1数系的扩充与复数的引入
数的概念的扩展
已知方程(1)x2－2x＋2＝0，(2)x2＋1＝0.
问题1：方程(1)在有理数数集中有解吗？实数范围内呢？
提示：在有理数集中无解；在实数范围内有解，其解为.
问题2：方程(2)在实数集中有解吗？
提示：没有．
问题3：若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？
提示：有解x＝i，但不是实数．
1．复数的概念
2．复数集
复数的全体组成的集合，记作C.显然R?C.
复数相等
问题1：若a，b，c，d∈R且a＝c，b＝d，复数a＋bi和c＋di相等吗？
提示：相等．
问题2：若a＋bi＝c＋di，那么实数a，b，c，d有何关系？
提示：a＝c，b＝d.
复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.
复平面及复数的几何意义
问题1：实数与数轴上的点一一对应，复数可以用平面内的点表示吗？
提示：可以．
问题2：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有何对应关系？与平面直角坐标系中的点Z(a，b)有何对应关系？
提示：一一对应，一一对应．
问题3：在平面直角坐标系中点Z(a，b)与向量＝(a，b)有何对应关系？
提示：一一对应关系．
问题4：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有何对应关系？
提示：一一对应．
1．复平面
(1)当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴．
(2)任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．这是复数的几何意义．
一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量＝(a，b)是一一对应的．
2．复数的模
设复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，显然，|z|＝.
1．注意复数的代数形式z＝a＋bi中a，b∈R这一条件，否则a，b就不一定是复数的实部与虚部．
2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.
3．只有两个复数都是实数时才能比较大小，否则没有大小关系．
复数的基本概念
[例1] 复数z＝(m2－3m＋2)＋(m2＋m－2)i，当实数m为何值时，
(1)z为实数；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数？
[思路点拨] 分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断．
[精解详析] (1)当m2＋m－2＝0，即m＝－2或m＝1时，z为实数．
(2)当m2＋m－2≠0，即m≠－2且m≠1时，z为虚数．
(3)当即m＝2时，z为纯虚数．
[一点通] 复数分类的关键
(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)时应先转化形式．
(2)注意分清复数分类中的条件
设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则①z为实数?b＝0，②z为虚数?b≠0，③z为纯虚数?a＝0，b≠0.④z＝0?a＝0，且b＝0.
1．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 当a＝0，且b＝0时，a＋bi不是纯虚数；若a＋bi是纯虚数，则a＝0.故“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．
2．若复数z＝(x2－1)＋i为纯虚数，则实数x的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．－1或1
解析：选A 由复数z＝(x2－1)＋i为纯虚数得
解得x＝－1.
复数的相等
[例2] (1)已知(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，x，y∈R，求x与y；
(2)设z1＝1＋sin θ－icos θ，z2＝＋(cos θ－2)i.若z1＝z2，求θ.
[思路点拨] 先找出两个复数的实部和虚部，然后再利用两个复数相等的充要条件列方程组求解．
[精解详析] (1)根据复数相等的充要条件，得方程组
得
(2)由已知，得
解得则θ＝2kπ(k∈Z)．
[一点通] 复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．
(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．
3．若ai＋2＝b－i(a，b∈R)，i为虚数单位，则a2＋b2＝( )
A．0 B．2
C. D．5
解析：选D 由题意得则a2＋b2＝5.
4．若关于x的方程x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0有实根，则实数m＝( )
A. B.i
C．－ D．－i
解析：选A 因为关于x的方程x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0有实根，即x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0?x2＋x＋3m＋(2x＋1)i＝0??m＝，故选A.
复数的几何意义
[例3] 实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点
(1)位于第二象限；
(2)位于直线y＝x上？
[思路点拨] 位于第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0；位于直线y＝x上的点的横坐标等于纵坐标．
[精解详析] 根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点就是点Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．
(1)由点Z位于第二象限得
解得－2
故满足条件的实数a的取值范围为(－2,1)．
(2)由点Z位于直线y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.
故满足条件的实数a的值为1.
[一点通] 按照复数集和复平面内所有的点的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置确定复数的实部、虚部满足的条件．
5．若复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( )
A．a≠2或a≠1 B．a≠2且a≠1
C．a＝0 D．a＝2或a＝0
解析：选D 因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，所以a2－2a＝0，解得a＝0或a＝2.
6．已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量的坐标是( )
A．(－5,5) B.(5，－5)
C．(5,5) D．(－5，－5)
解析：选B 向量，对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2＝－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量＝(2，－3)，＝(－3,2)．
由向量减法的坐标运算可得向量
＝－＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)．
7．在复平面内，求复数z，使复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的对应点
(1)在虚轴上；
(2)在实轴负半轴上．
解：(1)若复数z对应点在虚轴上，
则m2－m－2＝0，∴m＝－1或m＝2，
此时，z＝6i或z＝0.
