1．1 导数与函数的单调性
已知函数(1)y1＝2x－1，(2)y2＝－x＋10，(3)y3＝2x，(4)y4＝x，(5)y5＝log2x，(6)y6＝logx.
问题1：求上面六个函数的导数．
提示：(1)y1′＝2，(2)y2′＝－1，(3)y3′＝2xln 2，
(4)y4′＝xln ＝－2xln 2，
(5)y5′＝，(6)y6′＝＝－.
问题2：试判断所求导数的符号．
提示：(1)(3)(5)的导数为正，(2)(4)(6)的导数为负．
问题3：试判断上面六个函数的单调性．
提示：(1)(3)(5)在定义域上是增加的，(2)(4)(6)在定义域上是减少的．
问题4：试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系．
提示：当f′(x)>0时，f(x)为增加的，当f′(x)<0时，f(x)为减少的．
函数在区间(a，b)上的单调性与其导函数的符号有如下关系：
导函数的正负
函数在(a，b)上的单调性
f′(x)＞0
增加
f′(x)＜0
减少
f′(x)＝0
常数函数
(1)若在某个区间上有有限个(或无限个不连续)点使f′(x)＝0，而其余点恒有f′(x)>0(或f′(x)<0)，则f(x)仍为增加的(或减少的)，例如函数y＝x3，x∈R，则f′(x)＝3x2，尽管当x＝0时，f′(x)＝0，但该函数y＝x3在R上仍为增加的．
(2)在某一区间上f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数y＝f(x)在该区间上为增加(或减少)的充分不必要条件，而不是充要条件．
判断或证明函数的单调性
[例1] 证明函数f(x)＝在区间(0,2)上是增加的．
[思路点拨] 要证函数f(x)在(0,2)上为增加的，只要证f′(x)>0在(0,2)上恒成立即可．
[精解详析] 由于f(x)＝，
所以f′(x)＝＝，
由于0
故f′(x)＝>0，
即函数在区间(0,2)上是增加的．
[一点通] 利用导数判断或证明函数单调性的思路
1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增加的是( )
A．y＝sin x B．y＝x·ex
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
解析：选B (sin x)′＝cos x，
(x·ex)′＝ex＋x·ex＝(1＋x)·ex，
(x3－x)′＝3x2－1，(ln x－x)′＝－1，
当x∈(0，＋∞)时，只有(x·ex)′＝(1＋x)·ex>0.
2.证明函数f(x)＝x＋在(0,1]上是减少的．
证明：∵f′(x)＝1－＝，
又∵x∈(0,1]，∴x2－1≤0(只有x＝1时等号成立)，
∴f′(x)≤0，∴f(x)＝x＋在(0,1]上为减少的．
3．已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－，讨论函数f(x)的单调性．
解： 由题设知a≠0.f′(x)＝3ax2－6x＝3ax，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝.
当a>0时，若x∈(－∞，0)，则f′(x)>0.
∴f(x)在区间(－∞，0)上为增函数．
若x∈，则f′(x)<0，
∴f(x)在区间上为减函数．
若x∈，则f′(x)>0，
∴f(x)在区间上是增函数．
当a<0时，若x∈，则f′(x)<0.
∴f(x)在上是减函数．
若x∈，则f′(x)>0.
∴f(x)在区间上为增函数．
若x∈(0，＋∞)，则f′(x)<0.
∴f(x)在区间(0，＋∞)上为减函数.
求函数的单调区间
[例2] 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x2－ln x；
(2)f(x)＝－ax3＋x2＋1(a≤0)．
[精解详析] (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝2x－＝.
因为x>0，所以x＋1>0，由f′(x)>0，解得x>，所以函数f(x)的单调递增区间为；
由f′(x)<0，解得x<，又x∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为.
(2)①当a＝0时，f(x)＝x2＋1，
其单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．
②当a<0时，f′(x)＝－ax2＋2x，
f′(x)>0?(－ax＋2)x>0?x>0?x>0或x<；f′(x)<0?故f(x)的单调递增区间为和(0，＋∞)，单调递减区间为.
[一点通] 利用导数求函数f(x)的单调区间，实质上是转化为解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.但要特别注意的是，不能忽略函数的定义域，应首先求出函数的定义域，在定义域内解不等式．另外，如果函数的单调区间不止一个时，应用“及”“和”等连接，而不能写成并集的形式．
4．函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如右图，则函数f(x)的递增区间为________．
解析：当－1≤x≤0或x≥2时f′(x)≥0，可得递增区间为[－1,0]和[2，＋∞)．
答案：[－1,0]和[2，＋∞)
5．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为( )
A．(－1,1] B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：选B 函数y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′≤0，则可得06．求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝－x3＋3x2； (2)f(x)＝.
解：(1)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)．
当00，
所以函数f(x)的单调递增区间为(0,2)；
当x<0或x>2时，f′(x)<0，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．
(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
f′(x)＝＝.
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.
令f′(x)>0，解得x>3，
所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；
令f′(x)<0，解得x<3，又x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3).
已知函数单调性求参数范围
[例3] 若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
[精解详析] 法一：直接法
f′(x)＝x2－ax＋a－1，令f′(x)＝0得x＝1或x＝a－1.
当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)内单调递增，不合题意．
当a－1>1，即a>2时，f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上单调递增，在(1，a－1)上单调递减，
由题意知(1,4)?(1，a－1)且(6，＋∞)?(a－1，＋∞)，所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7.
故实数a的取值范围为[5,7]．
法二：数形结合法
f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．
∵在(1,4)内f′(x)≤0，
在(6，＋∞)内f′(x)≥0，
且f′(x)＝0有一根为1，
作出y＝f′(x)的示意图如图所示，
则f′(x)＝0的另一根在[4,6]上．
∴
即∴5≤a≤7.
故实数a的取值范围为[5,7]．
法三：转化为不等式的恒成立问题
f′(x)＝x2－ax＋a－1.
因为f(x)在(1,4)内单调递减，所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．
即a(x－1)≥x2－1在(1, 4)上恒成立，所以a≥x＋1，因为2所以a≤x＋1，因为x＋1>7，所以a≤7时，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．综上知5≤a≤7.
故实数a的取值范围为[5,7]．
[一点通]
1．利用导数法解决参数取值范围问题的两个基本思路
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
2．恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max.
