1定积分的概念
如图，阴影部分是由抛物线f(x)＝x2，直线x＝1以及x轴所围成的平面图形．
问题1：通常称这样的平面图形为什么？
提示：曲边梯形．
问题2：如何求出所给平面图形的面积近似值？
提示：把平面图形分成多个小曲边梯形，求这些小曲边梯形的面积和．
问题3：你能求出近似值吗？
提示：能．不妨将区间[0,1]五等分，如图所示．
求出图甲或图乙所有阴影小矩形的面积和S1或S2，即为曲边梯形面积S的近似值．
问题4：如何更精确地求出阴影部分的面积S?
提示：分割的曲边梯形数目越多，所求得面积越精确．
1．定积分的概念
给定一个在区间[a，b]上的函数y＝f(x)，将[a，b]区间分成n份，分点为：a＝x0
2．定积分的几何意义
(1)当f(x)≥0时，f(x)dx表示的是x＝a与x＝b，y＝0和y＝f(x)所围成曲边梯形的面积．
(2)当f(x)(f(x)≥0)表示速度关于时间x的函数时，f(x)dx表示的是运动物体从x＝a到x＝b时所经过的路程．
3．定积分的性质
(1)1dx＝b－a；
(2)kf(x)dx＝kf(x)dx；
(3)[f(x)±g(x)]dx＝f(x)dx±g(x)dx；
(4)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx.
1．由定义可得定积分f(x)dx是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即f(x)dx＝f(t)dt＝f(u)du.
2．性质3对于有限个函数(两个以上)也成立．性质4对于把区间[a，b]分成有限个(两个以上)区间也成立．
3．利用定积分求曲边梯形的面积的实质是“化整为零、积零为整”的过程．
过剩估计值和不足估计值的应用
[例1] 一辆汽车在直线形公路上变速行驶，汽车在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋5(单位：km/h)．试估计这辆汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程．
[思路点拨] 将变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题，通过求矩形面积问题即可解决．
[精解详析] 将区间[0,2]10等分，如图：
S＝(－02＋5－0.22＋5－…－1.82＋5)×0.2＝7.72，
s＝(－0.22＋5－0.42＋5－…－1.82＋5－22＋5)×0.2＝6.92，
∴估计该车在这段时间内行驶的路程介于6.92 km与7.72 km之间．
[一点通] 解决这类问题，是通过分割自变量的区间求得过剩估计值和不足估计值，分割得越细，估计值就越接近精确值；当分割成的小区间的长度趋于0时，过剩估计值和不足估计值都趋于要求的值．
1．把区间[0,1]n等分，所得n个小区间，每个小区间的长度为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 区间[0,1]的长度为1，被n等分，所以每个小区间的长度为.
2．求由直线x＝1，x＝2和y＝0及曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积的估计值，并写出估计误差．
解：将区间[1,2]5等分，分别以每个小区间的左、右端点的纵坐标为小矩形的高，得此平面图形面积的不足估计值s和过剩估计值S.
s＝×0.2＝1.02，
S＝
×0.2＝1.32，
估计误差不会超过S－s＝1.32－1.02＝0.3.
利用定积分的几何意义求定积分
[例2] 用定积分的几何意义求下列各式的值：
(1) dx；
(2) (1＋sin x)dx.
[思路点拨] 定积分f(x)dx的几何意义是：介于x＝a，x＝b之间，x轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和，其中x轴上方部分的面积为正，x轴下方部分的面积为负．
[精解详析] (1)
由y＝可知x2＋y2＝4(y≥0)，其图像如图．
dx等于圆心角为的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和．
S弓形＝××22－×2×2sin＝－，
S矩形＝AB·BC＝2，
∴dx＝2＋－＝＋.
(2)函数y＝1＋sin x的图像如图所示，
(1＋sin x)dx表示阴影部分的面积，
由图像的对称性可知：
(1＋sin x)dx＝S矩形ABCD＝2π.
[一点通] 利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图像，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．
3．据定积分的几何意义比较大小，并用“>”“<”或“＝”号连接下列各式：
(1) xdx________x2dx；
(2) xdx________xdx.
解析：(1)如图：xdx表示△OAP的面积，x2dx表示阴影部分的面积，显然xdx>x2dx.
