高中数学必修四知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：04【提高】任意角的三角函数

【提高】任意角的三角函数
【学习目标】
1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号.
2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义.
3．会应用三角函数的定义解决相关问题。
【要点梳理】
要点一：三角函数定义
设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:
(1)叫做的正弦,记做,即；
(2)叫做的余弦,记做,即；
(3)叫做的正切,记做,即.
要点诠释：
三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,,。
要点二：三角函数在各象限的符号
三角函数在各象限的符号：
/
在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。
要点诠释：
口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正。
要点三：诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等
，其中
，其中
，其中
要点诠释：
该组公式说明了终边相同的角的同一三角函数的值相等这个结论。要注意在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多值对应关系，即给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(除不存在的情况)；反之，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应.
要点四：单位圆中的三角函数线
圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角的顶点在圆心O，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于P，过P作PM垂直轴于M，作PN垂直轴于点N.以A为原点建立轴与轴同向，与的终边(或其反向延长线)相交于点(或)，则有向线段0M、0N、AT(或)分别叫作的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大小又有方向的线段.
要点诠释：
三条有向线段的位置：
正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；
余弦线在轴上；
正切线在过单位圆与轴的正方向的交点的切线上；
三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外.
【典型例题】
类型一：三角函数的定义
例1．（1）已知角的终边经过点P（－4a，3a）（a≠0），求sin，cos，tan，cot的值；
（2）已知角的终边在直线上，求sin，cos，tan的值。
【思路点拨】先根据点P（－4a，3a）求出OP的长；再分a＞0，a＜0两种情况结合任意角的三角函数的定义即可求出结论
【答案】（1），，，或，，，（2）或
【解析】 （1）。
若a＞0，则r=5a，角在第二象限，则
，，
，。
若a＜0，则r=－5a，角在第四象限，则
，，，。
（2）因为角的终边在直线上，
所以可设为角终边上任意一点。
则（a≠0）。
若a＞0，则为第一象限角，r=2a，所以
，
，
。
若a＜0，则为第三象限角，r=－2a，所以，，。
【总结升华】 三角函数值的大小与点P在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关。本题应注意把函数的图象看作以原点为端点的两条射线，故应有两种答案，要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题。
举一反三：
【变式1】已知角的终边上一点，且，求的值.
【解析】由题设知，，所以，得，
从而，
解得或.
当时，， ；
当时，， ；
当时，， .
【变式2】已知角的终边落在y=|2x|上，求值。
【答案】或
【解析】 y=|2x|，
取点P（1，2），
或
类型二：三角函数的符号
例2．（1）判断的符号；
（2）若sin=―2cos，确定tan的符号；
（3）已知为第二象限角，判断3sincos+2tan的符号；
（4）若sin＜0，cos＞0，则是第几象限角？
（5）若sin2＞0，且cos＜0，试确定终边所在象限？
【答案】（1）正（2）负（3）负（4）四（5）三
【解析】（1）因为，且是第三象限角，所以是第三象限角。所以。
（2）由sin=―2cos，知sin与cos异号，故是第二或第四象限角。当是第二象限角时，tan＜0；当是第四象限角时，tan＜0。综上知，tan＜0。
（3）因为为第二象限，所以sin＞0，cos＜0，tan＜0，所以3sincos+2tan＜0。
（4）因为sin＜0，所以为第三或第四象限角，
又cos＞0，所以为第一或第四象限角，
所以为第四象限角。
（5）因为sin2＞0，所以2kπ＜2＜2kπ+π（k∈Z），
所以（k∈Z）。
当k为偶数时，是第一象限；当k为奇数是，为第三象限象。所以为第一或第三象限角。
又因为cos＜0，所以为第二或第三象限角，或终边在x轴的非正半轴上。
综上知，角终边在第三象限。
【总结升华】第一象限角，函数值全为正；第二象限角，只有正弦值为正；第三象限角，正切值为正；第四象限角，只有余弦角为正。
举一反三：
【变式1】求函数的值域。
【答案】{－1，3}
【解析】 由题意知，角x的终边不在坐标轴上。
当x是第一象限角时，；
当x是第二象限角时，；
当x是第三象限角时，；
当x是第四象限角时，，
故函数的值域为{－1，3}。
【总结升华】本题主要考查三角函数值在各象限的符号，并将其与函数的值域、绝对值等有关知识结合进行综合考查。本题运用了分类讨论思想。分象限讨论各三角函数值的符号是解决这类问题的基本方法，注意讨论时要不重不漏，所有可能的情况要考虑全面。
类型三：诱导公式一的应用
例3．（1）；
（2）sin（―1740°）·cos1470°+cos（―660°）·sin750°+tan405°。
【思路点拨】首先把任意角的正弦、余弦、正切的函数分别化为0°到360°角的同一三角函数值，然后再求值。
【答案】（1）（2）2
【解析】（1）原式
。
（2）原式=sin(―10×180°+60°)·cos(8×180°+30°)+cos(―4×180°+60°)·sin(4×180°+30°)+tan(2×180°+45°)=sin60°·cos30°+cos60°·sin30°+tan45°=.