(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
7．已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)内是减少的，则实数a的取值范围为________．
解析：f′(x)＝
＝，
由函数f(x)在(－2，＋∞)内是减少的知f′(x)≤0在(－2，＋∞)内恒成立，
即≤0在(－2，＋∞)内恒成立，
因此a≤.
又当a＝时，f(x)＝＝为常数函数，
所以不符合题意，所以a的取值范围是.
答案：
8．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，求实数a的函数取值范围．
解：函数f(x)的导数f′(x)＝3ax2＋6x－1.
由题设知f(x)在R上是减函数，
∴f′(x)≤0对x∈R恒成立，
即3ax2＋6x－1≤0在R上恒成立，
∴∴a≤－3.
当a＝－3时，f′(x)＝－9x2＋6x－1＝－(3x－1)2≤0，
有且仅有f′＝0，
故a的取值范围是(－∞，－3]．
(1)在利用导数来讨论函数的单调性时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内通过讨论导数的符号来确定函数的单调区间．
(2)已知函数的单调性求参数的范围，这类问题往往转化为不等式的恒成立问题，即f′(x)≥0或f′(x)≤0在给定区间恒成立，从中求出参数范围，但应注意能否取到等号需要单独验证．
1．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－∞，0) D．(0,2)
解析：选D f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)<0，得02．已知函数f(x)＝－x，则f(x)在(0，＋∞)上的单调性为( )
A．f(x)在(0，＋∞)上是增函数
B．f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数
C．f(x)在(0，＋∞)上是减函数
D．f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数
解析：选C 因为f′(x)＝－－1<0，所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数，选C.
3．若函数h(x)＝2x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是( )
A．[－2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2] D．(－∞，2]
解析：选A 根据条件得h′(x)＝2＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k∈[－2，＋∞)．
4．已知函数f(x)＝＋ln x，则有( )
A．f(2)C．f(3)解析：选A 因为在定义域(0，＋∞)上f′(x)＝＋>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以有f(2)5．函数f(x)＝x－2sin x在(0，π)上的单调递增区间为________．
解析：令f′(x)＝1－2cos x>0，则cos x<.
又x∈(0，π)，解得所以函数在(0，π)上的单调递增区间为.
答案：
6．函数f(x)＝x＋(b>0)的单调递减区间为________．
解析：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝′＝1－，
令f′(x)<0，则(x＋)(x－)<0，
∴－∴函数的单调递减区间为(－，0)和(0，)．
答案：(－，0)和(0，)
7．设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围．
解：f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－2＋＋2a，
当x∈时f′(x)的最大值为f′＝＋2a.
函数有单调递增区间，即在内，导函数大于零有解，令＋2a>0，得a>－.
所以当a∈时，f(x)在上存在单调递增区间．
8．设函数f(x)＝ln(x＋a)＋x2，若f′(－1)＝0，求a的值，并讨论f(x)的单调性．
解：f′(x)＝＋2x，
依题意，有f′(－1)＝0，故a＝.
从而f′(x)＝＝.
则f(x)的定义域为.
当－0；
当－1当x>－时，f′(x)>0.
从而f(x)分别在区间，上是增加的，在区间上是减少的．
1．2 函数的极值
极值点与极值
1．在你们学习小组10人中，李阳最高，张红最矮．
问题1：李阳最高说明了什么？
提示：李阳是这10人中最高的．
问题2：在你们班中，李阳一定还最高吗？
提示：不一定．
2．已知y＝f(x)，y＝g(x)的图像．
问题1：观察y＝f(x)的图像，在区间(a，b)内，函数值f(x0)有何特点？
提示：f(x0)在(a，b)内最大．
问题2：函数值f(x0)在定义域内还是最大吗？
提示：不一定．
问题3：对于f(x)在(a，x0)，(x0，b)上，其单调性与导函数的符号有何特点？
提示：f(x)在(a，x0)上增加，导数大于零，在(x0，b)上减少，导数小于零．
问题4：函数y＝g(x)在(a，b)上，结论如何？
提示：与y＝f(x)在(a，b)上结论相反．
1．函数极值的概念
(1)极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都不大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．
(2)极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都不小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．
(3)极值：极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．
2．函数的单调性与极值
(1)如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值．
(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值.
求函数极值点的步骤
求函数极值点的步骤
(1)求出导数f′(x)；
(2)解方程f′(x)＝0；
(3)对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点．
①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点．
②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点．
③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．
(1)按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b.
(2)极值是一个局部性概念，只要在一个小邻域内成立即可．
(3)极大值与极小值没有必然的大小关系，也不唯一．
(4)在区间上单调的函数没有极值．
求函数的极值
[例1] 求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；
(2)f(x)＝.
[思路点拨] 首先确定函数的定义域，然后求出函数的导数，利用函数极值的定义求出函数的极值点，进而求出极值．
[精解详析] (1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
增加?
极大值
减少?
极小值
增加?
因此，x＝－1是函数的极大值点，极大值为f(－1)＝10；x＝3是函数的极小值点，极小值为f(3)＝－22.
(2)函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝，
令f′(x)＝0，得x＝e.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(0，e)
e
(e，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
增加?
极大值
减少?
因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝，没有极小值点．
[一点通] 求函数极值的步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
1．设函数f(x)＝xex，则( )
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
解析：选D 求导得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ex(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点．
2.已知f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)的极大值是( )
A．－2a＋c
B．－4a＋c
C．－3a
D．c
解析：选B 由导函数f′(x)的图像知当00；当x>2时，f′(x)<0；当x＝2时，f′(x)＝0.又f′(x)＝3ax2＋2bx，所以b＝－3a，f(x)＝ax3－3ax2＋c，所以函数f(x)的极大值为f(2)＝－4a＋c，故选B.
3．求下列函数的极值：
(1)f(x)＝sin x－cos x＋x＋1(0(2)f(x)＝x2e－x.
解：(1)由f(x)＝sinx－cos x＋x＋1,0知f′(x)＝cos x＋sin x＋1＝1＋sin，0令f′(x)＝0，从而sin＝－，又0当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，π)
π
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
π＋2
?
?
因此，当x＝时，f(x)有极小值；当x＝π时，f(x)有极大值π＋2.
(2)f′(x)＝2xe－x－x2e－x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
0
?
?
