复习课(一) 统计案例
回归分析
(1)变量间的相关关系是高考解答题命题的一个，主要考查变量间相关关系的判断，求解回归方程并进行预报估计，题型多为解答题，有时也有小题出现．
(2)掌握回归分析的步骤的是解答此类问题的关键，另外要掌握将两种非线性回归模型转化为线性回归分析求解问题.
1．一个重要方程
对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其线性回归直线方程为y＝bx＋a.
其中b＝，a＝－b.
2．重要参数
相关系数r是用来刻画回归模型的回归效果的，其绝对值越大，模型的拟合效果越好．
3．两种重要图形
[典例] (2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
零件尺寸
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
抽取次序
9
10
11
12
13
14
15
16
零件尺寸
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得＝i＝9.97，s＝＝≈0.212, ≈18.439，(xi－)(i－8.5)＝－2.78，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.
(1)求(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|＜0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)．
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(－3s，＋3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
②在(－3s，＋3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．(精确到0.01)
附：样本(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的相关系数
r＝，≈0.09.
[解] (1)由样本数据得(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相关系数为r＝＝≈－0.18.
由于|r|＜0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．
(2)①由于＝9.97，s≈0.212，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(－3s，＋3s)以外，因此需对当天的生产过程进行检查．
②剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为(16×9.97－9.22)＝10.02，
所以这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02，
＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134，
剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为
(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，
所以这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为≈0.09.
[类题通法]
求线性回归方程的基本步骤
[注意] 对非线性回归问题应利用变量代换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．
1．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的回归系数为b，回归截距是a，那么必有( )
A．b与r的符号相同 B．a与r的符号相同
C．b与r的符号相反 D．a与r的符号相反
解析：选A 正相关时，b>0，r>0；负相关时，b<0，r<0.
2．为研究某种图书每册的成本费y(元)与印刷数x(千册)的关系，收集了一些数据并作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．
(xi－)2
(xi－)(yi－)
(ui－)2
(ui－)(yi－)
15.25
3.63
0.269
2 085.5
－230.3
0.787
7.049
表中ui＝，＝i.
(1)根据散点图判断：y＝a＋bx与y＝c＋哪一个更适宜作为每册成本费y(元)与印刷数x(千册)的回归方程类型？(只要求给出判断，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(回归系数的结果精确到0.01)；
(3)若每册书定价为10元，则至少应该印刷多少千册才能使销售利润不低于78 840元？(假设能够全部售出，结果精确到1)
(附：对于一组数据(ω1，v1)，(ω2，v2)，…，(ωn，vn)，其回归直线v＝a＋βω的斜率和截距的最小二乘估计分别为β＝，α＝－β )
解：(1)由散点图判断，y＝c＋适宜作为每册成本费y(元)与印刷册数x(千册)的回归方程．
(2)令u＝，先建立y关于u的线性回归方程，
由于d＝＝≈8.957≈8.96，
∴c＝－d·＝3.63－8.957×0.269≈1.22，
∴y关于u的线性回归方程为y＝1.22＋8.96u，
从而y关于x的回归方程为y＝1.22＋.
(3)假设印刷x千册，依题意：10x－·x≥78.840.
即8.78x≥87.8，解得x≥10，
∴至少印刷10千册才能使销售利润不低于78 840元.
独立性检验
(1)近几年高考中对独立性检验的考查频率有所降低，题目多以解答题形式出现，一般为容易题，多与概率、统计等内容综合命题．
(2)独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法，要确认“两个分类变量有关系” 这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系” 成立，在该假设下构造的随机变量K2应该很小，如果由观测数据计算得到的K2的观测值k很大，则在一定程度上说明假设不合理，根据随机变量K2的含义，可以通过概率P(K2≥6.635)≈0.01来评价该假设不合理的程度，由实际计算出的k>6.635，说明该假设不合理的程度约为99%，即“两个分类变量有关系” 这一结论成立的可信程度约为99%.
独立性判断的方法
(1)当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；
(2)当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；
(3)当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；
(4)当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．
[典例] (2017·全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：
(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50 kg
箱产量≥50 kg
旧养殖法
新养殖法
(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较．
附：
P(χ2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
，
χ2＝.
