高中数学必修四知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：06【提高】同角三角函数关系

【提高】同角三角函数关系
【学习目标】
1.借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式: ，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法；
2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。
【要点梳理】
要点一：同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：
(2)商数关系：
(3)倒数关系：，，
要点诠释：
(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；
(2)是的简写；
(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取。
要点二：同角三角函数基本关系式的变形
1．平方关系式的变形：
，
2．商数关系式的变形
。
【典型例题】
类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值
例1．已知tan=－2，求sin，cos的值。
【思路点拨】先利用,求出sin=－2cos，然后结合sin2+cos2=1，求出sin，cos。
【解析】 解法一：∵tan=－2，∴sin=－2cos。 ①
又sin2+cos2=1， ②
由①②消去sin得(－2cos)2+cos2=1，即。
当为第二象限角时，，代入①得。
当为第四象限角时，，代入①得。
解法二：∵tan=－2＜0，∴为第二或第四象限角。
又由，平方得。
∴，即。
当为第二象限角时，。
。
当为第四象限角时，。
。
【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。在解答过程中如果角所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角所在象限不确定，则应分类讨论，有两种结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a给出，应就所在象限讨论。
举一反三：
【变式1】已知是的一个内角，且，求
【思路点拨】根据可得的范围：再结合同角三角函数的关系式求解.
【解析】为钝角，
由平方整理得
例2．已知cos=m（－1≤m≤1），求sin的值。
【解析】（1）当m=0时，角的终边在y轴上，
①当角的终边在y轴的正半轴上时，sin=1；
②当角的终边在y轴的负半轴上时，sin=－1。
（2）当m=±1时，角的终边在x轴上，此时，sin=0。
（3）当|m|＜1且m≠0时，
∵sin2=1―cos2=1―m2，
∴①当角为第一象限角或第二象限角时，，
②当角为第三象限角或第四象限角时，。
【总结升华】 当角的范围不确定时，要对角的范围进行讨论，切记不要遗漏终边落在坐标轴上的情况。
类型二：利用同角关系求值
例3．已知：求：
（1）的值；（2）的值；
（3）的值；（4）及的值
【思路点拨】同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的恒等变形提供了工具与方法。
【答案】（1）（2）（3）0（4）或
【解析】（1）由已知

（2）
（3）
（4）由，解得或
【总结升华】本题给出了及三者之间的关系，三者知一求二，在求解的过程中关键是利用了这个隐含条件。
举一反三：
【变式1】（2018春 广东韶关期中）已知0＜x＜π，sin、cos是方程的两实根，求：
（1）m的值；
（2）求sin、cos、tan的值；
（3）的值．
【答案】（1）；（2），，；（3）
【解析】（1）∵0＜＜π，sin、cos是方程的两实根，
∴，，
∵，
解得：；
（2）∵ ①，，
∴，
∴ ②，
联立①②解得：，，；
（3）∵，，
∴原式

．
例4．（2018春 河南灵宝市月考）已知tan=3，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【思路点拨】（1）将分式的分子和分母都除以cos，结合同角三角函数的商数关系可得关于tan的式子，再将tan=3代入即可；
（2）首先利用“1的代换”将分子化成sin2+cos2，然后将分式的分子和分母都除以cos2，结合同角三角函数的商数关系将原式化简成为关于tan的式子，最后将tan=3代入即可求出原式的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵原式
∴分子分母都除以cos，得
原式
（2）∵原式
∴将分子化成1=sin2+cos2，可得原式
再将分子分母都除以cos2，得
原式
【总结升华】①已知tan的值，求关于sin、cos的齐次式的值问题①如（1）题，∵cos≠0，所以可用cosn（n∈N*）除之，将被求式转化为关于tan的表示式，可整体代入tan=m的值，从而完成被求式的求值；②在（2）题中，求形如a sin2+b sincos+c cos2的值，注意将分母的1化为1=sin2+cos2代入，转化为关于tan的表达式后再求值。
举一反三：
【变式1】（1）已知tan=3，求sin2－3sincos+1的值；
（2）已知，求的值。
【解析】（1）∵tan=3，1=sin2+cos2，
∴原式
。
（2）由，得，解得：
∴
。
类型三：利用同角关系化简三角函数式
例5．化简：。
【解析】 解法一：原式
。
解法二：原式