【总结升华】 在弧度制下，与角终边相同的角为，k∈Z，在角度制下终边相同的角为k·360°+，k∈Z。利用公式化简或求值时要熟记特殊角的函数值。
举一反三：
【变式1】（2015春 福建龙岩期末）已知为第三象限角，．
（1）化简；
（2）若，求的值．
【思路点拨】（1）由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．
（2）由条件利用诱导公式求得cos的值，可得的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵为第三象限角，
∴．
（2）若，
∴，
∴．
类型四：三角函数线的应用
例4．若，求证：.
【思路点拨】利用正弦、余弦的三角函数线去证明。
【证明】
如图，设角的终边与单位圆相交于点P，单位圆与x轴正半轴的交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于点T，过点P作PM⊥OA于点M，连接AP，则：
在Rt△POM中，sin=MP；
在Rt△AOT中，tan=AT。
又根据弧度制的定义，有。
易知S△POA＜S扇形POA＜S△AOT，
即，
即sin＜＜tan。
【总结升华】三角函数线是几何图形来表示数，即用几何方法表示三角函数值，是数形结合的有利工具，因此在三角证明求值等问题中，常会有意想不到的作用。
例5．（2015春 安徽泗县月考）利用单位圆，求适合下列条件的角的集合：
（1）
（2）．
【思路点拨】在单位圆中画出三角函数线．
（1）由[0，2π）内，，结合正弦线得的解集；
（2）由[0，2π）内，，结合余弦线得的解集．
【答案】（1）；（2）
【解析】在单位圆内作三角函数线如图：
/
（1）∵在[0，2π）内，，
OA，OB分别为，的终边，由正弦线可知，
满足的角的终边在劣弧AB内，
∴的解集为；
（2）∵在[0，2π）内，，
OC，OD分别为，的终边，由余弦线可知，
满足的终边在劣弧CD内，
∴的解集为．
【总结升华】利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如或的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用．
举一反三：
【变式1】 求满足的的取值范围。
【答案】
【解析】作直线与单位圆交于A、B两点，连接OA、OB，阴影部分便是角的终边范围，如图所示。
终边在OA上的最小正角为，终边在OB上的最小正角为。
∴角的集合为。
类型五：三角函数定义域的求法
例6．求函数的定义域
【思路点拨】要使式子有意义，则必须使被开方数大于等于零，然后再解三角不等式。
【答案】
【解析】 ∵sin2x＞0，∴2kπ＜2x＜2kπ+π（k∈Z），
∴（k∈Z）。 ①
又9－x2≥0，∴－3≤x≤3。 ②
求①与②的交集如图所示，
得或。
故函数的定义域为。
【总结升华】求函数的定义域是一种重要题型，要注意利用数形结合的方法求解，特别注意tan本身的定义域；在求不等式的交集时，应注意利用数轴求解，有些三角不等式，我们还可以利用单位圆来求解。
举一反三：
【变式1】求函数的定义域。
【答案】
【解析】 由题意得。
由图可知：
sin x≥0时，角x的终边落在图中横线阴影部分；
tan x≤1时，角x的终边落中图中竖线阴影部分。
从终边落在双重阴影部分的角中排除使的角即为所求。
∴该函数的定义域为：
。
【变式2】求下列函数的定义域
（1）； （2）.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1），