(2)若复数z对应点在实轴负半轴上，则
解得m＝1，∴z＝－2.
复 数 的 模
[例4] (1)若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝，则复数z＝( )
A．1＋2i B．－1－2i
C．±1±2i D．1＋2i或－1－2i
(2)设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－1,1)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
[精解详析] (1)依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，
由|z|＝得 ＝，
解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i.
(2)因为|z1|＝ ，|z2|＝＝，
所以＜，即a2＋4＜5，所以a2＜1，
即－1＜a＜1.
[答案] (1)D (2)B
[一点通] 复数模的计算
(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解．
8．已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是________．
解析：由|z|＝≤2，解得－≤m≤.
答案：
9．求复数z1＝6＋8i与z2＝－－i的模，并比较它们的模的大小．
解：∵z1＝6＋8i，z2＝－－i，∴|z1|＝＝10，
|z2|＝ ＝.∵10>，∴|z1|>|z2|.
1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数bi(b≠0，b∈R)不要只记形式，要注意b≠0.
2．复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对应，可知复数z＝a＋bi(a，b∈R)、复平面内的点Z(a，b)和平面向量OZ―→之间的关系可用图表示．
1．复数1＋i2的实部和虚部分别是( )
A．1和i B．i和1
C．1和－1 D．0和0
解析：选D ∵1＋i2＝1－1＝0，故选D.
2．当A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D ∵0，m－1<0，∴点(3m－2，m－1)在第四象限．
3．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是( )
A．－1 B．1
C．±1 D．－1或－2
解析：选B ∵(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，∴
由x2－1＝0，得x＝±1，又由x2＋3x＋2≠0，得x≠－2且x≠－1，∴x＝1.
4．已知虚数z＝x＋yi的模为1(其中x，y均为实数)，则的取值范围是( )
A. B.∪
C. D.
解析：选B ∵|z|＝1，∴x2＋y2＝1.设k＝，则k为过圆x2＋y2＝1上的点和点(－2,0)的直线斜率，作图如图所示，∴k≤＝.
又∵z为虚数，∴y≠0，∴k≠0.
又由对称性可得k∈∪.
5．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.
解析：由复数的几何意义知，z1，z2的实部，虚部均互为相反数，故z2＝－2＋3i.
答案：－2＋3i
6．如果(m2－1)＋(m2－2m)i>0，则实数m的值为________．
解析：由于两个不全为实数的复数不能比较大小，
可知(m2－1)＋(m2－2m)i应为实数，得
解得m＝2.
答案：2
7．已知复数z＝(m2－3m)＋(m2－m－6)i，当实数m为何值时，①z是实数；②z＝4＋6i；③z对应的点在第三象限？
解：z＝(m2－3m)＋(m2－m－6)i.
①令m2－m－6＝0?m＝3或m＝－2，
即m＝3或m＝－2时，z为实数．
②?m＝4.
即m＝4时z＝4＋6i.
③若z所对应的点在第三象限，
则?0即08．在复平面内画出复数z1＝＋i，z2＝－1，z3＝－i对应的向量，，，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．
解：根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z1，Z2，Z3的坐标分别为，(－1,0)，，则向量，，如图所示．
|z1|＝ ＝1，
|z2|＝|－1|＝1，|z3|＝ ＝1.
∴在复平面xOy内，点Z1，Z3关于实轴对称，且Z1，Z2，Z3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．
2复数的四则运算
复数的加法与减法
已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．
问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？
提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
问题2：类比向量的加法，复数的加法满足交换律和结合律吗？
提示：满足．
1．加(减)法法则
设a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)是任意复数，则(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
2．运算律
对任意的z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1(交换律)
(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)(结合律).
复数的乘法
问题1：复数的加减法类似多项式加减，试想：复数相乘是否类似两多项式相乘？
提示：是．
问题2：复数的乘法是否满足交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律？
提示：满足．
问题3：试举例验证复数乘法的交换律．
提示：若z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，
z2z1＝(c＋di)(a＋bi)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.
故z1z2＝z2z1.
复数的乘法
(1)定义：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(2)运算律：
①对任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1·z2＝z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
②复数的乘方：任意复数z，z1，z2和正整数m，n，有
zmzn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1z2)n＝zz.
共 轭 复 数
观察下列三组复数：
(1)z1＝2＋i；z2＝2－i；
(2)z1＝3＋4i；z2＝3－4i；
(3)z1＝4i；z2＝－4i.