[解] (1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为
(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62.
因此，事件A的概率估计值为0.62.
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表
箱产量＜50 kg
箱产量≥50 kg
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
根据表中数据及χ2的计算公式得，
χ2＝≈15.705.
由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg到55 kg之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg到50 kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．
[类题通法]
独立性检验问题的求解策略
(1)等高条形图法：依据题目信息画出等高条形图，依据频率差异来粗略地判断两个变量的相关性．
(2)χ2统计量法：通过公式
χ2＝
先计算χ2，再与临界值表作比较，最后得出结论．
1．如果有99%的把握认为变量A和B有关系，那么χ2( )
A．χ2≥3.841 B．χ2<3.841
C．χ2≥6.635 D．χ2<6.635
解析：选C 将χ2的值与临界值比较，可知若有99%的把握认为变量A和B有关系，则χ2≥6.635.故选C.
2．下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表：
得病
不得病
总计
干净水
52
466
518
不干净水
94
218
312
总计
146
684
830
(1)能否有99%的把握认为这种传染病与饮用水的卫生程度有关，请说明理由．
(2)若饮用干净水得病的有5人，不得病的有50人，饮用不干净水得病的有9人，不得病的有22人．按此样本数据分析能否有95%的把握认为这种疾病与饮用水有关．
解：(1)把表中的数据代入公式得
χ2＝≈54.21.
∵54.21＞6.635，
所以有99%的把握认为该地区这种传染病与饮用水不干净有关．
(2)依题意得2×2列联表：
得病
不得病
总计
干净水
5
50
55
不干净水
9
22
31
总计
14
72
86
此时，χ2＝≈5.785.
因为5.785＞3.841，
所以有95%的把握认为该种疾病与饮用水不干净有关．
1．为了研究气温对某种饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出饮料数与当天气温的对比表：
摄氏温度
－1
3
8
13
17
饮料瓶数
3
40
52
73
122
根据上表可得回归方程y＝6x＋a，据此模型预测气温为30 ℃时销售饮料瓶数为( )
A．140 B．190
C．210 D．240
解析：选B 依题意得＝×(－1＋3＋8＋13＋17)＝8，＝×(3＋40＋52＋73＋122)＝58，则回归直线必经过点(8,58)，于是有a＝58－6×8＝10.当x＝30时，y＝6×30＋10＝190，故选B.
2．下列说法中正确的有：( )
①若r>0，则x增大时，y也相应增大；
②若r<0，则x增大时，y也相应增大；
③若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上．
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
解析：选C 若r>0，表示两个相关变量正相关，x增大时，y也相应增大，故①正确．r<0，表示两个变量负相关，x增大时，y相应减小，故②错误．|r|越接近1，表示两个变量相关性越高，|r|＝1表示两个变量有确定的关系(即函数关系)，故③正确．
3．有下列数据：
x
1
2
3
y
3
5.99
12.01
下列四个函数中，模拟效果最好的为( )
A．y＝3×2x－1 B．y＝log2x
C．y＝3x D．y＝x2
解析：选A 分别把x＝1,2,3，代入求值，求最接近y的值．即为模拟效果最好，故选A.
4．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x/万元
4
2
3
5
销售额y/万元
49
26
39
54
根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
解析：选B ＝＝3.5，＝＝42，∵数据的样本中心点(3.5,42)在线性回归直线上，回归方程y＝bx＋a＝9.4x＋a，∴42＝a＋9.4×3.5，∴a＝9.1，∴线性回归方程是y＝9.4x＋9.1，∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．
5．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算χ2≈0.99，根据这一数据分析，下列说法正确的是( )
A．有99%的人认为该栏目优秀
B．有99%的人认为该栏目是否优秀与改革有关系
C．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系
D．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系
解析：选D 只有χ2>6.635时才能有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系．而即使χ2>6.635也只是对“电视栏目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小的结论，故选D.
