要注意b≠0.
2．复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对应，复数z＝a＋bi(a，b∈R)、复平面内的点Z(a，b)和平面向量之间的关系可用图表示．
1．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是( )
A．3－3i B．3＋i
C．－＋i D.＋i
解析：选A 3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故z＝3－3i.
2．若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a的值为( )
A．－1 B．1
C．±1 D．不存在
解析：选C (a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)为实数的充要条件是a2－1＝0，∴a＝±1.
3．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C 复数z＝－1－2i在复平面内对应的点为(－1，－2)，位于第三象限．
4．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是( )
A．1个圆 B．线段
C．2个点 D．2个圆
解析：选A 由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1.∵|z|≥0，∴|z|＝－1应舍去，故应选A.
5．已知复数z1＝5＋i，z2＝5＋bi，且|z1|＝|z2|，则实数b的值为________．
解析：|z1|＝|z2|? ＝?b2＝1?b＝±1.
答案：±1
6．已知复数z＝k2－3k＋(k2－5k＋6)i(k∈R)，且z<0，则k＝________.
解析：∵z<0，则z∈R，
故虚部k2－5k＋6＝0，(k－2)(k－3)＝0，
∴k＝2或k＝3.但k＝3时，z＝0.
故k＝2.
答案：2
7．已知z＝m＋i(m∈R)，若|z|＝a－1＋(a2－a－2)i(a∈R)，求复数z.
解：因为|z|≥0，所以
解得a＝2，所以|z|＝1.
所以＝1，解得m＝0，故z＝i.
8．已知复数z＝(m2－3m)＋(m2－m－6)i，当实数m为何值时，
①z是实数；
②z＝4＋6i；
③z对应的点在第三象限？
解：因为z＝(m2－3m)＋(m2－m－6)i，
①令m2－m－6＝0?m＝3或m＝－2，
即m＝3或m＝－2时，z为实数．
②?m＝4.
即m＝4时z＝4＋6i.
③若z所对应的点在第三象限，
则?0即09．在复平面内画出复数z1＝＋i，z2＝－1，z3＝－i对应的向量，，，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．
解：根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z1，Z2，Z3的坐标分别为，(－1,0)，，则向量，，如图所示．
|z1|＝ ＝1，
|z2|＝|－1|＝1，
|z3|＝ ＝1.
∴在复平面xOy内，点Z1，Z3关于实轴对称，且Z1，Z2，Z3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．
2复数的四则运算
复数的加法与减法
已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．
问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减．
提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
问题2：类比向量的加法，复数的加法满足交换律和结合律吗？
提示：满足．
1．加(减)法法则
设a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)是任意复数，则：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
2．运算律
对任意的z1，z2，z3∈C，有
z1＋z2＝z2＋z1(交换律)；
(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)(结合律).
复数的乘法
问题1：复数的加减类似于多项式加减，试想：复数相乘是否类似两多项式相乘？
提示：类似．
问题2：复数的乘法是否满足交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律？
提示：满足．
问题3：试举例验证复数乘法的交换律．
提示：若z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，
z2z1＝(c＋di)(a＋bi)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.
故z1z2＝z2z1.
复数的乘法
(1)定义：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(2)运算律：
①对任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1·z2＝z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
②复数的乘方：任意复数z，z1，z2和正整数m，n，有zmzn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1z2)n＝zz.
共轭复数
观察下列三组复数：
(1)z1＝2＋i；z2＝2－i；
(2)z1＝3＋4i；z2＝3－4i；
(3)z1＝4i；z2＝－4i.
问题1：每组复数中的z1与z2有什么关系？
提示：实部相等，虚部互为相反数．
问题2：试计算每组中的z1z2，你发现了什么规律吗？
提示：z1与z2的积等于z1的实部与虚部的平方和．
共轭复数
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫作共轭复数．复数z的共轭复数用来表示，也就是当z＝a＋bi时，＝a－bi.于是z＝a2＋b2＝|z|2.