(2)如图：xdx表示△OAB的面积，xdx表示梯形ABDC的面积，故xdx<xdx.
答案：(1)> (2)<
4.利用定积分的几何意义，说明下列等式．
(1) 2xdx＝1；(2)dx＝.
解：(1)如图1，2xdx表示由曲线y＝2x，直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的图形(直角三角形)的面积，由S△＝×2×1＝1，故2xdx＝1.
(2)如图2，dx表示圆x2＋y2＝1在第一象限部分的面积．
由S圆＝π，得dx＝.
利用定积分的性质求定积分
[例3] 求解以下各题：
(1)若 [f(x)＋g(x)]dx＝3， [f(x)－g(x)]dx＝－5，则f(x)dx＝________.
(2)若2f(x)dx＝5，则 [2－f(x)]dx＝____________.
[思路点拨] 涉及定积分的线性运算时，可考虑用定积分的性质进行求解．
[精解详析] (1)依题意知
f(x)dx＋g(x)dx＝3，
f(x)dx－g(x)dx＝－5，
两式相加，得2f(x)dx＝－2，
故f(x)dx＝－1.
(2)∵2f(x)dx＝2f(x)dx＝5，
∴f(x)dx＝.
于是 [2－f(x)]dx＝
＝＝b－a－.
[答案] (1)－1 (2)b－a－
[一点通] 利用定积分的性质可将被积函数较复杂的定积分化为简单函数的定积分，将未知的定积分转化为已知的定积分；对于分段函数类型的定积分，可以利用定积分的性质分解求值．
5．若f(x)dx＝3，g(x)dx＝2，则 [f(x)＋g(x)]dx＝________.
解析： [f(x)＋g(x)]dx＝f(x)dx＋g(x)dx＝3＋2＝5.
答案：5
6．设f(x)＝求f(x)dx.
解：∵f(x)＝
∴f(x)dx＝ (x＋1)dx＋ (－2x＋4)dx.
又由定积分的几何意义得
(x＋1)dx＝(1＋2)×1＝，
(－2x＋4)dx＝×1×2＝1，
∴f(x)dx＝＋1＝.
(1)定积分f(x)dx与积分区间[a，b]息息相关，不同的积分区间，所得值也不同．
(2)利用几何意义求定积分的关键在于分清楚被积函数f(x)所表示的图形以及积分上、下限．
1．下列等式不成立的是( )
A. [mf(x)＋ng(x)]dx＝mf(x)dx＋ng(x)dx
B. [f(x)＋1]dx＝f(x)dx＋b－a
C. f(x)g(x)dx＝f(x)dx·g(x)dx
D. sin xdx＝sin xdx＋sin xdx
解析：选C 由定积分的性质知选项A，B，D正确，故选C.
2．定积分(－3)dx＝( )
A．－6 B．6
C．－3 D．3
解析：选A 3dx表示图中阴影部分的面积S＝3×2＝6，(－3)dx＝－3dx＝－6.
3．求由曲线y＝ex，直线x＝2，y＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分上限和积分下限分别为( )
A．e2,0 B．2,0
C．2,1 D．1,0
解析：选B 解方程组
可得
所以积分上限为2，积分下限为0.
4．对于由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，把区间3等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 将区间[0,1]三等分为，，，
各小矩形的面积和为
s1＝03·＋3·＋3·＝＝.
5．已知f(x)dx＝6，则6f(x)dx＝________.
解析：6f(x)dx＝6f(x)dx＝36.
答案：36
6．计算dx＝________.
解析：由定积分的几何意义知，所求积分是图中阴影部分的面积．易知AB＝，∠AOB＝，故S阴＝×4π－×1×＝－.
答案：－
7．已知x3dx＝，x3dx＝，x2dx＝，x2dx＝，
求：(1) 3x3dx；(2) 6x2dx；(3) (3x2－2x3)dx.
解：(1) 3x3dx＝3x3dx
＝3
＝3＝12.
(2) 6x2dx＝6x2dx＝6
＝6＝126.
(3) (3x2－2x3)dx＝3x2dx－2x3dx
＝3×－2×＝－.