6．在两个学习基础相当的班级实行某种教学措施的实验，测试结果见下表，则实验效果与教学措施( )
优、良、中
差
总计
实验班
48
2
50
对比班
38
12
50
总计
86
14
100
A．有关 B．无关
C．关系不明确 D．以上都不正确
解析：选A 随机变量χ2＝≈8.306>6.635，则有99%的把握认为“实验效果与教学措施有关”．
7．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如表)，由最小二乘法求得回归方程y＝0.67x＋54.9.
零件数x(个)
10
20
30
40
50
加工时间y(min)
62
75
81
89
现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为________．
解析：由表格知＝30，得＝0.67×30＋54.9＝75.
设表中的“模糊数字”为a.
则a＋62＋75＋81＋89＝75×5，
所以a＝68.
答案：68
8．某学校对课程《人与自然》的选修情况进行了统计，得到如下数据：
选
未选
总计
男
405
45
450
女
230
220
450
总计
635
265
900
那么，认为选修《人与自然》与性别有关的把握是______．
解析：χ2＝＝163.794>6.635，即有99%的把握认为选修《人与自然》与性别有关．
答案：99%
9．变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则r1，r2的大小关系为________．
解析：对于变量X与Y而言，Y随X的增大而增大，故变量Y与X正相关，即r1＞0；对于变量U与V而言，V随U的增大而减小，故变量V与U负相关，即r2＜0.故r2＜0＜r1.
答案：r2＜r1
10．高中流行这样一句话“文科就怕数学不好，理科就怕英语不好”．下表是一次针对高三文科学生的调查所得的数据，试问：文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系吗？
总成绩情况
数学成绩情况
总成绩好
总成绩不好
总计
数学成绩好
478
12
490
数学成绩不好
399
24
423
总计
877
36
913
解：根据题意，
χ2＝≈6.233>3.841，
因此有95%的把握认为“文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系”．
11．某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如表所示：
积极参加
班级工作
不太主动
参加班级工作
总计
学习积极性高
18
学习积极性一般
19
总计
50
(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是，请完成上面的2×2列联表．
(2)在(1)的条件下，试运用独立性检验的思想方法分析：能否有99%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关？并说明理由.
P(χ2≥k)
0.010
0.005
0.001
k
6.635
7.879
10.828
解：(1)如果随机抽查这个班的一名学生，抽到积极参加班级工作的学生的概率是，所以积极参加班级工作的学生有24人，由此可以算出学习积极性一般且积极参加班级工作的人数为6，不太主动参加班级工作的人数为26，学习积极性高但不太主动参加班级工作的人数为7，学习积极性高的人数为25，学习积极性一般的人数为25，得到：
积极参加
班级工作
不太主动
参加班级工作
总计
学习积极性高
18
7
25
学习积极性一般
6
19
25
总计
24
26
50
(2)χ2＝≈11.538，
因为11.538>6.635，所以有99%的把握可以认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系．
12．如图是我国2012年到2018年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2020年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：i＝9.32，iyi＝40.17, ＝0.55，≈2.646.
参考公式：相关系数r＝，
回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝－.
解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据得
＝4，(ti－)2＝28, ＝0.55，
(ti－)(yi－)＝iyi－i＝40.17－4×9.32＝2.89，
r≈≈0.99.
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
(2)由＝≈1.331及(1)得
＝＝≈0.103，
＝－≈1.331－0.103×4≈0.92.
所以y关于t的回归方程为＝0.92＋0.10t.
将2020年对应的t＝9代入回归方程得
＝0.92＋0.10×9＝1.82.
所以预测2020年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨．
复习课(三) 复数、框图
复数的概念
(1)复数的概念是学习复数的基础，是考试的重要的考查内容之一，一般以选择题或填空题形式出现，难度较小．
(2)解答此类问题的关键是明确复数相关概念．
1．复数是实数的充要条件
(1)z＝a＋bi(a，b∈R)∈R?b＝0.
(2)z∈R?z＝.
(3)z∈R?z2≥0.
2．复数是纯虚数的充要条件
(1)z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数?a＝0，且b≠0.
(2)z是纯虚数?z＋＝0(z≠0)．
(3)z是纯虚数?z2<0.