复数的除法
我们知道实数的除法是乘法的逆运算，类似地，复数的除法也是复数乘法的逆运算，给出两个复数a＋bi，c＋di(c＋di≠0)．若(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi，则x＋yi＝叫作复数a＋bi除以c＋di的商．
问题1：根据乘法运算法则和复数相等的概念，请用a，b，c，d表示出x，y.
提示：由(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi得
xc－yd＋(xd＋yc)i＝a＋bi.
即∴
问题2：运用上述方法求两个复数的商非常繁琐，有更简便的方法求两个复数的商吗？
提示：可以用分母的共轭复数同乘分子与分母后，再进行运算．
复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
则＝＝＋i(c＋di≠0)．
1．复数的加法、减法和乘法与多项式的加法、减法和乘法相类似，但应注意在乘法中必须把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．
2．复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数)．
复数的加减运算
[例1] 计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
[思路点拨] 利用复数加、减运算的法则计算．
[精解详析] (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)
＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i.
[一点通] 复数加、减运算的方法技巧：
(1)复数的实部与实部相加、减，虚部与虚部相加、减；
(2)把i看作一个字母，类比多项式加、减中的合并同类项．
1．计算：(1＋i)＋(－2－i)－(3－2i)．
解：(1＋i)＋(－2－i)－(3－2i)
＝[－1＋(－)i]－(3－2i)
＝－4＋(2＋－)i.
2．若(3－10i)y＋(－2＋i)x＝1－9i，求实数x，y的值．
解：原式化为3y－10yi＋(－2x＋xi)＝1－9i.
即(3y－2x)＋(x－10y)i＝1－9i.
∴∴
复数的乘除运算
[例2] 计算：
(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i；
(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)＋i5；
(4)＋2.
[思路点拨] 按照复数的乘法与除法运算法则进行计算．
[精解详析] (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)
＝1－i2＋(－1＋i)
＝2－1＋i＝1＋i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i
＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i
＝(－2＋11i＋5)(3－4i)＋2i
＝(3＋11i)(3－4i)＋2i
＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
(3)原式＝＋i5
＝＋(i2)2·i
＝＋i＝＋i.
(4)＋2
＝＋＝－1
＝8－1
＝7.
[一点通]
(1)复数的乘法可以把i看作字母，按多项式的乘法法则进行，注意把i2化成－1，进行最后结果的化简；复数的除法先写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数，并进行化简．
(2)im(m∈N＋)具有周期性，且最小正周期为4，则：
①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N＋)；
②i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N＋)．
3．化简的结果是( )
A．2＋i B．－2＋i
C．2－i D．－2－i
解析：选C ＝＝＝＝2－i.
4．已知i为虚数单位，则复数的模等于( )
A. ????????????????????????? B.
C. D.
解析：选D 因为＝＝＝－＋i，所以＝＝＝，故选D.
5．计算：
(1)＋(－－i)3＋；
(2).
解：(1)＋(－－i)3＋
＝－i＋3＋
＝－i－8i＋i＝－8i.
(2)＝
＝＝
＝＝－2－2i.
共轭复数
[例3] 已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
[思路点拨] 利用共轭复数的性质求解．
[精解详析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝a－bi(a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有
解得或
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
[一点通] 已知关于z和的方程，求z的问题，解题的常规思路为设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程组求解．
6．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2的值为( )
A．5－4i B．5＋4i
C．3－4i D．3＋4i
解析：选D 根据已知得a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.
7．已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋ i，z·＝4，则a等于( )
A．1或－1 B.或－
C．－ D.
解析：选A 法一：由题意可知＝a－i，
∴z·＝(a＋i)(a－i)＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.
法二：z·＝|z|2＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.
1．复数的四则运算顺序与实数运算顺序一致，即先算平方，再算乘除，最后算加减，同时要注重复数运算中的独特技巧，如：(1±i)2＝±2i，＝i，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N＋)等，在解题中可使运算简化．
2．解决共轭复数问题时，除用共轭复数定义解题外，也常用下列结论简化解题过程．
①z·＝|z|2＝||2；
②z∈R?＝z；
③z≠0，z为纯虚数?＝－z.