8．已知f(x)＝求f(x)在区间[0,5]上的定积分．
解：由定积分的几何意义知
xdx＝×2×2＝2，
(4－x)dx＝×(1＋2)×1＝，
dx＝×2×1＝1，
∴f(x)dx＝xdx＋ (4－x)dx＋dx＝2＋＋1＝.
2微积分基本定理
已知函数f(x)＝x，F(x)＝x2.
问题1：f(x) 和F(x)有何关系？
提示：F′(x)＝f(x)．
问题2：利用定积分的几何意义求xdx的值．
提示：xdx＝.
问题3：求F(2)－F(1)的值．
提示：F(2)－F(1)＝×22－×12＝.
问题4：你得出什么结论？
提示：f(x)dx＝F(2)－F(1)，且F′(x)＝f(x)．
问题5：由f(x)dx与F(2)－F(1)之间的关系，你认为导数与定积分之间有什么联系？
提示：f(x)dx＝F(b)－F(a)，其中F′(x)＝f(x)．
微积分基本定理
如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则有
定理中的式子称为牛顿—莱布尼茨公式，通常称F(x)是f(x)的一个原函数．
在计算定积分时，常常用记号F(x) 来表示F(b)－F(a)，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作
f(x)dx＝F(x) ＝F(b)－F(a)．
微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以代入公式求出定积分．
求简单函数的定积分
[例1] 计算下列各定积分：
(1) (2x＋3)dx；
(2) (cos x＋ex)dx；
(3) dx.
[思路点拨] 先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解．
[精解详析] (1)∵(x2＋3x)′＝2x＋3，
∴ (2x＋3)dx＝(x2＋3x) ＝1＋3＝4.
(2)∵(sin x＋ex)′＝cos x＋ex，
∴ (cos x＋ex)dx
＝(sin x＋ex) ＝1－e－π.
(3)∵′＝2x－，
∴ dx＝＝7＋＝.
[一点通] 应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F(x)的导函数F′(x)＝f(x)为止(一般情况下忽略常数)，然后再利用微积分基本定理求出结果．
1. dx＝________.
解析：dx＝ln e－ln 1＝1.
答案：1
2．求下列函数的定积分：
(1) (x2＋2x＋3)dx；
(2) (sin x－cos x)dx；
(3) dx.
解：(1)(x2＋2x＋3)dx
＝x2dx＋2xdx＋3dx
＝＋x2＋3x＝.
(2) (sin x－cos x)dx
＝sin xdx－cos xdx
＝(－cos x) －sin x＝2.
(3) dx＝xdx＋dx
＝x2＋ln x＝×22－×12＋ln 2－ln 1
＝＋ln 2.
3．求下列定积分：
(1) sin2dx；(2)(2－x2)·(3－x)dx.
解：(1)sin2＝，
而′＝－cos x，
∴sin2dx＝dx
＝
＝－＝.
(2)原式＝ (6－2x－3x2＋x3)dx
＝
＝－
＝－.
求分段函数的定积分
[例2] 已知函数f(x)＝先画出函数图像，再求这个函数在[0,4]上的定积分．
[思路点拨] 按f(x)的分段标准，分成，，[2,4]三段积分求和．
[精解详析] 图像如图．
f(x)dx＝sin xdx＋1dx＋ (x－1)dx
＝(－cos x) ＋x＋
＝1＋＋(4－0)＝7－.
[一点通] (1)分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成n段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．
(2)带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．
4．设f(x)＝则f(x)dx＝( )
A. B.
C. D．不存在
解析：选C f(x)dx＝x2dx＋ (2－x)dx，
取F1(x)＝x3，F2(x)＝2x－x2，
则F1′(x)＝x2，F2′(x)＝2－x，
所以f(x)dx＝F1(1)－F1(0)＋F2(2)－F2(1)＝－0＋2×2－×22－＝.
5．已知F(x)＝求定积分F(x)dx.
解：F(x)dx＝ (sin x－1)dx＋x2dx
＝(－cos x－x) ＋x3
＝cos 1－.
含参数的函数的定积分
[例3] 已知函数f(x)＝ (at2＋bt＋1)dt为奇函数，且f(1)－f(－1)＝，试求a，b的值．
[精解详析] f(x)＝ (at2＋bt＋1)dt
＝＝x3＋x2＋x.