所以f(x)的极小值是f(0)＝0，极大值是f(2)＝.
已知函数极值求参数的值
[例2] 已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.
(1)试求常数a，b，c的值；
(2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由．
[思路点拨] 利用x＝±1是f(x)的极值点，f(1)＝－1，联立方程，建立关于a，b，c的方程求解即可．
[精解详析] (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)，
∵x＝±1是函数的极值点．
∴x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根．
由根与系数的关系，得
又∵f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.
(2)由(1)得f(x)＝x3－x，
∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．
令f′(x)>0，得x<－1或x>1；
令f′(x)<0，得－1∴函数f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在区间(－1,1)上是减函数．
因此，x＝－1是函数的极大值点；x＝1是函数的极小值点．
[一点通] 已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3处取得极值，则a＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选D f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意得f′(－3)＝0，解得a＝5.
5．已知函数y＝3x－x3＋m的极大值为10，则m的值为________ .
解析：y′＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，令y′＝0得x1＝－1，x2＝1，经判断知x＝1是极大值点，
故f(1)＝2＋m＝10，m＝8.
答案：8
6．已知函数f(x)＝x3－x2＋ax－1.
(1)若函数的极大值点是－1，求a的值；
(2)若函数f(x)有一正一负两个极值点，求a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝x2－2x＋a，
由题意f′(－1)＝1＋2＋a＝0，
解得a＝－3，则f′(x)＝x2－2x－3，经验证可知，f(x)在x＝－1处取得极大值，故a＝－3.
(2)由题意，方程x2－2x＋a＝0有一正一负两个根，
设为x1，x2，则x1x2＝a<0，
故a的取值范围是(－∞，0).
与函数极值有关的综合问题
[例3] 设函数f(x)＝x3－3x＋1.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围．
[思路点拨] 第(1)问利用导数求单调区间和极值，第(2)问可由(1)的结论，把问题转化为函数y＝f(x)与y＝a的图像有3个不同的交点，利用数形结合的方法来求解．
[精解详析] (1)∵f′(x)＝3x2－3，
令f′(x)＝0，
解得x1＝－1，x2＝1，
∴当x<－1或x>1时，f′(x)>0，
当－1∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)；
f(x)的单调递减区间为(－1,1)．
当x＝－1时，f(x)有极大值3；
当x＝1时，f(x)有极小值－1.
(2)由(1)得函数y＝f(x)的图像大致形状如右图所示，
当－1直线y＝a与y＝f(x)的图像有三个不同交点，
即方程f(x)＝a有三个不同的实根时，a的取值范围为(－1,3)．
[一点通] 极值问题的综合应用主要是利用函数的单调性和极值确定函数图像的大致形状和位置．题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想、数形结合思想在解题中的应用，熟练掌握单调性问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．
7．函数f(x)＝x3－3x＋2的零点个数为________．
解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，可知f(x)在(－∞，－1)及(1，＋∞)上是增加的，在(－1,1)上是减少的，故f(x)的极大值为f(－1)＝4，极小值为f(1)＝0，其大致图像如图所示，零点个数为2.
答案：2
8．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋(3－6a)x＋12a－4(a∈R)．
(1)证明：曲线y＝f(x)在x＝0处的切线过点(2,2)；
(2)若f(x)在x＝x0处取得极小值，x0∈(1,3)，求a的取值范围．
解：(1)证明：f′(x)＝3x2＋6ax＋3－6a.
易知f(0)＝12a－4，f′(0)＝3－6a，
故曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为
y＝(3－6a)x＋12a－4，
令x＝2，得y＝2，
所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线过点(2,2)．
(2)由f′(x)＝0得x2＋2ax＋1－2a＝0.
①当Δ＝(2a)2－4(1－2a)≤0，即－－1≤a≤－1时，f(x)没有极小值．
②当Δ＝(2a)2－4(1－2a)>0，即a>－1或a<－－1时，由f′(x)＝0得x1＝－a－，x2＝－a＋，
显然x0＝x2，则由题设知1<－a＋<3.
当a>－1时，不等式1<－a＋<3无解；
当a<－－1时，解不等式1<－a＋<3，得－综合①②得a的取值范围是.
(1)对于可导函数来说，y＝f(x)在极值点处的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点．例如，函数y＝x3在x＝0处，f′(0)＝0，但x＝0不是函数的极值点．
(2)可导函数f(x)在x0取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧，f′(x)的符号不同．
(3)若函数y＝f(x)在(a，b)内有极值，则y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即单调函数没有极值．
1．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y＝x－ln(1＋x2)的极值情况是( )
A．有极小值 B．有极大值
C．既有极大值又有极小值 D．无极值
解析：选D ∵y′＝1－·(1＋x2)′＝1－＝≥0，∴函数y＝x－ln(1＋x2)无极值.
2．函数f(x)＝x2－ln x的极值点为( )
A．0,1，－1 B.
C．－ D.，－
解析：选B 由已知，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3x－＝，令f′(x)＝0，得x＝.当x>时，f′(x)>0；当03．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极值，则( )
A．0C．b>0 D．b<
解析：选A f′(x)＝3x2－3b.因f(x)在(0,1)内有极值，所以f′(x)＝0有解，∴x＝±，∴0<<1，∴04．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝xf′(x)的图像的一部分如图所示，则正确的是( )
A．f(x)的极大值为f()，极小值为f(－)
B．f(x)的极大值为f(－)，极小值为f()
C．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)
D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)
解析：选D 由题图可知，
当x∈(－∞，－3)时，xf′(x)>0，即f′(x)<0；
当x∈(－3,0)时，xf′(x)<0，即f′(x)>0；
当x∈(0,3)时，xf′(x)>0，即f′(x)>0；
当x∈(3，＋∞)时，xf′(x)<0，即f′(x)<0.
故函数f(x)在x＝－3处取得极小值，在x＝3处取得极大值．
5．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.
解析：f′(x)＝＝，由题意得f′(1)＝＝0，解得a＝3.经检验，a＝3符合题意．
答案：3
6．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图像经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中正确的是________．
①当x＝时函数取得极小值；
②f(x)有两个极值点；
③当x＝2时函数取得极小值；
④当x＝1时函数取得极大值．
解析：由图像可知，当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；
当x∈(1,2)时，f′(x)<0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.