。
解法三：原式


。
【总结升华】以上三种解法虽然思路不同，但是主要都是应用公式sin2+cos2=1，解法二和解法三都是顺用公式，而解法一则是逆用公式，三种解法中，解法一最为简单。这里，所谓逆用公式sin2+cos2=1，实质上就是“1”的一种三角代换：“1=sin2+cos2”，1的三角代换在三角函数式的恒等变形过程中有着广泛的应用。
举一反三：
【变式1】化简
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【答案】（1）－1（2）（3）略（4）略
【解析】（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
（4）原式=
=
=，
类型四：利用同角关系证明三角恒等式
例6．求证：。
【思路点拨】利用同角三角函数关系式对式子的左边或右边进行化简，使之与式子的另一边相同。
【解析】 证法一：右边

=左边。
证法二：左边，
右边，
所以左边=右边，原等式成立。
证法三：左边，
右边，
所以左边=右边，原等式成立。
【总结升华】 本题主要考查三角恒等式的证明方法。就一般情况而言，证明三角恒等式时，可以从左边推到右边，也可以从右边推到左边，本着化繁就简的原则，即从较繁的一边推向较简的一边；还可以将左、右两边同时推向一个中间结果；有时候改证其等价命题更为方便。但是，不管采取哪一种方式，证明时都要“盯住目标，据果变形”。化简证明过程中常用的技巧有：弦切互化，运用分式的基本性质变形，分解因式，回归定义等。
举一反三：
【变式1】求证：.
【解析】证法一：由题意知，所以.
∴左边=右边.
∴原式成立.
证法二：由题意知，所以.
又∵，
∴.
证法三：由题意知，所以.
，
∴.
【变式2】已知，求证：。
【证明】 ∵，∴，
∵，∴。
∴。
【巩固练习】
1．已知△ABC中，则cos A=（ ）
A． B． C． D．
2．化简的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2018 河南模拟）已知，则（ ）
A． B． C． D．－2
4．已知A是三角形的一个内角，sinA＋cosA = ,则这个三角形是 （ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．不等腰直角三角形 D．等腰直角三角形
5．已知是第三象限角，且，则 （ ）
A． B． C． D．
6．化简等于（ ）
A.sin5+cos5 B.sin5－cos5 C. －sin5+cos5 D. －sin5－cos5
7．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．若是方程的两根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知，，那么的值是 ．
10．（2018春 山东菏泽期中）若满足，则sin·cos的值为________．
11．________．
12．若，则的值为________________．
13．已知，，求的值．
14．（1）已知，且为第二象限角，求tan；
（2）已知sin=m（m≠0，m≠±1），求tan．
15．（2018春 山东潍坊期中）已知、是方程的两根．
（1）求m的值；
（2）求的值．
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】由知，A为钝角．
，又cosA＜0，故．
2．【答案】A
【解析】 原式=．
3．【答案】A
【解析】∵，
，
∴，
故选：A．
4．【答案】B
【解析】由已知得，，所以A是钝角．
5．【答案】A
【解析】由已知得，解得
6．【答案】D
【解析】原式=，因为，所以原式=．
7．【答案】B
【解析】
8．【答案】B
【解析】，又，所以
解得：，又，得，所以．
9．【答案】
【解析】
10．【答案】
【解析】，
故有

故答案为：．
11．【答案】－1
【解析】原式．
12．【答案】
【解析】原式=．
13．【答案】
【解析】∵，
∴．
∴sin和cos的符号相反．又∵，∴．
∴sin＞0，cos＜0．∴sin－cos＞0．
∴．
∴．
14．【解析】（1）∵，为第二象限角，
∴，
∴．
（2）∵sin=m（m≠0，m≠±1），
∴（当为第一、四象限角时取正号，当为第二、三象限角时取负号）．
∴当为第一、四象限角时，；
当为第二、三象限角时，．
15．【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由条件利用韦达定理可得，
化简可得．
（2）
．