∵f(x)为奇函数，
∴＝0，即b＝0.
又∵f(1)－f(－1)＝，∴＋1＋＋1＝.
∴a＝－.
[一点通]
(1)当被积函数中含有参数时，必须分清参数和自变量，再进行计算，以免求错原函数．另外，需注意积分下限不大于积分上限．
(2)当积分的上(下)限含变量x时，定积分为x的函数，可以通过定积分构造新的函数，进而可研究这一函数的性质，解题过程中注意体会转化思想的应用．
6．若 (k－2x)dx＝2 018，则k＝________.
解析： (k－2x)dx＝(kx－x2) ＝k－1＝2 018，
∴k＝2 019.
答案：2 019
7．已知函数f(a)＝sin xdx，则f＝________.
解析：∵f(a)＝sin xdx＝－cos x＝－cos a＋1，
∴f＝1.
答案：1
8．已知f(x)是一次函数，其图像过点(3,4)，且f(x)dx＝1，求f(x)的解析式．
解：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则4＝3a＋b，
又f(x)dx＝(ax＋b)dx＝＝＋b＝1，
所以a＝，b＝，
即f(x)＝x＋.
求定积分的一些常用技巧：
(1)对被积函数，要先化简，再求积分．
(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质，分段积分再求和．
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号后才能积分．
1．下列积分值等于1的是( )
A. xdx B. (x＋1)dx
C. 1dx D. dx
解析：选C 1dx＝x＝1.
2.(ex＋2x)dx＝( )
A．1 B．e－1
C．e D．e＋1
解析：选C (ex＋2x)dx＝(ex＋x2) ＝(e1＋1)－e0＝e.
3. |x2－4|dx＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C |x2－4|dx＝ (4－x2)dx＋ (x2－4)dx＝＋＝，故选C.
4．函数F(x)＝t(t－4)dt在[－1,5]上( )
A．有最大值0，无最小值
B．有最大值0和最小值－
C．有最小值－，无最大值
D．既无最大值也无最小值
解析：选B F(x)＝ (t2－4t)dt＝＝x3－2x2(－1≤x≤5)．F′(x)＝x2－4x，由F′(x)＝0，得x＝0或4，列表如下：
x
(－1,0)
0
(0,4)
4
(4,5)
F′(x)
＋
0
－
0
＋
F(x)
?
极大值
?
极小值
?
可见极大值F(0)＝0，极小值F(4)＝－.又F(－1)＝－，F(5)＝－，所以最大值为0，最小值为－.
5．若x2dx＝18(a>0)，则a＝________.
解析：x2dx＝＝－＝18?a＝3.
答案：3
6．设f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝________.
解析：显然f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝0＋3t2dt＝t3＝1，得a＝1.
答案：1
7．求下列定积分：
(1) dx；
(2) sindx.
解：(1) dx
＝ (2x＋＋1)dx
＝2xdx＋dx＋1dx
＝x2＋ln x＋x
＝(4－1)＋ln 2－ln 1＋2－1
＝4＋ln 2.
(2)∵sin(x＋)＝
＝sin x＋cos x，
(－cos x＋sin x)′＝sin x＋cos x，
∴sin(x＋)dx＝ (sin x＋cos x)dx
＝(－cos x＋sin x)
＝(－cos π＋sin π)－(－cos 0＋sin 0)＝2.
8．A，B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t s后到达途中C点，这一段的速度为1.2t m/s，到C点的速度为24 m/s，从C点到B站前的D点这段路程做匀速行驶，从D点开始刹车，经t s后，速度为(24－1.2t) m/s，在B站恰好停车，试求：
(1)A，C间的距离；
(2)B，D间的距离．
解：(1)设从A到C的时间为t1 s，则1.2t1＝24，解得t1＝20，则AC＝1.2tdt＝0.6t2＝240(m)．
即A，C间的距离为240 m.
