21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系(要点讲解+当堂检测+答案)

人教版数学九年级上册同步学案
第二十一章　一元二次方程
21.2　解一元二次方程
21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系
要 点 讲 解
要点一　一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0，b2－4ac≥0)的两个实数根为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1·x2＝，即任何一个一元二次方程两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.
不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值的常见代数变形有：
(1)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2；
(2)＋＝；
(3)＋＝；
(4)＋＝；
(5)|x1－x2|＝.
经典例题1　若α，β是方程x2－2x－3＝0的两个实数根，则α2＋β2的值为(　　　)
A. 10　　　　 B. 9　　　　 C. 7　　　　 D. 5
解析：因为α，β是方程x2－2x－3＝0的两个实数根，所以α＋β＝2，αβ＝－3，故α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝22－2×(－3)＝10.
答案：A
点拨：不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值关键是把所给的代数式经过恒等变形，化为可用x1＋x2，x1·x2表示的形式，然后把x1＋x2，x1·x2的值代入，即可求出所求代数式的值.
要点二　一元二次方程的根与系数的关系的应用
1. 如果x1，x2是方程x2＋px＋q＝0的两个根，那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.
2. 以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0.
3. 利用一元二次方程根与系数的关系求方程中字母系数的值时，不要忘记将字母代回原方程验证，需满足Δ≥0，因为根与系数的关系是在一元二次方程根的判别式大于或等于0的前提下使用的.
经典例题2　已知关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2，m.求m，n的值.
解析：利用根与系数的关系知－2＋m＝－1，－2m＝n，据此易求m，n的值.
解：∵关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2，m，
∴解得
即m，n的值分别是1，－2.
经检验，符合题意.
当 堂 检 测
1. 已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的两根，则x1＋x2的值是(　　)
A. 0　 B. 2　 C. －2　 D. 4
2. 一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1·x2的值是(　　)
A. 4 B. －4 C. 3 D. －3
3. 已知关于x的一元二次方程x2－bx＋c＝0的两根分别为x1＝1，x2＝－2，则b与c的值分别为 (　　)
A. b＝－1，c＝2 B. b＝1，c＝－2
C. b＝1，c＝2 D. b＝－1，c＝－2
4. 设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝ .
5. 若方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为 .
6. 已知方程x2＋mx＋3＝0的一个根是1，则它的另一根是 ，m的值是 .
7. 已知方程x2－2x－5＝0的两根为x1，x2，求下面各式的值：
(1)x＋x； (2)(x1－x2)2； (3)＋.
8. 已知x1，x2是方程x2＋3x－5＝0的两根，求以(x1＋1)和(x2＋1)为根的一元二次方程(未知数用y表示).
当堂检测参考答案
1. B 2. D 3. D
4. 5
5. 3
6. 3 －4
7. 解：由x1＋x2＝2，x1·x2＝－5，得
(1) x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝22－2×(－5)＝14.　
(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝22－4×(－5)＝24.　
(3)＋＝＝＝－.