3．复数相等的充要条件
a＋bi＝c＋di?(a，b，c，d∈R)．
[典例] (1)(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；
p4：若复数z∈R，则∈R.
其中的真命题为( )
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 ?D．p2，p4
(2)(2017·天津高考)已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．
[解析] (1)设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，
对于p1，∵＝＝∈R，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命题；
对于p2，∵z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R，∴ab＝0，∴a＝0或b＝0，∴p2不是真命题；
对于p3，设z1＝x＋yi(x，y∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，则z1z2＝(x＋yi)(c＋di)＝cx－dy＋(dx＋cy)i∈R，
∴dx＋cy＝0，取z1＝1＋2i，z2＝－1＋2i，z1≠2，
∴p3不是真命题；
对于p4，∵z＝a＋bi∈R，∴b＝0，∴＝a－bi＝a∈R，
∴p4是真命题．
(2)由＝＝－i是实数，得－＝0，所以a＝－2.
[答案] (1)B (2)－2
[类题通法]
处理复数概念问题的两个注意点
(1)当复数不是a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部．
(2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根．
1．若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋的虚部为( )
A．0 B．－1
C．1 D．－2
解析：选A 因为z＝1＋i，所以＝1－i，所以z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0.故选A.
2．已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1－z2＝0，则m的值为( )
A．4 B．－1
C．6 D．－1或6
解析：选B 由题意可得z1＝z2，即m2－3m＋m2i＝4＋(5m＋6)i，根据两个复数相等的充要条件可得解得m＝－1，故选B.
复数加、减法的几何意义
(1)复数运算与复数几何意义的综合是高考常见的考查题型，以选择题或填空题形式考查，难度较小．
(2)解答此类问题的关键是利用复数运算将复数化为代数形式，再利用复数的几何意义解题．
1．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi)；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量OZ―→是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ―→相等的向量有无数个．
2．复数的模
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝；
(2)从几何意义上理解，复数z的模表示复数z对应的点Z和原点间的距离．
[典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝( )
A. B.
C. D．2
(2)复数z＝(m∈R，i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] (1)因为z＝＝＝i(1－i)＝1＋i，所以|z|＝.
(2)z＝＝
＝[(m－4)－2(m＋1)i]，
其实部为(m－4)，虚部为－(m＋1)，
由得
此时无解．故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限．
[答案] (1)C (2)A
[类题通法]
在复平面内确定复数对应点的步骤
(1)由复数确定有序实数对，即z＝a＋bi(a，b∈R)确定有序实数对(a，b)．
(2)由有序实数对(a，b)确定复平面内的点Z(a，b)．
1．设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( )
A．1 B.
C. D．2
解析：选B ∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.
又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝1.
∴|x＋yi|＝|1＋i|＝，故选B.
2．若复数(－6＋k2)－(k2－4)i所对应的点在第三象限，则实数k的取值范围是________．
解析：由已知得∴4∴－答案：(－，－2)∪(2，)
3．已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi，z3＝1－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.若＝2＋，则a＝________，b＝________.
解析：∵＝2＋,
∴1－4i＝2(2＋3i)＋(a＋bi)
即 ∴
答案：－3 －10
复数的代数运算
(1)复数运算是本章的重要内容，是高考的考查的重点和热点，每年高考都有考查，一般以复数的乘法和除法运算为主．
(2)解答此类问题的关键是熟记并灵活运用复数的四则运算法则，用好复数相等的充要条件这一重要工具，将复数问题实数化求解．
复数运算中常见的结论
(1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i；
(4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.
[典例] (1)若z＝1＋2i，则＝( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
(2)计算：2－20＝________.
[解析] (1)因为z＝1＋2i，则＝1－2i，所以z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则＝＝i.故选C.
(2)2－20＝[(1＋2i)＋(－i)5]2－i10＝(1＋i)2－i2＝1＋2i.