(2)设从D到B的时间为t2 s，则24－1.2t2＝0，
解得t2＝20，
则BD＝ (24－1.2t)dt＝(24t－0.6t2) ＝240(m)．
即B，D间的距离为240 m．
3定积分的简单应用
如图．
问题1：图中阴影部分是由哪些曲线围成？
提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)和y＝g(x)围成．
问题2：你能求得其面积吗？如何求？
提示：能，先求由x＝a，x＝b和y＝f(x)围成的曲边梯形面积S1＝f(x)dx，再求由x＝a，x＝b和y＝g(x)围成的曲边梯形面积S2＝g(x)dx，则所求阴影部分面积为S1－S2.
平面图形的面积
一般地，设由曲线y＝f(x)，y＝g(x)以及直线x＝a，x＝b所围成的平面图形的面积为S，则
S＝f(x)dx－g(x)dx，f(x)≥g(x)．
定积分在几何中的简单应用主要是求平面图形的面积和旋转体的体积，解题关键是根据图形确定被积函数以及积分上、下限．
不分割型图形面积的求解
[例1] 求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．
[思路点拨] 画出草图，求出直线与抛物线的交点，转化为定积分的计算问题．
[精解详析]
由
得或
所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点为(－3，5)和(2,0)，
设所求图形面积为S，根据图形可得
S＝(－x＋2)dx－ (x2－4)dx
＝－
＝－＝.
[一点通] 求由曲线围成图形面积的一般步骤：
(1)根据题意画出图形；
(2)求交点，确定积分上、下限；
(3)确定被积函数；
(4)将面积用定积分表示；
(5)用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分，求出结果．
1．由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为( )
A. B．1
C. D.
解析：选D 结合函数图像可得所求的面积是定积分
cos xdx＝sin x＝－＝.
2．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A．2 B．4
C．2 D．4
解析：选D 由4x＝x3，解得x＝0或x＝2或x＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为 ?4x－x3?dx＝＝4.
3．计算由曲线y2＝x，y＝x3所围成的图形的面积S.
解：作出曲线y2＝x，y＝x3的草图，所求面积为如图中的阴影部分的面积．
解方程组得交点的横坐标x＝0，x＝1，因此所求图形面积为
S＝dx－x3dx＝x－x4＝－＝.
分割型图形面积的求解
[例2] 求由曲线xy＝1及直线x＝y，y＝3所围成平面图形的面积．
[思路点拨] 作出直线和曲线的草图，可将所求图形的面积转化为两个曲边梯形面积的和，通过计算定积分来求解，注意确定积分的上、下限．
[精解详析] 作出曲线xy＝1，直线x＝y，y＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．
求交点坐标：由
得故A；
由得或(舍去)，故B(1,1)；
由得故C(3,3)，
故所求面积S＝S1＋S2＝dx＋ (3－x)dx＝(3x－ln x) ＋＝4－ln 3.
[一点通] 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的交点坐标后，可以将积分区间进行细化分段，然后根据图形对各个区间分别求面积进而求和，在每个区间上被积函数均是由图像在上面的函数减去下面的函数．
4．由曲线y＝sin x，y＝cos x与直线x＝0，x＝所围成的平面图形(如下图中的阴影部分)的面积是( )
A．1 B.
C. D．2－2
解析：选D S＝(cos x－sin x)dx＋ (sin x－cos x)dx＝(sin x＋cos x)－(cos x＋sin x)
＝(－1)－(1－)＝2－2.
5．求由曲线y＝x2和直线y＝x及y＝2x所围成的平面图形的面积．
解：由得A(1,1)，
由得B(2,4)，如图所示所求面积为
S＝2xdx－xdx＋2xdx－x2dx
＝(2x－x)dx＋(2x－x2)dx
＝xdx＋(2x－x2)dx
＝x2＋＝.
简单几何体的体积的求解
[例3] 求抛物线y＝2x2与直线x＝a(a>0)及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周得到的几何体的体积．
[精解详析] 由a>0，各曲线围成的平面图形如图阴影部分所示，
V＝π(2x2)2dx＝4πx4dx
＝4π·x5＝πa5.
[一点通] 求旋转体的体积的步骤：①建立平面直角坐标系．②确定旋转曲线函数f(x)．③确定积分上、下限a，b.④计算体积V＝πf2(x)dx.
6．y＝sin x(0≤x≤π)和x轴围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积为( )
A．π2 B．4π2
C.π2 D.