问题1：每组复数中的z1与z2有什么关系？
提示：实部相等，虚部互为相反数．
问题2：试计算每组中的z1z2，你发现有什么规律？
提示：z1与z2的积等于z1的实部与虚部的平方和．
共轭复数
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫做共轭复数．复数z的共轭复数用来表示，也就是当z＝a＋bi时，＝a－bi.于是z＝a2＋b2＝|z|2.
复数的除法
我们知道实数的除法是乘法的逆运算，类似地，复数的除法也是复数乘法的逆运算，给出两个复数a＋bi，c＋di(c＋di≠0)．若(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi，则x＋yi＝叫做复数a＋bi除以c＋di的商．
问题1：根据乘法运算法则和复数相等的概念，请用a，b，c，d表示出x，y.
提示：由(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi得
xc－yd＋(xd＋yc)i＝a＋bi.
即∴
问题2：运用上述方法求两个复数的商非常繁琐，有更简便的方法求两个复数的商吗？
提示：可以用分母的共轭复数同乘分子与分母后，再进行运算．
复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
则＝＝＋i(c＋di≠0)．
1．复数的加法、减法和乘法与多项式的加法、减法和乘法相类似，但应注意在乘法中必须把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．
2．复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数)．
复数的加减运算
[例1] 计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
[思路点拨] 利用复数加减运算的法则计算．
[精解详析] (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)
＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i.
[一点通] 复数加、减运算的方法技巧：
(1)复数的实部与实部相加、减，虚部与虚部相加、减；
(2)把i看作一个字母，类比多项式加、减中的合并同类项．
1．计算：(1＋i)＋(－2－i)－(3－2i)．
解：(1＋i)＋(－2－i)－(3－2i)
＝[－1＋(－)i]－(3－2i)
＝－4＋(2＋－)i.
2．若(3－10i)y＋(－2＋i)x＝1－9i，求实数x，y的值．
解：原式化为3y－10yi＋(－2x＋xi)＝1－9i.
即(3y－2x)＋(x－10y)i＝1－9i.
∴∴
复数的四则运算
[例2] 计算：
(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i；
(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)＋i5；
(4)＋2.
[思路点拨] 按照复数的乘法与除法运算法则进行计算．
[精解详析] (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)
＝1－i2＋(－1＋i)
＝2－1＋i＝1＋i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i
＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i
＝(－2＋11i＋5)(3－4i)＋2i
＝(3＋11i)(3－4i)＋2i
＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
(3)原式＝＋i5＝＋(i2)2·i
＝＋i＝＋i.
(4)＋2
＝＋
＝－1
＝8－1
＝7.
[一点通]
(1)复数的乘法可以把i看作字母，按多项式的乘法法则进行，注意把i2化成－1，进行最后结果的化简；复数的除法先写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数，并进行化简．
(2)im(m∈N＋)具有周期性，且最小正周期为4，则
①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N＋)；
②i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N＋)．
3．设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝( )
A．－1＋i B.－1－i
C.1＋i D.1－i
解析：选A z＝＝＝－1＋i，故选A.
4．若复数z满足 (3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )
A．－4 B.－
C．4 D.
解析：选D 因为|4＋3i|＝ ＝5，所以已知等式为(3－4i)z＝5，即z＝＝＝＝＝＋i，所以复数z的虚部为，选择D.
5．计算：
(1)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)；
(2).
解：(1)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)
＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)
＝24－8i－6i－2＋28－21i－4i－3
＝47－39i.
(2)＝
＝＝(1＋i)4i
＝i[(1＋i)2]2＝i(2i)2＝－4i.
共 轭 复 数
[例3] 已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
[精解详析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝a－bi(a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有
解得或
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
[一点通] 已知关于z和的方程，求z的问题，解题的常规思路为设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程组求解．
6．复数z＝的共轭复数是( )
A．2＋i B.2－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：选D z＝＝＝－1＋i，所以＝－1－i.
7．设z＝1－i(i是虚数单位)，则复数·＝________.
解析：对于＋z2＝＋(1－i)2＝1＋i－2i＝1－i，
故·＝(1－i)(1＋i)＝2.
答案：2
8．已知复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则＝________.
解析：因为(1＋2i)z＝4＋3i，
所以z＝＝＝2－i，
故＝2＋i，＝＝＝＝－i.
答案：－i
9．已知复数z1＝5＋i，z2＝i－3，且＝1＋2，求复数z.
解：由已知得：1＝5－i，2＝－3－i，
∴＝1＋2＝(5－i)＋(－3－i)＝2－2i，
∴z＝＝×＝＋i.