[答案] (1)C (2)1＋2i
[类题通法]
进行复数代数运算的策略
(1)复数代数形式的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算．
①复数的加减运算类似于实数中的多项式加减运算(合并同类项)．
②复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2与(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，此时要注意区分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2与(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
(2)复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式．
(3)利用复数相等，可实现复数问题的实数化．
1．复数z满足z(＋1)＝1＋i，其中i是虚数单位，则z＝( )
A．1＋i或－2＋i B．i或1＋i
C．i或－1＋i D．－1－i或－2＋i
解析：选C 设z＝a＋bi(a，b∈R)，由z(＋1)＝1＋i得a2＋b2＋a＋bi＝1＋i，所以b＝1，a2＋a＋1＝1，所以a＝0或a＝－1.故z＝i或z＝－1＋i.
2．i是虚数单位，2 018＋6＝________.
解析：原式＝1 009＋6＝1 009＋i6＝i1009＋i6＝i4×252＋1＋i4＋2＝i＋i2＝－1＋i.
答案：－1＋i
框图
(1)题型为选择题、填空题．主要考查基本知识和技能，如对条件结构和循环结构的灵活应用或补全程序框图．
(2)在画框图时，需要有较高的抽象概括能力和逻辑思维能力，要熟悉事物的来龙去脉，从头至尾抓住主要脉络进行分解，弄清各步的逻辑关系．
1．流程图
(1)流程图是动态图示，包括程序流程图、工序流程图、生活中的流程图等，流程图一般要按照从左到右，从上到下的顺序来观察．
(2)画流程图时，要先将实际问题分解成若干个步骤，注意各个步骤之间的先后顺序和逻辑关系，再用简洁的语言表述步骤，最后绘制成流程图．
2．结构图
(1)结构图是一种静态图示，通常用来描述一个系统各部分和各环节之间的关系．结构图一般主要包括知识结构图和组织结构图．
(2)结构图的书写顺序是：根据系统各要素的具体内容，按照从上到下、从左到右的顺序或箭头所指的方向将各要素划分为从属关系或逻辑的先后关系．
[典例] (1)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生，
分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1,2,3)．
(2)据有关人士预测，我国的消费观念正由生存型消费转向质量型消费，城镇居民消费热点是商品住房、小轿车、新型食品、服务消费和文化消费；农村消费热点是住房、家电，试设计出表示消费情况的结构图．
[解] (1)变量x是在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生的一个数，共有24种可能．
当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1＝；
当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2＝；
当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3＝.
所以输出y的值为1的概率为，输出y的值为2的概率为，输出y的值为3的概率为.
(2)如图所示．
[类题通法]
(1)解决循环结构框图问题，首先要找出控制循环的变量的初值、步长、终值(或控制循环的条件)，然后看循环体，循环次数比较少时，可依次列出即可获解，循环次数较多时可先循环几次，找出规律，要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误．
(2)画复杂的组织结构图或分类结构图时，首先要分清各个要素的从属关系，即上下位关系，然后从最上位开始往下位展开，既可以画成上下结构，也可以画成左右结构．
1．读下面的流程图，当输入的值为－5时，输出的结果是________．
解析：①A＝－5＜0，②A＝－5＋2＝－3＜0，③A＝－3＋2＝－1＜0，④A＝－1＋2＝1＞0，⑤A＝2×1＝2.
答案：2
2．“大气热力作用”有关知识是：太阳辐射地面，产生地面辐射传递给大气和宇宙空间，大气向外辐射至宇宙空间，同时，大气对地面产生逆辐射，对太阳辐射产生削弱作用(吸收、反射、散射)，不仅如此，大气还对地面产生保温作用．试画出上述知识的结构图．
解：如图所示．
1．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则 (a＋bi)2＝( )
A．3－4i B．3＋4i
C．4－3i D．4＋3i
解析：选A 由a＋i＝2－bi可得a＝2，b＝－1，则(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.
2．复数z满足(－1＋i)z＝(1＋i)2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D z＝＝＝＝1－i，故z在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)，位于第四象限．
3．绘制直平行六面体的知识结构图时，下列叙述正确的是( )
A．正方体应是最下位要素
B．正方体是长方体的上位要素
C．直平行六面体是长方体的下位要素
D．正四棱柱不是该结构图中的要素
解析：选A 正确的关系为直平行六面体→正四棱柱→长方体→正方体．
4．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数为?（ ）
A.1－2i B.－1＋2i
C.3＋4i D.－3－4i
解析：选D ∵对应复数2＋i，对应复数1＋3i，,∴对应复数(2＋i)＋(1＋3i)＝3＋4i，∴对应的复数是－3－4i.