∴f(x)有两个极值点1和2，且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时，函数取得极大值，故只有①不正确．
答案：②③④
7．求下列函数的极值．
(1)f(x)＝x3－x2－3x＋4；
(2)f(x)＝x3ex.
解：(1)∵f(x)＝x3－x2－3x＋4，
∴f′(x)＝x2－2x－3.
令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝－1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化，如表所示：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
∴x＝－1是f(x)的极大值点，x＝3是f(x)的极小值点．
∴f(x)极大值＝f(－1)＝，f(x)极小值＝f(3)＝－5.
(2)f′(x)＝3x2·ex＋x3·ex＝ex·x2(x＋3)，
由f′(x)＝0得x＝0或x＝－3.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化如表所示：
x
(－∞，－3)
－3
(－3,0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
＋
f(x)
?
极小值
?
无极值
?
由表可知x＝－3是f(x)的极小值点．
f(x)极小值＝f(－3)＝－27e－3，函数无极大值．
8．已知函数f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f(x)的极值．
解：∵f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，
∴f′(x)＝48x2－40ax＋8a2＝8(6x2－5ax＋a2)
＝8(2x－a)(3x－a)，
令f′(x)＝0，得x＝或x＝.
(1)当a>0时，<，则随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
∴当x＝时，函数取得极大值f＝；
当x＝时，函数取得极小值f＝0.
(2)当a<0时，<，则随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
∴当x＝时，函数取得极大值f＝0；
当x＝时，函数取得极小值f()＝.
综上所述，当a>0时，函数f(x)在x＝处取得极大值f＝，在x＝处取得极小值f＝0；
当a<0时，函数f(x)在x＝处取得极大值f＝0，在x＝处取得极小值f＝.
2．1 实际问题中导数的意义
导数在物理学中的应用
[例1] 物体作自由落体运动，其方程为s(t)＝gt2.(其中位移单位：m，时间单位：s，g＝9.8 m/s2)
(1)计算当t从2 s变到4 s时位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的意义；
(2)求当t＝2 s时的瞬时速度，并解释它的意义．
[思路点拨] (1)平均变化率为位移的变化量与相应的时间变化量的比值．(2)瞬时速度为时间变化量趋于0时的平均变化率，或由导数的意义得t＝2 s时的瞬时速度，即s(t)在t＝2时的导数值．
[精解详析] (1)当t从2 s变到4 s时，位移s从s(2)变到s(4)，此时，位移s关于时间t的平均变化率为
＝
＝9.8×3＝29.4(m/s)．
它表示物体从2 s到4 s这段时间平均每秒下落29.4 m.
(2)∵s′(t)＝gt，∴s′(2)＝2g＝19.6(m/s)．
它表示物体在t＝2 s时的速度为19.6 m/s.
[一点通] (1)函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)就是导函数在x0处的函数值；
(2)瞬时速度是运动物体的位移s(t)对于时间的导数，即v(t)＝s′(t)；
(3)瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间的导数，即a(t)＝v′(t)．
1．某一做直线运动的物体，其位移s(m)与时间t(s)的关系是s＝3t－t2，求s′(0)并解释它的实际意义．
解：∵s′＝3－2t，∴s′(0)＝3，它表示物体开始运动时的速度，即初速度是3 m/s.
2．线段AB长10米，在它的两个端点处各有一个光源，线段AB上的点P距光源A x米，已知点P受两个光源的总光照度I(x)＝＋，其单位为：勒克斯．
(1)当x从5变到8时，求点P处的总光照度关于点P与A的距离x的平均变化率，它代表什么实际意义？
(2)求I′(5)并解释它的实际意义．
解：(1)当x从5变到8时，点P处的总光照度I关于点P与A的距离x的平均变化率为
＝
＝＝0.005(勒克斯/米)，
它表示点P与光源A的距离从5米增加到8米的过程中，距离每增加1米，光照度平均增强0.005勒克斯．
(2)∵I(x)＝＋，
∴I′(x)＝8·(－2·x－3)＋
＝－＋.
∴I′(5)＝－＋
＝－＝－0.112(勒克斯/米)．
它表示点P与光源A距离5米时，点P受两光源总光照度减弱的速度为0.112勒克斯/米．
导数在日常生活中的应用
[例2] 东方机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7 000x＋600.
(1)求产量为1 000台的总利润与平均利润；
(2)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量；
(3)求c′(1 000)与c′(1 500)，并说明它们的实际意义．
[思路点拨] (1)平均利润指平均每台所得利润；
(2)总利润的平均改变量指c(x)的平均变化率；
(3)c′(x0)表示产量为x0台时，每多生产一台多获得的利润．
[精解详析] (1)产量为1 000台时的总利润为
c(1 000)＝－2×1 0002＋7 000×1 000＋600
＝5 000 600(元)，
平均利润为＝5 000.6(元)．
(2)当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量为
＝
＝2 000(元)．
(3)∵c′(x)＝(－2x2＋7 000x＋600)′＝－4x＋7 000，
∴c′(1 000)＝－4×1 000＋7 000＝3 000(元)．
c′(1 500)＝－4×1 500＋7 000＝1 000(元)．
c′(1 000)＝3 000表示当产量为1 000台时，每多生产一台机械可多获利3 000元．c′(1 500)＝1 000表示当产量为1 500台时，每多生产一台机械可多获利1 000元．
[一点通] 实际生活中的一些问题，如在生活和生产及科研中经常遇到的成本问题、用料问题、效率问题和利润等问题，在讨论其改变量时常用导数解决．
3．某企业每天的产品均能售出，售价为490元/吨，其每天成本C与每天产量q之间的函数为C(q)＝2 000＋450q＋0.02q2.
(1)写出收入函数；
(2)写出利润函数；
(3)求利润函数的导数，并说明其经济意义．
解：设收入函数为R(q)，利润函数为L(q)．
(1)收入函数为：R(q)＝490q.
(2)利润函数为：
L(q)＝R(q)－C(q)＝490q－(2 000＋450q＋0.02q2)
＝－2 000＋40q－0.02q2.
(3)利润函数的导数为：
L′(q)＝(－2 000＋40q－0.02q2)′＝40－0.04q.
