高中数学必修四知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：05【基础】同角三角函数关系

【基础】同角三角函数关系
【学习目标】
1.借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式: ，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法；
2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。
【要点梳理】
要点一：同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：
(2)商数关系：
(3)倒数关系：，，
要点诠释：
(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；
(2)是的简写；
(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取。
要点二：同角三角函数基本关系式的变形
1．平方关系式的变形：
，
2．商数关系式的变形
。
【典型例题】
类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值
例1．若，且是第三象限角，求cos，tan的值。
【思路点拨】由求，可利用公式，同时要注意角所在的象限。
【答案】
【解析】 ∵，是第三象限，
∴，
。
【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。在解答过程中如果角所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角所在象限不确定，则应分类讨论，有两种结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a给出，应就所在象限讨论。
举一反三：
【变式1】已知，求cos，tan的值。
【解析】因为，所以是第三或第四象限角。
由sin2+cos2=1得
。
当是第三象限角时，cos＜0，于是，
从而；
当是第四象限角时，cos＞0，于是，
从而。
类型二：利用同角关系求值
例2．已知：求：
（1）的值；（2）的值；
（3）的值；（4）及的值
【思路点拨】同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的恒等变形提供了工具与方法。
【答案】（1）（2）（3）0（4）或
【解析】（1）由已知

（2）
（3）
（4）由，解得或
【总结升华】本题给出了及三者之间的关系，三者知一求二，在求解的过程中关键是利用了这个隐含条件。
举一反三：
【变式1】已知，求下列各式的值：
（1）tan+cot；（2）sin3－cos3。
【解析】 由两边平方得。
（1）。
（2）
。
例3．已知：，求：
（1）；
（2）；
（3）。
【解析】（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
=
==
【总结升华】已知tan的值，求关于sin、cos的齐次式的值问题①如（1）、（2）题，∵cos≠0，所以可用cosn（n∈N*）除之，将被求式转化为关于tan的表示式，可整体代入tan=m的值，从而完成被求式的求值；②在（3）题中，求形如a sin2+b sincos+c cos2的值，注意将分母的1化为1=sin2+cos2代入，转化为关于tan的表达式后再求值。
举一反三：
【变式1】（2018春 甘肃会宁县期中）已知
（1）求sin和cos的值；
（2）求的值．
【解析】（1），
∴是第一或第三象限角，
当是第一象限角时，结合，有；
当是第三象限角时，结合，有；
（2）∵，，
∴原式
．
类型三：利用同角关系化简三角函数式
例4．（2018秋 湖北青山区期末）（1）化简：；
（2）已知为第二象限角，化简．
【思路点拨】（1）根号下利用同角三角函数间的基本关系变形，再利用二次根式的化简公式化简，约分即可得到结果；
（2）根号中的式子分子分母乘以分子，利用同角三角函数间的基本关系及二次根式的化简公式计算，约分后计算即可得到结果．
【答案】（1）－1；（2）
【解析】（1）∵0＜20°＜45°，
∴cos20°＞0，sin20°－cos20°＞0，
则原式；
（2）∵为第二象限角，
∴cos＜0，sin＞0，
则原式
．
举一反三：
【变式1】化简
（1）；
（2）；
【答案】（1）－1（2）
【解析】（1）原式=
（2）原式=
类型四：利用同角关系证明三角恒等式
例5．求证：（1）；
（2）。
【思路点拨】利用同角三角函数关系式对式子的左边或右边进行化简，使之与式子的另一边相同。
【证明】（1）左边
=右边，
∴原等式成立。
（2）左边

=右边，
∴原等式成立。
【总结升华】（1）在三角式的化简中，常常“化切为弦”，以减少函数种类。
（2）三角恒等式的证明方法灵活多变，因题而异，要细心观察两边的差异，灵活运用所学知识，本题也可从右到左证明。
举一反三：
【变式】求证：.
【解析】证法一：由题意知，所以.
∴左边=右边.
∴原式成立.
证法二：由题意知，所以.
又∵，
∴.
证法三：由题意知，所以.
，
∴.
【巩固练习】
1.下面四个命题中可能成立的一个是（　）
A. B.sinα=0且cosα=－1
C.tanα=1且cosα=－1 D.α在第二象限时，tanα=
2．若，，则m的值为（ ）
A．0 B．8 C．0或8 D．3＜m＜9
3．若，则使成立的的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
4．若，且是第二象限角，则tan的值等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2018 呼和浩特一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知sinαcosα =,则cosα－sinα的值等于（ ）
A．± B．± C． D．－
7．若，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．－2
8．若是方程的两根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．若，则 ； ．
10．化简：________．
11．化简：sin6+cos6+3sin2cos2=________．
12．（2018 上海）已知，是第二象限角，那么tan=________．
13．（2018秋 三峡区期中）（1）设a＜0，角的终边经过点P（－3a，4a），求sin+2cos的值；
（2）已知，求的值．
14．已知，求和的值.
15．sin、cos是方程8x2+6mx+2m+1=0的两根，且为第三象限角，若存在满足题意的m，求出m的值；若不存在，说明理由．
【答案与解析】
1.【答案】B
【解析】由sin2α+cos2α=1?可得A不正确．根据tanα=1，可得 sinα=cosα=或
，故C不正确．由tanα=，故D不正确，所以只有B正确．
2．【答案】C
【解析】 sin2+cos2=14m2－32m=0，∴m=0或m=8．
3. 【答案】D
【解析】
4． 【答案】A
【解析】∵，且为第二象限角，∴，∴．
5．【答案】D
【解析】∵，
∴原式．
故选：D．
6．【答案】B
7．【答案】A
【解析】设，，
∴．
8．【答案】B
9．【答案】；(在一象限时取正号，在三象限时取负号)．
10．【答案】sin
【解析】原式．
11．【答案】1
【解析】令sin2=m，cos2=n，则m+n=1．原式=m3+n3+3mn=(m+n)(m2+n2―mn)+3mn=(m+n)2―3mn+3mn=1．
12．【答案】
【解析】∵ ①，是第二象限角，
∴，即，
∴cos＜0，sin＞0，即sin－cos＞0，
∴，即 ②，
①+②得：，
①－②得：，
则，
故答案为：．
13．【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵a＜0，角的终边经过点P（－3a，4a），
∴，，
则原式；
（2）∵，
∴原式．
14．【解析】设，则
15．【解析】若存在，则，所以，
故9m2―8m―20=0，所以m=2或．
又是第三象限角，所以，所以m=2．