5．已知复数z＝－＋i，则＋|z|＝( )
A．－－i B．－＋i
C.＋i D.－i
解析：选D 由题知＝－－i，|z|＝＝1.所以＋|z|＝－i，故选D.
6．设z是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若z2≥0，则z是实数
B．若z2<0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0
D．若z是纯虚数，则z2<0
解析：选C 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
选项A，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，则
故b＝0或a，b都为0，即z为实数，正确．
选项B，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，则则故z一定为虚数，正确．选项C，若z为虚数，则b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误．选项D，若z为纯虚数，则则z2＝－b2<0，正确．
7．复数z＝的共轭复数是________．
解析：依题意得z＝＝＝1－i，因此z的共轭复数是1＋i.
答案：1＋i
8．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.
解析：∵(2，－3)关于原点的对称点是(－2,3)，
∴z2＝－2＋3i.
答案：－2＋3i
9．已知z，ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝，且|ω|＝5，则ω＝________.
解析：由题意设(1＋3i)z＝ki(k≠0且k∈R)，
则ω＝.
∵|ω|＝5，∴k＝±50，故ω＝±(7－i)．
答案：±(7－i)
10．已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i.
(1)求|z|；
(2)若z2＋az＋b＝，求实数a，b的值．
解：z＝(1－i)2＋1＋3i＝－2i＋1＋3i＝1＋i.
(1)|z|＝＝.
(2)z2＋az＋b＝(1＋i)2＋a(1＋i)＋b
＝2i＋a＋ai＋b＝a＋b＋(a＋2)i，
∵＝1－i，∴a＋b＋(a＋2)i＝1－i，
∴
∴a＝－3，b＝4.
11．已知z＝(x>0)，且复数ω＝z(z＋i)的实部减去它的虚部所得的差等于－，求ω·.
解：ω＝z(z＋i)＝
＝·＝＋i.
根据题意－＝－，得x2－1＝3.
∵x>0，∴x＝2.∴ω＝＋3i.
∴ω·＝＝.
12．某省公安消防局对消防产品监督程序步骤为：受理产品请求，审核考察，领导复核，窗口信息反馈．领导复核环节中，若不同意，则直接由窗口反馈信息；同意，如果由公安部发证的产品，则报公安部审批后，再把反馈信息由窗口反馈；如果不是由公安部发证的产品，则信息由窗口反馈出去．试画出监督程序流程图．
解：如图所示：
复习课(二) 推理与证明
合情推理
近几年的高考中归纳推理和类比推理有时考查，考查的形式以填空题为主，其中归纳推理出现的频率较高，重点考查归纳、猜想、探究、类比等创新能力．
1．归纳推理的特点及一般步骤
2．类比推理的特点及一般步骤
[典例] (1)在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P-ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝________.
(2)观察下列等式：
1－＝，
1－＋－＝＋，
1－＋－＋－＝＋＋，
……，
据此规律，第n个等式可为_________________________________．
[解析] (1)正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故＝.
(2)等式的左边的通项为－，前n项和为1－＋－＋…＋－；右边的每个式子的第一项为，共有n项，故为＋＋…＋.
[答案] (1) (2)1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋
[类题通法]
(1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．
(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．
1．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．
则f(4)＝________，f(n)＝________.
解析：因为f(1)＝1，f(2)＝7＝1＋6，f(3)＝19＝1＋6＋12，所以f(4)＝1＋6＋12＋18＝37，所以f(n)＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n－1)＝3n2－3n＋1.