利润函数的导数称为边际利润，其经济意义为：当产量达到q时，再增加单位产量后利润的改变量．
4．某考生在参加2014年高考数学科考试时，其解答完的题目数量y(单位：道)与所用时间x(单位：分钟)近似地满足函数关系y＝2.
(1)求x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平均变化率；
(2)求f′(64)，f′(100)，并解释它的实际意义．
解：(1)x从0分钟变化到36分钟，y关于x的平均变化率为：＝＝.
它表示该考生前36分钟平均每分钟解答完道题．
(2)∵f′(x)＝，∴f′(64)＝，f′(100)＝.
它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时每分钟可解答和道题．
1．要理解实际问题中导数的意义，首先要掌握导数的定义，然后再依据导数的定义解释它在实际问题中的意义．
2．实际问题中导数的意义
(1)功关于时间的导数是功率．
(2)降雨量关于时间的导数是降雨强度．
(3)生产成本关于产量的导数是边际成本．
(4)路程关于时间的导数是速度．
速度关于时间的导数是加速度．
1．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3 s末的瞬时速度是( )
A．7 m/s B．6 m/s
C．5 m/s D．8 m/s
解析：选C s′(t)＝2t－1，∴s′(3)＝2×3－1＝5.
2．某旅游者爬山的高度h(单位：m)关于时间t(单位：h)的函数关系式是h＝－100t2＋800t，则他在t＝2 h这一时刻的高度变化的速度是( )
A．500 m/h B．1 000 m/h
C．400 m/h D．1 200 m/h
解析：选C ∵h′＝－200t＋800，
∴当t＝2 h时，h′(2)＝－200×2＋800＝400(m/h)．
3．圆的面积S关于半径r的函数是S＝πr2，那么在r＝3时面积的变化率是( )
A．6 B．9
C．9π D．6π
解析：选D ∵S′＝2πr，∴S′(3)＝2π×3＝6π.
4．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s(t)＝－t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为( )
A．汽车刹车后1 s内的位移
B．汽车刹车后1 s内的平均速度
C．汽车刹车后1 s时的瞬时速度
D．汽车刹车后1 s时的位移
解析：选C 由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度．
5．正方形的周长y关于边长x的函数是y＝4x，则y′＝______，其实际意义是__________________________________．
答案：4 边长每增加1个单位长度，周长增加4个单位长度
6．某汽车的路程函数是s＝2t3－gt2(g＝10 m/s2)，则当t＝2 s时，汽车的加速度是________m/s2.
解析：v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，
∴a(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．
答案：14
7．某厂生产某种产品x件的总成本c(x)＝120＋＋(元)．
(1)当x从200变到220时，总成本c关于产量x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
(2)求c′(200)，并解释它代表什么实际意义．
解：(1)当x从200变到220时，总成本c从c(200)＝540元变到c(220)＝626元．
此时总成本c关于产量x的平均变化率为
＝＝4.3(元/件)，
它表示产量从x＝200件变化到x＝220件时，平均每件的成本为4.3元．
(2)c′(x)＝＋，于是c′(200)＝＋4＝4.1(元/件)．
它指的是当产量为200件时，每多生产一件产品，需增加4.1元成本．
8．江轮逆水上行300 km，水速为6 km/h，船相对于水的速度为x km/h，已知船航行时每小时的耗油量为0.01x2 L，即与船相对于水的速度的平方成正比．
(1)试写出江轮在此行程中耗油量y关于船相对于水的速度x的函数关系式：y＝f(x)；
(2)求f′(36)，并解释它的实际意义(船的实际速度＝船相对水的速度－水速)．
解：(1)船的实际速度为(x－6)km/h，
故全程用时 h，所以耗油量y关于x的函数关系式为y＝f(x)＝＝(x>6)．
(2)f′(x)＝3·＝，
f′(36)＝＝2.88，
f′(36)表示当船相对于水的速度为36 km/h时耗油量增加的速度为2.88 ，也就是说当船相对于水的速度为36 km/h时，船的航行速度每增加1 km/h，耗油量就要增加2.88 L.
2．2 最大值、最小值问题
1．问题：如何确定你班哪位同学最高？
提示：方法很多，可首先确定每个学习小组中最高的同学，再比较每组的最高的同学，便可确定班中最高的同学．
2．如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图像．
问题1：试说明y＝f(x)的极值．
提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．
问题2：你能说出y＝f(x)，x∈[a，b]的最值吗？
提示：函数的最小值是f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函数的最大值是f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的．
问题3：根据问题2回答函数y＝f(x)，x∈[a，b]的最值可能在哪些点取得．
提示：在极值点或端点中．
1．最值点
(1)最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)．
(2)最小值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不小于f(x0)．
2．最值
函数的最大值与最小值统称为最值．
(1)一般地，连续函数f(x)在[a，b]上有最大值与最小值．
(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大、最小值必须是整个区间上所有函数值中的最大、最小值．
(3)函数的极值可以有多个，但最大(小)值最多只能有一个．
求函数的最值
[例1] (1)求函数f(x)＝x3－x2－2x＋5在区间[－2,2]上的最大值与最小值；
(2)求函数f(x)＝x＋sin x在区间[0,2π]上的最大值与最小值．
[思路点拨] 先利用导数求极值，然后与端点处的函数值比较得最值．
[精解详析] (1)因为f(x)＝x3－x2－2x＋5，
所以f′(x)＝3x2－x－2.
令f′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝1.
因为f＝，f(1)＝，f(－2)＝－1，f(2)＝7，
所以函数f(x)在[－2,2]上的最大值是7，最小值是－1.
(2)因为f(x)＝x＋sin x，
所以f′(x)＝＋cos x，
令f′(x)＝0，解得x1＝，x2＝.
因为f(0)＝0，f＝＋，f＝－，f(2π)＝π，
所以函数f(x)在[0,2π]上的最大值是π，最小值是0.
[一点通] 求函数最值的4个步骤
[注意] 求函数最值时不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较．
1．函数f(x)＝x3－3x2＋6x－10在区间[－1,1]上的最大值为________．
解析：因为f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x－1)2＋3>0，
∴函数f(x)在区间[－1,1]上单调递增，
∴当x＝1时，函数f(x)取得最大值f(1)＝－6.
答案：－6
2．求函数f(x)＝sin 2x－x在上的最大值和最小值．
解：f′(x)＝2cos 2x－1.
