21.3 第2课时　图形问题、数字问题与体育比赛问题(要点讲解+当堂检测+答案)

人教版数学九年级上册同步学案
第二十一章　一元二次方程
21.3　实际问题与一元二次方程
第2课时　图形问题、数字问题与体育比赛问题
要 点 讲 解
要点一　图形问题
几何图形应用题，关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.
经典例题1　如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可供利用25m)，现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2.
解：设AB＝xm，则BC＝(50－2x)m.根据题意，得x(50－2x)＝300，解得x1＝10，x2＝15.
当x＝10时，BC＝50－10－10＝30>25，故x1＝10不合题意，舍去.
当x＝15时，BC＝50－15－15＝20(m).
答：可以围成AB的长为15m，BC的长为20m的矩形.
点拨：解决关于几何图形的周长、面积等问题，图形的周长、面积公式往往就是寻找等量关系的基础.
要点二　数字问题
若一个两位数的十位数字和个位数字分别为x，y，则这个数可表示为10x＋y；若一个三位数的百位数字、十位数字和个位数字分别为x，y，z，则这个数可表示为100x＋10y＋z.
审题时要注意数与数字之间的联系与区别，其次要准确地用“十进制”来表示数.
经典例题2　一个两位数等于其各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数.
解析：两位数＝十位数字×10＋个位数字.
解：设个位数字为x，则十位数字为x－2，这个两位数为10(x－2)＋x.
根据题意，得10(x－2)＋x＝3x(x－2).
整理，得3x2－17x＋20＝0.
解这个方程，得x1＝4，x2＝(舍去).
当x＝4时，10(x－2)＋x＝24.
答：这个两位数是24.
点拨：(1)解此类数字问题关键是用代数式表示出这个数，常采取间接设未知数的方法求解.(2)有关数字的应用题，大致可分为三种：一般数字关系，连续数字和数字排列.数字问题涉及和、差、倍、分、奇数、偶数等，解题时要注意把握关键的词和语句.
要点三　体育比赛问题
每两个队之间都要比赛一场，无主客场之分(通俗的说法就是除了不和自己比赛，其他人都要比)，一共比赛的场数＝(队数－1)×队数÷2.体育比赛问题同握手问题的道理是相同的.
易错易混警示　忽略实际问题对方程解的限制
运用一元二次方程解决实际问题时，方程的解一般有两个，但由于实际情况的限制有时会有所取舍，在审题时往往由于对实际情况了解不到位而出现多解的错误.
经典例题3　有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的没有盖的长方体盒子，求截去的小正方形的边长.
解析：先设小正方形边长为xcm，则长方体盒子的底面的长是(80－2x)cm，宽是(60－2x)cm，由长方体的底面积是1500cm2，列出方程求解即可.
解：设截去的小正方形的边长为xcm，
依题意得(80－2x)(60－2x)＝1500.
整理，得x2－70x＋825＝0，解得x1＝55，x2＝15.
当x＝55时，80－2x＝－30<0，60－2x＝－50<0，不合题意，舍去；
当x＝15时，80－2x＝50>0，60－2x＝30>0，符合题意，所以x＝15.
答：截去的小正方形的边长为15cm.
点拨：本题注意截去四个小正方形后，长方体底面的长、宽应是正数这一基本要求，即解得x<30，而x＝55>30，不合题意，故应舍去.在解决实际问题时，应注意验根.
当 堂 检 测
1. 用10m长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6m2.若设它的一条边长为xm，则根据题意可列出关于x的方程为(　　)
A. x(5＋x)＝6 B. x(5－x)＝6
C. x(10－x)＝6 D. x(10－2x)＝6
2. 在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是(　　)
A. x(x－1)＝10 B. ＝10
C. x(x＋1)＝10 D. ＝10
3. 如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草.若草坪部分的总面积为112m2，设小路宽为xm，那么满足的方程是(　　)
A. 2x2－25x＋16＝0 B. x2－25x＋32＝0
C. x2－17x＋16＝0 D. x2－17x－16＝0
4. 一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是 .
5. 某市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空.
解：设应邀请x支球队参赛，则每队共打 场比赛，比赛总场数用代数式表示为　 　.
根据题意，可列出方程　 　.
整理，得 .
解得 .
合乎实际意义的解为 .
答：应邀请 支球队参赛.
6. 如图所示，相框长为10cm，宽为6cm，内有宽度相同的边缘木板，里面用来夹相片的面积为32cm2，则相框的边缘宽为多少cm?
7. 一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为5，把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的积是736，求原来的两位数.
当堂检测参考答案
1. B 2. B 3. C
4. 98
5. (x－1) x(x－1) x(x－1)＝28 x2－x－56＝0 x1＝8，x2＝－7 x＝8 8
6. 解：设相框的边缘宽为xcm，根据题意，得(10－2x)(6－2x)＝32.整理，得x2－8x＋7＝0，解得x1＝1，x2＝7.当x＝7时，6－2×7＝－8＜0，不符合题意，舍去.答：相框的边框宽为1cm.