答案：37 3n2－3n＋1
2．若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，则有性质“若Sm＝Sn(m，n∈N*且m≠n)，则Sm－n＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{bn}为等比数列时，写出一个正确的性质：________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
答案：数列{bn}为等比数列，Tm表示其前m项的积，若Tm＝Tn，(m，n∈N*，m≠n)，则Tm－n＝1
综合法与分析法
(1)综合法与分析法是高考重点考查内容，一般以某一知识点作为载体，考查由分析法获得解题思路以及用综合法有条理地表达证明过程．
(2)理解综合法与分析法的概念及区别，掌握两种方法的特点，体会两种方法的相辅相成、辩证统一的关系，以便熟练运用两种方法解题．
(1)综合法：是从已知条件推导出结论的证明方法；综合法又叫做顺推证法或由因导果法．
(2)分析法：是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即要证……”“只需证……”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．
[典例] 设a>0，b>0，a＋b＝1，
求证：＋＋≥8.
[证明] 法一：综合法
因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以1＝a＋b≥2，≤，ab≤，所以≥4，
又＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4，
所以＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立)．
法二：分析法
因为a>0，b>0，a＋b＝1，要证＋＋≥8.
只要证＋≥8，
只要证＋≥8，
即证＋≥4.
也就是证＋≥4.
即证＋≥2，
由基本不等式可知，当a>0，b>0时，＋≥2成立，
所以原不等式成立．
[类题通法]
综合法和分析法的特点
(1)综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式．
(2)分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．
1．若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，
求证：＋＜＋.
证明：要证＋＜＋，
只需证(＋)2＜(＋)2，
即a＋d＋2＜b＋c＋2，
因a＋d＝b＋c，只需证＜，
即ad＜bc，设a＋d＝b＋c＝t，
则ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)(c＋d－t)＜0，
故ad＜bc成立，从而＋＜＋成立．
2．定义在R上的函数y＝f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a，b∈R有f(a＋b)＝f(a)·f(b)．
(1)证明：f(0)＝1；
(2)证明：对任意的x∈R，恒有f(x)>0.
证明：(1)令a＝b＝0，得f(0)＝f(0)·f(0)，
又f(0)≠0，所以f(0)＝1.
(2)由已知当x>0时，f(x)>1，
由(1)得f(0)＝1，故当x≥0时，f(x)>0成立．
当x<0时，－x>0，所以f(－x)>1，
而f(x－x)＝f(x)f(－x)，所以f(x)＝，
可得0综上，对任意的x∈R，恒有f(x)>0成立.
反证法
(1)反证法是证明问题的一种方法，在高考中很少单独考查，常用来证明解答题中的一问．
(2)反证法是间接证明的一种基本方法，使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾．
1．使用反证法应注意的问题：利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．
2．一般以下题型用反证法：
(1)当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确；
(2)否定性命题、唯一性命题，存在性命题、“至多”“至少”型命题；
(3)有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及无限个元素，用直接证明比较困难，往往用反证法．
[典例] (1)否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为( )
A．a，b，c都是偶数
B．a，b，c都是奇数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
(2)已知：ac≥2(b＋d)．求证：方程x2＋ax＋b＝0与方程x2＋cx＋d＝0中至少有一个方程有实数根．
[解析] (1)自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．”
答案：D
(2)证明：假设两方程都没有实数根．则Δ1＝a2－4b<0与Δ2＝c2－4d<0，有a2＋c2<4(b＋d)，而a2＋c2≥2ac，
从而有4(b＋d)>2ac，即ac<2(b＋d)，
与已知矛盾，故原命题成立．
[类题通法]
反证法是利用原命题的否命题不成立则原命题一定成立来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．
1．已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.
证明：假设a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1，
则有a＋b＋c＜3，
而a＋b＋c＝2x2－2x＋＋3＝22＋3≥3，
两者矛盾，所以假设不成立，
故a，b，c至少有一个不小于1.