令f′(x)＝0，x∈，
解得x＝－或x＝.
而f＝－，f＝－，
f＝，f＝－，
所以函数f(x)的最大值为，最小值为－.
3．已知函数f(x)＝＋ln x，求f(x)在上的最大值和最小值．
解：易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∵f(x)＝＋ln x＝－1＋ln x，
∴f′(x)＝－＋＝.
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x变化时，f′(x)与f(x)在上的变化情况如下表：
x
1
(1,2)
2
f′(x)
－
0
＋
f(x)
1－ln 2
?
0
?
－＋ln 2
∴在上，当x＝1时，f(x)取得极小值，也是最小值，且f(1)＝0.
又f＝1－ln 2，f(2)＝－＋ln 2，
∴f－f(2)＝－2ln 2＝×(3－4ln 2)＝ln >0，∴f>f(2)，
∴f(x)在上的最大值为f＝1－ln 2，最小值为f(1)＝0.
已知函数的最值求参数的值
[例2] 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，是否存在实数a，b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
[思路点拨] 利用导数求出f(x)的最值(用a，b表示)，列方程求a，b的值．
[精解详析] 显然a≠0，f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．
①当a>0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况见下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－7a＋b
?
最大值
?
－16a＋b
∴当x＝0时，f(x)取得最大值．∴b＝3.
又∵f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(－1)>f(2)，∴当x＝2时，f(x)取得最小值，即－16a＋3＝－29，即a＝2.
②当a<0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况见下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
－
0
＋
f(x)
－7a＋b
?
最小值
?
－16a＋b
∴当x＝0时，f(x)取得最小值．
∴b＝－29.
又∵f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，f(2)>f(－1)，∴当x＝2时，f(x)取得最大值，即－16a－29＝3，即a＝－2.
综上所述，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
[一点通] 由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而得出参数的值，这也是方程思想的应用．
4．如果函数f(x)＝x3－x2＋a在[－1,1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1,1]上的最小值是________．
解析：f′(x)＝3x2－3x＝3x(x－1)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1.
当－10，则f(x)为增函数；
当0∴当x＝0时，f(x)取得最大值为a，
∴a＝2，∴f(－1)＝－1－＋2＝－，
f(1)＝1－＋2＝.
∴在x∈[－1,1]上，f(x)的最小值为－.
答案：－
5．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值．
解：由题意知f′(x)＝4－＝.
又x>0，a>0，令f′(x)＝0，得x＝，
当0时，f′(x)>0.
故f(x)在上单调递减，在上单调递增，
即当x＝时，f(x)取得最小值，则＝3，解得a＝36.
6．设函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)＋ax(a>0)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为，求a的值．
解：函数f(x)的定义域为(0,2)，
f′(x)＝－＋a.
(1)当a＝1时，f′(x)＝，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)．
(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝＋a>0，
即f(x)在(0,1]上单调递增．
故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.
生活中的优化问题
[例3] 某种商品每件的成本为9元，当售价为30元时，每星期可卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期可多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
[精解详析] (1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期里的获利为f(x)，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)，
又由已知条件，24＝k×22，于是有k＝6.
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21]．
(2)根据(1)，f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．
令f′(x)＝0，即－18(x－2)(x－12)＝0，得x1＝2，x2＝12.
当x变化时，f′(x)，f(x)如下表：
x
0
(0,2)
2
(2,12)
12
(12,21)
21
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
9 072
?
极小值
?
极大值
?
0
因为f(0)＝9 072即当定价为30－12＝18(元)时，能使一个星期的商品销售利润最大．
[一点通] 利用导数解决优化问题的一般步骤如下：
(1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式y＝f(x)．
(2)求函数f(x)的导数f′(x)，并解方程f′(x)＝0，即求函数可能的极值点．
(3)比较函数f(x)在区间端点的函数值和可能极值点的函数值的大小，得出函数f(x)的最大值或最小值．
(4)根据实际问题的意义给出答案．
7．做一个容积为256 dm3的方底无盖水箱，它的高为________dm时最省材料．
解析：设水箱底面边长为x dm，则高为 dm，用料总面积S＝x2＋4··x＝x2＋，
S′＝2x－，令S′＝0得x＝8，
当0＜x＜8时，S′＜0，当x＞8时，S′＞0，
∴当x＝8时，S取得最小值，则高为4 dm.
答案：4
8．已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水航行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为v千米/时(8＜v≤v0)．若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当v＝12(千米/时)时，船每小时航行所需的燃料费为720元．为了使全程燃料费最省，船的实际航行速度应为多少？
解：设船每小时航行所需的燃料费为y1元，比例系数为k(k＞0)，则y1＝kv2.
∵当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5.
设全程燃料费为y元，
由题意，得y＝y1·＝，
∴y′＝＝.
令y′＝0，解得v＝0(舍去)或v＝16.
∴当v0≥16时，v∈(8,16)，y′＜0，即y为减函数；
v∈(16，v0]，y′＞0，即y为增函数，
故v＝16(千米/时)时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省；
当v0＜16时，v∈(8，v0]，y′＜0，即y在(8，v0]上为减函数，
故当v＝v0时，ymin＝，此时全程燃料费最省．
综上可得，若v0≥16，则当v＝16(千米/时)时，全程燃料费最省，为32 000元；若v0＜16，则当v＝v0时，全程燃料费最省，为元．
1．函数的最大值与最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值．
例如：函数f(x)＝在(0，＋∞)上连续，但没有最大值与最小值．
2．解决优化问题的基本思路
1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)( )
A．等于0 B．大于0
C．小于0 D．以上都有可能
答案：A
2．函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间[0,2]上的最大值是3，则a的值为( )
A．2 B．1
C．－2 D．－1
解析：选B f′(x)＝3x2－2x－1，
令f′(x)＝0，解得x＝－(舍去)或x＝1，
又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，则f(2)最大，即a＋2＝3，所以a＝1.
3．函数f(x)＝ex(sin x＋cos x)在区间上的值域为( )
A. B.
C．[1，e] D．(1，e)
解析：选A f′(x)＝ex(sin x＋cos x)＋ex(cos x－sin x)＝excos x，
当0≤x≤时，f′(x)≥0，
∴f(x)在上是增函数．
∴f(x)的最大值为f＝e，
f(x)的最小值为f(0)＝.