解析：选D V＝πsin2xdx＝πdx
＝＝.
7．给定一个边长为a的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，则它的体积为________．
解析：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则BC的方程：y＝a.则该旋转体即圆柱的体积为：π×a2dx＝πa2x＝πa3.
答案：πa3
1．求由曲线围成的图形的面积时，若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上、下限．
2．由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b(a
1．曲线y＝cos x(0≤x≤2π)与直线y＝1围成的封闭图形的面积是( )
A．4π B.
C．3π D．2π
解析：选D 如图，求曲线y＝cos x(0≤x≤2π)与直线y＝1围成图形的面积可根据余弦函数图像的对称性转化为求由直线y＝0，y＝1，x＝0，x＝2π围成的矩形的面积．故选D.
2．如果用1 N的力能将弹簧拉长1 cm，为了将弹簧拉长6 cm，所耗费的功为( )
A．0.18 J B．0.26 J
C．0.12 J D．0.28 J
解析：选A 设F(x)＝kx，当F＝1 N时，x＝0.01 m，
则k＝100.W＝100xdx＝50x2＝0.18 (J)．
3．曲线y＝x2＋2x与直线x＝－1，x＝1及x轴所围成图形的面积为( )
A．2 B.
C. D.
解析：选A S＝－ (x2＋2x)dx＋ (x2＋2x)dx
＝－＋
＝＋＝2.
4.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 阴影部分的面积为 (－x)dx＝＝，故所求的概率P＝＝，故选C.
5.如图是一个质点做直线运动的v -t图像，则质点在前6 s内的位移为________ m.
解析：直线OA的方程为y＝x，直线AB的方程为y＝－x＋9，故质点在前6 s内的位移为x dx＋dx＝x2＋＝6＋3＝9(m)．
答案：9
6.如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．
解析：因为函数y＝ex与函数y＝ln x互为反函数，其图像关于直线y＝x对称，又因为函数y＝ex与直线y＝e的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为
2(e×1－exdx)＝2e－2ex＝2e－(2e－2)＝2，
由几何概型的概率计算公式，
得所求的概率P＝＝.
答案：
7．求抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积．
解：由y′＝－2x＋4得在点A，B处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y＝2x－2和y＝－2x＋6，
由得两直线交点坐标为C(2,2)，
∴S＝S△ABC－ (－x2＋4x－3)dx
＝×2×2－＝2－＝.
8．已知抛物线y＝x2－2x与直线x＝0，x＝a，y＝0围成的平面图形的面积为，求a的值．
解：作出y＝x2－2x的图像，如图所示．
①当a<0时，S＝(x2－2x)dx＝＝－＋a2＝，
∴(a＋1)(a－2)2＝0.
∵a<0，∴a＝－1.
②当a＝0时，不符合题意．
③当a>0时，
若0∴(a＋1)(a－2)2＝0.
∵a>0，∴a＝2.
若a>2，不合题意，
综上a＝－1或2.
第四章 定积分
章末小结
一、定积分
1．定积分的概念：
f(x)dx叫函数f(x)在区间[a，b]上的定积分．
2．定积分的几何意义：
当f(x)≥0时，f(x)dx表示的是 y＝f(x)与直线x＝a，x＝b和x轴所围成的曲边梯形的面积．
3．定积分的性质：
(1)1dx＝b－a.
(2)kf(x)dx＝kf(x)dx.
(3)[f(x)±g(x)]dx＝f(x)dx±g(x)dx.
(4)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx.
定积分的几何意义和性质相结合求定积分是常见类型，多用于被积函数的原函数不易求，且被积函数是熟知的图形．
二、微积分基本定理
1．如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则f(x)dx＝F(x) ＝F(b)－F(a)．
2．利用微积分基本定理求定积分，其关键是找出被积函数的一个原函数．求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此，应熟练掌握一些常见函数的导数公式．
三、定积分的简单应用
定积分的应用在于求平面图形的面积及简单旋转几何体的体积，解题步骤为：
①画出图形．②确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限．③确定被积函数．④写出平面图形面积或旋转体体积的定积分表达式．⑤运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积或旋转几何体的体积．