2．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中的a，b，c都为整数，已知f(0)，f(1)均为奇数，求证：方程f(x)＝0无整数根．
证明：假设方程f(x)＝0有一个整数根k，
则ak2＋bk＋c＝0，
∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c都为奇数，
∴a＋b必为偶数，ak2＋bk为奇数．
当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，
则ak2＋bk＝4n2a＋2nb＝2n(2na＋b)必为偶数，
与ak2＋bk为奇数矛盾；
当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，
则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为一奇数与一偶数乘积，必为偶数，也与ak2＋bk为奇数矛盾．
综上可知方程f(x)＝0无整数根．
1．用演绎推理证明函数y＝x3是增函数时的大前提是( )
A．增函数的定义
B．函数y＝x3满足增函数的定义
C．若x1D．若x1>x2，则f(x1)>f(x2)
解析：选A 根据演绎推理的特点知，演绎推理是一种由一般到特殊的推理，所以函数y＝x3是增函数的大前提应是增函数的定义．
2．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是( )
A．an＝3n－2 B．an＝n2
C．an＝3n－1 D．an＝4n－3
解析：选B 求得a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.
3．在平面直角坐标系内，方程＋＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为( )
A.＋＋＝1 B.＋＋＝1
C.＋＋＝1 D．ax＋by＋cz＝1
解析：选A 类比到空间应选A.另外也可将点(a,0,0)代入验证．
4．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：选A 至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．
5．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译．针对他们懂的语言，正确的推理是( )
A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德
B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英
C．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德
D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英
解析：选A 分析题目和选项，由①知，丁不会说日语，排除B选项；由②知，没有人既会日语又会法语，排除D选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C选项，故选A.
6．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则＝( )
A．1 B．2
C．3 ??D．4
解析：选C 如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM＝，此时易知点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等积法有4××r＝××?r＝，故AO＝AM－MO＝－＝，故AO∶OM＝∶＝3.
7．观察下图，可推断出“x”处应该填的数字是________．
解析：由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，所以“x”处应填的数字是32＋52＋72＋102＝183.
答案：183
8.如图，圆环可以看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S＝π(R2－r2)＝(R－r)×2π×.所以圆环的面积等于以线段AB＝R－r为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×为长的矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：在平面直角坐标系xOy中，若将平面区域M＝{(x，y)|(x－d)2＋y2≤r2}(其中0解析：平面区域M的面积为πr2，由类比知识可知：平面区域M绕y轴旋转一周得到的旋转体的体积等于以半径为r的圆为底面，以圆心为O、半径为d的圆的周长2πd为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积V＝πr2×2πd＝2π2r2d.
答案：2π2r2d
9．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是 .
解析：分别观察正方体的个数为：1,1＋5,1＋5＋9，…
归纳可知，第n个叠放图形中共有n层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列，
所以Sn＝n＋[n(n－1)×4]÷2＝2n2－n，
所以S7＝2×72－7＝91.
答案：91
10．已知|x|≤1，|y|≤1，用分析法证明：|x＋y|≤|1＋xy|.
证明：要证|x＋y|≤|1＋xy|，
即证(x＋y)2≤(1＋xy)2，
即证x2＋y2≤1＋x2y2，
即证(x2－1)(1－y2)≤0，
因为|x|≤1，|y|≤1，
所以x2－1≤0,1－y2≥0，
所以(x2－1)(1－y2)≤0，不等式得证．
11．已知：sin230°＋sin290°＋sin2150°＝，
sin25°＋sin265°＋sin2125°＝.
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：__________________________＝，(*)
并给出(*)式的证明．
解：一般形式：
sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝.
证明如下：
左边＝(1－cos 2α)＋[1－cos(2α＋120°)]
＋[1－cos(2α＋240°)]
＝－[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)]
＝－[cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2αcos 240°－sin 2αsin 240°]
＝－cos 2α－cos 2α－sin 2α－cos 2α＋sin 2α＝＝右边．
∴原式得证．
12．设函数f(x)＝exln x＋，证明：f(x)>1.
证明：由题意知f(x)>1等价于xln x>xe－x－.
设函数g(x)＝xln x，则g′(x)＝1＋ln x.
所以当x∈时，g′(x)<0；
当x∈时，g′(x)>0.
故g(x)在上单调递减，在上单调递增，
从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g＝－.
设函数h(x)＝xe－x－，则h′(x)＝e－x(1－x)．
所以当x∈(0,1)时，h′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.
故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－.
综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.