4.如图，将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k，k>0)．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为( )
A. B.
C.d D.d
解析：选C 设断面高为h，则h2＝d2－x2.设横梁的强度函数为f(x)，则f(x)＝k·xh2＝k·x(d2－x2)，00，f(x)单调递增；当d5．设x0是函数f(x)＝(ex＋e－x)的最小值点，则曲线上点(x0，f(x0))处的切线方程是________．
解析：f′(x)＝(ex－e－x)，令f′(x)＝0，∴x＝0，
可知x0＝0为最小值点．切点为(0,1)，f′(0)＝0为切线斜率，∴切线方程为y＝1.
答案：y＝1
6．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________.
解析：∵f′(x)＝3x2－3，
∴当x＞1或x＜－1时，f′(x)＞0；
当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.
∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增．
∴f(x)min＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n.
又∵f(0)＝－a，f(3)＝18－a，∴f(0)＜f(3)．
∴f(x)max＝f(3)＝18－a＝m，
∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20.
答案：20
7．已知k为实数，f(x)＝(x2－4)(x＋k)．
(1)求导函数f′(x)；
(2)若x＝－1是函数f(x)的极值点，求f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值．
解：(1)∵f(x)＝x3＋kx2－4x－4k，
∴f′(x)＝3x2＋2kx－4.
(2)由f′(－1)＝0，得k＝－.
∴f(x)＝x3－x2－4x＋2，f′(x)＝3x2－x－4.
由f′(x)＝0，得x＝－1或x＝.
又f(－2)＝0，f(－1)＝，f＝－，f(2)＝0，
∴f(x)在区间[－2,2]上的最大值为，最小值为－.
8．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．
(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问：x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问：x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．
由已知得
a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.
(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．
由V′＝0得x＝0(舍去)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.
第三章 导数应用
章末小结
一、导数与函数的单调性
1．若f′(x)>0，则f(x)是增加的；若f′(x)<0，则f(x)是减少的；若f′(x)＝0恒成立，则f(x)为常数函数；若f′(x)的符号不确定，则f(x)不是单调函数．
2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增加的，则f′(x)≥0；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是减少的，则f′(x)≤0.
3．利用导数求函数单调区间的步骤：
(1)求导数f′(x)；
(2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；
(3)写出单调增区间或减区间．
特别注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．
二、导数与函数的极值和最值
1．极值
当函数f(x)在x0处连续可导时，如果x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；若左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
2．利用导数求函数极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)解方程f′(x)＝0的根；
(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．
若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；
若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；
否则，此根不是f(x)的极值点．
3．最值
对于函数y＝f(x)，给定区间[a，b]，若对任意x∈[a，b]，存在x0∈[a，b]，使得f(x0)≥f(x)(f(x0)≤f(x))，则f(x0)为函数在区间[a，b]上的最大(小)值．
4．利用导数求函数最值的一般步骤
(1)求f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
5．函数最值与极值的区别与联系
(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个区间而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念．
(2)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．
(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值．
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．曲线y＝x2－2x在点处的切线的倾斜角为( )
A．－135° B．45°
C．－45° D．135°
解析：选D ∵y′＝x－2，∴处的切线斜率为－1，倾斜角为135°.
2．下列求导运算正确的是( )
A．(cos x)′＝sin x B．(ln 2x)′＝
C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2ex)′＝2xex
解析：选B (cos x)′＝－sin x，(3x)′＝3xln 3，(x2ex)′＝2xex＋x2ex.
3．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)( )
A．在(－∞，0)上为减少的 B．在x＝0处取极小值
C．在(4，＋∞)上为减少的 D．在x＝2处取极大值
解析：选C 在(－∞，0)上，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，0)上为增函数，A错；在x＝0处，导数由正变负，f(x)由增变减，故在x＝0处取极大值，B错；在(4，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)为减函数，C对；在x＝2处取极小值，D错．
4．函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间是( )
A.
B.
C. ，
D.，
解析：选A ∵f′(x)＝2x－＝，当0＜x≤时，f′(x)≤0，故f(x)的单调递减区间为.
5．函数f(x)＝x＋2cos x在上取最大值时的x值为( )
A．0 B.
C. D.
解析：选B 由f′(x)＝1－2·sin x＝0，得sin x＝，
又x∈，所以x＝，当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0，故x＝时取得最大值．
6．函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是( )
A．a>0 B．a≥0
C．a<0 D．a≤0
解析：选C f′(x)＝3ax2＋1，由题意得f′(x)＝0有实数根，即a＝－(x≠0)，所以a<0.
7．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( )
A．[0,1) B．(0,1)
C．(－1,1) D.
解析：选B f′(x)＝3x2－3a，由于f(x)在(0,1)内有最小值，故a>0，且f′(x)＝0的解为x1＝，x2＝－，则∈(0,1)，∴08．曲线f(x)＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是( )
A．1 B．2
C. D．3
解析：选C 直线2x－y＋3＝0的斜率为2，f′(x)＝，令＝2，解得x＝1，
由于f(1)＝ln(2－1)＝0，
故曲线f(x)过(1,0)的切线斜率为2，则点(1,0)到直线2x－y＋3＝0的距离d＝＝，
即曲线f(x)＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是，故选C.
9．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋x3，且产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为( )
A．15件 B．20件
C．25件 D．30件
解析：选C 设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知k＝250 000，
则a2x＝250 000，所以a＝.
总利润y＝500－x3－1 200(x>0)，
y′＝－x2，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时，y′>0，x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，y取最大值．
10．若函数f(x)＝x2＋ax＋在上是增函数，则实数a的取值范围是( )
A．[－1,0] B.
C. D．[9，＋∞)
解析：选C ∵f(x)＝x2＋ax＋在上是增函数，
∴f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，
∵f′(x)＝2x＋a－在上递增，
∴f′＝－9＋a≥0，∴a≥.故选C.
11．已知a∈R，函数f(x)＝x3－ax2＋ax＋2的导函数f′(x)在(－∞，1)上有最小值，若函数g(x)＝，则( )
A．g(x)在(1，＋∞)上有最大值
B．g(x)在(1，＋∞)上有最小值
C．g(x)在(1，＋∞)上为减函数
D．g(x)在(1，＋∞)上为增函数
解析：选D 函数f(x)＝x3－ax2＋ax＋2的导函数f′(x)＝x2－2ax＋a，f′(x)图像的对称轴为x＝a，又导函数f′(x)在(－∞，1)上有最小值，所以a<1.函数g(x)＝＝x＋－2a，g′(x)＝1－＝，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，所以g(x)在(1，＋∞)上为增函数．故选D.