1．复数的四则运算顺序与实数运算顺序一致，即先算平方，再算乘除，最后算加减，同时要注重复数运算中的独特技巧，如：(1±i)2＝±2i，＝i，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N＋)等，在解题中可使运算简化．
2．解决共轭复数问题时，除用共轭复数定义解题外，也常用下列结论简化解题过程．
①z·＝|z|2＝||2；
②z∈R?＝z；
③z≠0，z为纯虚数?＝－z.
1．(1＋2i)＋－＝( )
A．－2i B．2－2i
C．2＋2i D．2
解析：选B 原式＝＋i＝2－2i.
2．已知a为正实数，i为虚数单位，若的模为2，则a＝( )
A．2 B.
C. D．1
解析：选B 因为＝1－ai，所以 ＝2，又a>0，故a＝.故选B.
3．计算：＋＝( )
A．0 B．1
C．i D．2i
解析：选D ＋＝3＋＝i＋i＝2i.故选D.
4．(1＋i)20－(1－i)20的值是( )
A．－1 024 B．1 024
C．0 D．512
解析：选C (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.
5．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.
解析：因为(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，a，b∈R，所以解得所以a＋bi＝1＋2i.
答案：1＋2i
6．若复数z满足z－(1＋z)i＝1，则z＋z2＝________.
解析：由题得z－i－zi－1＝0，
则z＝＝－＋i，
所以z＋z2＝－＋i＋2＝－1.
答案：－1
7．计算：
(1)(＋i)2(4＋5i)；
(2).
解：(1)(＋i)2(4＋5i)＝2(1＋i)2(4＋5i)
＝4i(4＋5i)
＝－20＋16i.
(2)＝＝＝1－i.
8．复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．
解：z＝(a＋bi)
＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi.
由|z|＝4，得a2＋b2＝4，①
∵复数0，z，对应的点构成正三角形，
∴|z－|＝|z|.
把z＝－2a－2bi代入化简得|b|＝1.②
又∵z对应的点在第一象限，
∴a＜0，b＜0.
由①②得
故所求值为a＝－，b＝－1.
第五章 数系的扩充与复数的引入
章末小结
一、复数的基本概念
1．复数
a＋bi
2．复数的相等
两个复数z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，当且仅当a＝c且b＝d时，z1＝z2.特别地，当且仅当a＝b＝0时，a＋bi＝0.
3．复数是实数的充要条件
(1)z＝a＋bi(a，b∈R)∈R?b＝0；
(2)z∈R?z＝；
(3)z∈R?z2≥0.
4．复数是纯虚数的充要条件
(1)z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数?a＝0，且b≠0；
(2)z是纯虚数?z＋＝0(z≠0)；
(3)z是纯虚数?z2<0.
二、复数的运算
复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除的运算，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比分式的分子、分母有理化，注意i2＝－1.
在运算的过程中常用来降幂的公式有：
(1)i的乘方：i4k＝1，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i(k∈N＋)．
(2)(1±i)2＝±2i.
(3)作复数除法运算时，有如下技巧：
＝＝＝i，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化．
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．i是虚数单位，复数＝( )
A．2＋i B．2－i
C．－2＋i D．－2－i
解析：选B ＝＝＝2－i.
2．已知复数z＝(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限 B.第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C 因为z＝＝＝＝－－i，所以z在复平面内所对应的点在第三象限，故选C.
3．若复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( )
A．2＋i B．2－i
C．5＋i D．5－i
解析：选D 因为(z－3)(2－i)＝5，所以z－3＝＝＝2＋i，所以z＝5＋i，所以＝5－i.
4．设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数是，则等于( )
A．－1－2i B．－2＋i
C．－1＋2i D．1＋2i
解析：选C 由题意可得＝
＝＝－1＋2i，故选C.
5．已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋ i，z·＝4，则a＝( )
A．1或－1 B.或－
C．－ D.
解析：选A 法一：由题意可知＝a－i，
∴z·＝(a＋i)(a－i)＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.
法二：z·＝|z|2＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.
6．已知复数z1＝2＋ai(a∈R)，z2＝1－2i，若为纯虚数，则|z1|＝( )
A. B.
C．2 D.
解析：选D 由于＝＝＝为纯虚数，则a＝1，则|z1|＝，故选D.
7．已知i为虚数单位，复数z1＝a＋2i，z2＝2－i，且|z1|＝|z2|，则实数a的值为( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．±1或0
解析：选C 因为复数z1＝a＋2i，z2＝2－i，且|z1|＝|z2|，所以a2＋4＝4＋1，解得a＝±1，故选C.