（2），
【巩固练习】
1．若P（3，y）是角终边上的一点，且满足y＜0，，则tan=（ ）
A． B． C． D．
2．下列三角函数值结果为正的是（ ）
A．cos100° B．sin700° C． D．
3．化简的值是（ ）
A． B． C． D．
4．若角的终边落在直线上，则的值等于（ ）．
A． B． C．或 D．
5．若sin＜0且tan＞0，则（ ）
A． B． C． D．以上均不对
6．（2015 江西上饶模拟）已知点P（tan，cos）在第三象限，则角的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．已知，那么下列命题成立的是（ ）
A.若是第一象限角，则
B.若是第二象限角，则
C.若是第三象限角，则
D.若是第四象限角，则
8．已知点P（sin－cos，tan）在第一象限，则在[0，2π）内的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2015 河南信阳模拟）若，且角的终边经过点（x，2），则P点的横坐标x是________．
10．已知角的终边经过点P（）,且则的取值范围为 ．
11．若（k∈Z），则cos2=________；若，则=________．
12．方程在上有两个实数解，则实数的取值范围为 ．
13．（2015春 江西南城县期中）已知角的终边经过P（4a，－3a），（a≠0），求2sin+cos的值．
14．已知，
（1）比较、、的大小；（2）求证：．
15．求下列三角函数的定义域：
（1）；（2）．
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】 由知r=5，∴，∴．
2．【答案】C
【解析】 由于，在第三象限，∴．
3. 【答案】A
【解析】
4. 【答案】D
【解析】 ，
当是第二象限角时，；
当是第四象限角时，
5．【答案】D
【解析】 ∵sin＜0且tan＞0，∴是第三象限角，∴是第二、四象限角，∴与正负不确定，故A、B不对；而，C不对，故选D．
6．【答案】B
【解析】∵点P（tan，cos）在第三象限，
∴，
则角的终边在第二象限，
故选：B．
7. 【答案】D
【解析】画出三角函数线即可．
8．【答案】B
【解析】 由题意，得，∴，
∴或，k∈Z，
而∈（0，2π），．
9．【答案】
【解析】∵
∴为第Ⅱ象限或第Ⅲ象限的角
又由角的终边经过点P（x，2），
故为第Ⅱ象限角，即x＜0，
则
解得，或（舍去）
故答案为：．
10．【答案】
【解析】因为cosa≤0,sina>0，所以π/2≤a＜π，所以P在第二象限或在y轴的正半轴上，所以3a-9≤0，且a+2＞0，解得-2＜a≤3．
11．【答案】 （k∈Z）
【解析】 当（k∈Z）时，；
当时，有或（k∈Z），
∴（k∈Z）．
12．【答案】
【解析】在单位圆中画出正弦线，若要使方程有两个实根，即一个函数值，能得到两个与之对应，只能是，解之得：．
13．【答案】
【解析】由题意，r=5|a|，
若a＞0，r=5a，则，，；
若a＜0，r=－5a，则，，；
所以．
14．【解析】（1）设单位圆半径是1，sina=圆内小三角形面积S1×2，a=圆弧所围面积S2×2
tana=圆外大三角形面积S2×2，S3>S2>S2
所以：sina＜a＜tana
/
（2）在上图中，有三角形两边之和大于第三边，证得。
15．【解析】（1）如图（1），∵2cos x－1≥0，∴，
∴（k∈Z）．
（2）如图（2），∵3－4sin2x＞0，∴．
∴．
∴（k∈Z），
即（k∈Z）．