21.3 第1课时　传播问题、增长率问题与营销问题(要点讲解+当堂检测+答案)

人教版数学九年级上册同步学案
第二十一章　一元二次方程
21.3　实际问题与一元二次方程
第1课时　传播问题、增长率问题与营销问题
要 点 讲 解
要点一　传播问题
传播问题：传播源＋第一轮被传播的＋第二轮被传播的＝第二轮传播后的总数.
要点二　增长率问题
平均增长率问题：此类问题是在某个数据的基础上连续增长(降低)两次得到新的数据，解这类问题需牢记公式a(1＋x)2＝b或a(1－x)2＝b，其中a表示增长或降低前的数据，x表示增长或降低率，b表示后来得到的数据，“＋”表示增长，“－”表示降低.
经典例题1　某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元；从今年1月起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平.
(1)求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；
(2)购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？(累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费)
解析：(1)设每月的增长率为x，那么2月份的生产收入为100(1＋x)，三月份的生产收入为100(1＋x)2，由1至3月份的生产收入累计可达364万元，可列方程求解. (2)设使用新设备m个月后，使用新设备累计利润不低于使用旧设备的累计利润，由不等式关系可求解.
解：(1)设2月、3月生产收入的月增长率为x，根据题意，得
100＋100(1＋x)＋100(1＋x)2＝364，
即25x2＋75x－16＝0，
解得x1＝－3.2(舍)，x2＝0.2.
所以2月、3月生产收入的月增长率为20%.
(2)设m个月后，使用新设备所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，根据题意有
364＋100(1＋20%)2(m－3)－640≥90m－5m，
解得，m≥12.
所以，使用新设备12个月后所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润.
点拨：在平均增长率问题中，要注意常用的相等关系：设基数为a，平均增长率为x，则两次增长后的值为a(1＋x)2.
要点三　营销问题
解决此类问题首先要清楚几个名称的意义，如成本价、售价、标价、打折、利润、利润率等以及它们之间的等量关系.
此类问题常见的等量关系是：总利润＝总售价－总成本，或总利润＝每件商品的利润×销售数量，利润率＝×100%.
经典例题2　小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件，如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元，按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元，请问她购买了多少件这种服装？
解：因为80×10＝800元<1200元，
所以小丽买的服装数大于10件.
设她购买了x件这种服装，
根据题意，得x[80－2(x－10)]＝1200.
解得x1＝20，x2＝30.
因为1200÷50＝24<30，
所以x2＝30不合题意，舍去.
答：她购买了20件这种服装.
易错易混警示　对平均增长率问题中各个字母的含义理解不透
对于列一元二次方程解平均增长率的应用题，应了解并掌握公式a(1±x)n＝b中各个字母的含义，不要弄混各个字母所代表的具体含义.
经典例题3　某商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的月平均增长率.
解：设这两个月的月平均增长率为x，依题意得200(1－20%)(1＋x)2＝193.6，
即(1＋x)2＝1.21，解得x＝－1±1.1，∴x1＝0.1，x2＝－2.1(不合题意，舍去).
答：这两个月的月平均增长率为10%.
点拨：本题主要考查平均增长率，运用平均增长率公式a(1＋x)n＝b即可解决问题，关键是明确公式中各个字母的含义，结合题意确定a，b，n的值.解出方程的根后应结合题意，合理地对两根进行取舍.
当 堂 检 测
1. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为(　　)
A. 8人 B. 9人 C. 10人 D. 11人
2. 某种电脑病毒的传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有81台电脑被感染，那么每轮感染中平均一台电脑会感染的电脑台数为(　　)
A. 7台 B. 8台 C. 9台 D. 10台
3. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的增长率x相同，则(　　)
A. 50(1＋x)2＝196 B. 50＋50(1＋x2)＝196
C. 50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196 D. 50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196
4. 新世纪百货大楼某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施.经调查，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可以多售出2件，要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童装应降价x元，可列方程 .
5. 某加工厂九月份加工了10吨干果，十一月份加工了13吨干果.设该厂加工干果重量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为 .
6. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111.求每个支干长出多少个小分支.
7. 某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元.求3月份到5月份营业额的月平均增长率.
当堂检测参考答案
1. C 2. B 3. C
4. (40－x)(20＋2x)＝1200
5. 10(1＋x)2＝13
6. 解：设每个支干长出x个小分支，根据题意，得1＋x＋x2＝111.解得x1＝10.x2＝－11(舍去).答：每个支干长出10个小分支.