8．已知复数z＝－＋i，则＋|z|＝( )
A．－－i B．－＋i
C.＋i D.－i
解析：选D 因为z＝－＋i，所以＋|z|＝－－i＋ ＝－i.
9．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论正确的是( )
A．z对应的点在第一象限
B．z一定不为纯虚数
C.对应的点在实轴的下方
D．z一定为实数
解析：选C ∵t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1＞0，∴z对应的点在实轴的上方．又∵z与对应的点关于实轴对称．
∴C项正确．
10．复数2＋i与复数在复平面上的对应点分别是A，B，若O为坐标原点，则∠AOB等于( )
A. B.
C. D.
解析：选B ∵＝＝－，
∴它在复平面上的对应点为B，
而复数2＋i在复平面上的对应点是A(2,1)，
显然AO＝，BO＝，AB＝.
由余弦定理得cos∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝.故选B.
11．已知是复数z的共轭复数，z＋＋z·＝0，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：选A 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi，
代入z＋＋z·＝0，得x＋yi＋x－yi＋x2＋y2＝0，
即x2＋y2＋2x＝0，整理得(x＋1)2＋y2＝1.
∴复数z在复平面内对应的点的轨迹是圆．
12．已知复数z＝(x－2)＋yi(x，y∈R)在复平面内对应的向量的模为，则的最大值是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 因为|(x－2)＋yi|＝，所以(x－2)2＋y2＝3，所以点(x，y)在以C(2,0)为圆心，以为半径的圆上，如图，由平面几何知识－≤≤.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)
13．计算：＝________.
解析：＝＝
＝＝＝i.
答案：i
14．i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．
解析：由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是纯虚数可得a＋2＝0,1－2a≠0，解得a＝－2.
答案：－2
15．设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________.
解析：∵|a＋bi|＝＝，
∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.
答案：3
16．若关于x的方程x2＋(2－i)x＋(2m－4)i＝0有实数根，则纯虚数m＝________.
解析：设m＝bi(b∈R且b≠0)，则x2＋(2－i)x＋(2bi－4)i＝0，化简得(x2＋2x－2b)＋(－x－4)i＝0，即解得故m＝4i.
答案：4i
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知复数z1＝2－3i，z2＝，求：(1)z1z2；(2).
解：因为z2＝＝＝＝＝1－3i，
所以(1)z1z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.
(2)＝＝＝＝＋i.
18．(本小题满分12分)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，试求m取何值时？
(1)z是实数.
(2)z是纯虚数．
(3)z对应的点位于复平面的第一象限．
解：(1)由m2＋3m＋2＝0且m2－2m－2＞0，解得m＝－1或m＝－2，复数表示实数．
(2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数．
由lg(m2－2m－2)＝0，且m2＋3m＋2≠0，
求得m＝3，故当m＝3时，复数z为纯虚数．
(3)由lg(m2－2m－2)＞0，且m2＋3m＋2＞0，解得m＜－2或m＞3，故当m＜－2或m＞3时，复数z对应的点位于复平面的第一象限．
19．(本小题满分12分)已知复数z满足(1＋2i)＝4＋3i.
(1)求复数z；
(2)若复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
解：(1)∵(1＋2i)＝4＋3i，
∴＝＝＝＝2－i，∴z＝2＋i.
(2)由(1)知z＝2＋i，则(z＋ai)2＝(2＋i＋ai)2＝[2＋(a＋1)i]2＝4－(a＋1)2＋4(a＋1)i，
∵复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，
∴解得－1即实数a的取值范围为(－1,1)．
20．(本小题满分12分)已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－|<|z1|，求a的取值范围．
解：因为z1＝＝2＋3i，z2＝a－2－i，＝a－2＋i，
所以|z1－|＝|(2＋3i)－(a－2＋i)|＝|4－a＋2i|
＝，
又因为|z1|＝，|z1－|<|z1|，
所以<，
所以a2－8a＋7<0，解得1所以a的取值范围是(1,7)．
21．(本小题满分12分)设为复数z的共轭复数，满足|z－|＝2.
(1)若z为纯虚数，求z.
(2)若z－2为实数，求|z|.
解：(1)设z＝bi(b∈R且b≠0)，则＝－bi，
因为|z－|＝2，则|2bi|＝2，即|b|＝，
所以b＝±，所以z＝±i.
(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
因为|z－|＝2，则|2bi|＝2，即|b|＝，
因为z－2＝a＋bi－(a－bi)2＝a－a2＋b2＋(b＋2ab)i.
z－2为实数，
所以b＋2ab＝0.
因为|b|＝，所以a＝－，
所以|z|＝ ＝.
22．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝1.