1．(1＋2i)＋－的值为( )
A．－2i B．2－2i
C．2＋2i D．2
解析：选B 原式＝＋i＝2－2i.
2．已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2等于( )
A．－2i B．2i
C．－2 D．2
解析：选A ∵zi＝1＋i，∴z＝＝＋1＝1－i，
∴z2＝(1－i)2＝1＋i2－2i＝－2i.
3．复数的共轭复数是( )
A．－i B.i
C．－i D．i
解析：选C 依题意＝＝＝i，其共轭复数为－i，选C.
4．(1＋i)20－(1－i)20的值是( )
A．－1 024 B．1 024
C．0 D．512
解析：选C (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.
5．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是________．
解析：因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，
所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)．
又因为此点在第二象限，所以解得a＜－1.
答案：(－∞，－1)
6．若复数z＝，则|＋3i|＝________.
解析：∵z＝＝＝－1＋i，
∴＝－1－i.
∴|＋3i|＝|－1＋2i|＝.
答案：
7．计算
(1)(＋i)2(4＋5i)；
(2).
解：(1)(＋i)2(4＋5i)＝2(1＋i)2(4＋5i)
＝4i(4＋5i)＝－20＋16i.
(2)＝＝＝1－i.
8．已知复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)·z为纯虚数．
(1)求复数z；
(2)若w＝，求复数w的模|w|.
解：(1)因为 z＝3＋bi，
所以(1＋3i)·z＝(1＋3i)(3＋bi)＝3(1－b)＋(9＋b)i.因为(1＋3i)·z为纯虚数，所以解得b＝1.所以z＝3＋i.
(2)因为 z＝3＋i，所以w＝＝＝＝＝－i，所以|w|＝＝.
9．已知复数z满足(z－2)i＝a＋i(a∈R)．
(1)求复数z；
(2)a为何值时，复数z2对应的点在第一象限？
解：(1)由已知得z－2＝＝1－ai，
∴z＝3－ai.
(2)由(1)得z2＝9－a2－6ai，
∵复数z2对应的点在第一象限，
∴解得－3即当－3一、复数的基本概念
1．复数a＋bi
2．复数的相等
两个复数z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，当且仅当a＝c且b＝d时，z1＝z2.特别地，当且仅当a＝b＝0时，a＋bi＝0.
3．复数是实数的充要条件
(1)z＝a＋bi(a，b∈R)∈R?b＝0；
(2)z∈R?z＝；
(3)z∈R?z2≥0.
4．复数是纯虚数的充要条件
(1)z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数?a＝0，且b≠0；
(2)z是纯虚数?z＋＝0(z≠0)；
(3)z是纯虚数?z2<0.
二、复数的运算
复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除的运算，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比分式的分子、分母有理化，注意i2＝－1.
在运算的过程中常用来降幂的公式有：
(1)i的乘方：i4k＝1，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i(k∈N＋)．
(2)(1±i)2＝±2i.
(3)作复数除法运算时，有如下技巧：
＝＝＝i，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化．
第四章 数系的扩充与复数的引入
章末小结
一、复数的基本概念
1．复数a＋bi
2．复数的相等
两个复数z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，当且仅当a＝c且b＝d时，z1＝z2.特别地，当且仅当a＝b＝0时，a＋bi＝0.
3．复数是实数的充要条件
(1)z＝a＋bi(a，b∈R)∈R?b＝0；
(2)z∈R?z＝；
(3)z∈R?z2≥0.
4．复数是纯虚数的充要条件
(1)z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数?a＝0，且b≠0；
(2)z是纯虚数?z＋＝0(z≠0)；
(3)z是纯虚数?z2<0.
二、复数的运算
复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除的运算，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比分式的分子、分母有理化，注意i2＝－1.
在运算的过程中常用来降幂的公式有：
(1)i的乘方：i4k＝1，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i(k∈N＋)．
(2)(1±i)2＝±2i.
(3)作复数除法运算时，有如下技巧：
＝＝＝i，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化．