12．设函数f′(x)是函数f(x)(x∈R)的导函数，若f(x)－f(－x)＝2x3，且当x>0时，f′(x)>3x2，则不等式f(x)－f(x－1)>3x2－3x＋1的解集为( )
A．(－∞，2) B.
C. D．(2，＋∞)
解析：选B 令F(x)＝f(x)－x3，则F′(x)＝f′(x)－3x2，
由f(x)－f(－x)＝2x3，可得F(－x)＝F(x)，
故F(x)为偶函数，
又当x>0时，f′(x)>3x2，即F′(x)>0，
∴F(x)在(0，＋∞)上为增函数．
不等式f(x)－f(x－1)>3x2－3x＋1可化为f(x)－x3>f(x－1)－(x－1)3，∴F(x)>F(x－1)，
∴F(|x|)>F(|x－1|)，
∴由函数的单调性可知|x|>|x－1|，解得x>.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)
13．函数y＝2x3－6x2＋11的单调递减区间为________．
解析：y′＝6x2－12x，令6x2－12x<0，得0答案：(0,2)
14．已知函数f(x)＝x－sin x，x∈(0，π)，则f(x)的最小值为________．
解析：令f′(x)＝－cos x＝0，得x＝.
当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0，f(x)在x＝处取得极小值．又f(x)在(0，π)上只有一个极值点，易知f＝×－＝即为f(x)的最小值．
答案：
15．已知函数f(x)＝xex＋c有两个零点，则c的取值范围是________．
解析：∵f′(x)＝ex(x＋1)，∴易知f(x)在(－∞，－1)上是减少的，在(－1，＋∞)上是增加的，且f(x)min＝f(－1)＝c－e－1，由题意得c－e－1<0，得c答案：(－∞，e－1)
16．已知函数f(x)＝2ln x＋(a>0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：f(x)≥2即a≥2x2－2x2ln x.
令g(x)＝2x2－2x2ln x，
则g′(x)＝2x(1－2ln x)．
由g′(x)＝0得x＝e，0(舍去)，
且00；
当x>e时g′(x)<0，
∴x＝e时g(x)取最大值g(e)＝e，∴a≥e.
答案：[e，＋∞)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝ln x－ex＋m在x＝1处有极值，求m的值及f(x)的单调区间．
解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－ex＋m，
由题意f′(1)＝0，解得m＝－1，
∴f′(x)＝－ex－1，
利用基本函数单调性可知，在(0，＋∞)上f′(x)是减少的，且f′(1)＝0，
所以当00，f(x)是增加的，
当x>1时，f′(x)<0，f(x)是减少的．
∴f(x)的单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1，＋∞)．
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c.
(1)若f(x)有极值，求b的取值范围；
(2)若f(x)在x＝1处取得极值，且当x∈[－1,2]时，
f(x)解：(1)f′(x)＝3x2－x＋b，
则方程f′(x)＝0有两个不相等的实根，
由Δ>0得1－12b>0即b<.
所以b的取值范围是.
(2)∵f(x)在x＝1处取得极值，∴f′(1)＝0，
∴3－1＋b＝0，得b＝－2.
则f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)．
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝1，
又f(－1)＝＋c，f＝＋c，
f(1)＝－＋c，f(2)＝2＋c.
∴f(x)max＝2＋c解得c>2或c<－1.
∴c的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间．
解：(1)因为f(x)＝xea－x＋bx，
所以f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.
依题设有即
解得
(2)由(1)知f(x)＝xe2－x＋ex.
由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x>0知，
f′(x)与1－x＋ex－1同号．
令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.
所以当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，
g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，
g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，
从而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)．
综上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，
故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
20．(本小题满分12分)已知某厂生产x件产品的成本C＝25 000＋200x＋x2(单位：元)．
(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？
(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，则应生产多少产品？
解：(1)设平均成本为y元，则y＝＝＋200＋，y′＝′＝－＋，令y′＝0，得x1＝1 000，x2＝－1 000(舍去)．当在x＝1 000附近左侧时y′<0，当在x＝1 000附近右侧时y′>0，故当x＝1 000时，函数取得极小值，由于函数只有一个点使y′＝0，且函数在该点有极小值，故函数在该点取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1 000件产品．
(2)利润函数L＝500x－＝300x－25 000－.L′＝′＝300－，令L′＝0，解得x＝6 000.当在x＝6 000附近左侧时L′>0，当在x＝6 000附近右侧时L′<0，故当x＝6 000时，函数取得极大值，由于函数只有一个使L′＝0的点，且函数在该点有极大值，故函数在该点取得最大值．因此，要使利润最大，应生产6 000件产品．
21．(本小题满分12分)若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝k有3个不同的根，求实数k的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3ax2－b，由题意，得，
即解得
∴f(x)＝x3－4x＋4.
(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
?
－
?
因此，当x＝－2时，f(x)有极大值，当x＝2时，f(x)有极小值－，所以函数f(x)＝x3－4x＋4的图像大致如图所示．
若f(x)＝k有3个不同的根，则直线y＝k与函数f(x)的图像有3个交点，∴－∴实数k的取值范围为.
22．(本小题满分12分)设函数f(x)＝aex＋＋b(a＞0)．
(1)求f(x)在[0，＋∞)内的最小值；
(2)设曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝x，求a，b的值．
解：(1)f′(x)＝aex－，
当f′(x)＞0，即x＞－ln a时，f(x)在(－ln a，＋∞)上递增；
当f′(x)＜0，即x＜－ln a时，f(x)在(－∞，－ln a)上递减．
①当0＜a＜1时，－ln a＞0，f(x)在(0，－ln a)上递减，在(－ln a，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(－ln a)＝2＋b；
②当a≥1时，－ln a≤0，f(x)在[0，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(0)＝a＋＋b.
(2)依题意f′(2)＝ae2－＝，解得ae2＝2或ae2＝－(舍去)．
所以a＝，代入原函数可得2＋＋b＝3，即b＝.
故a＝，b＝.
