高中数学必修四知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：07【基础】三角函数的诱导公式

【基础】三角函数的诱导公式
【学习目标】
1．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(的正弦、余弦、正切)；
2．掌握并运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式.
【要点梳理】
要点一：诱导公式
诱导公式一：，，，其中
诱导公式二： ， ，，其中
诱导公式三： ， ，，其中
诱导公式四：， ，，其中
诱导公式五：， ，其中
诱导公式六：， ，其中
要点诠释：
(1)要化的角的形式为(为常整数)；
(2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；
(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；
(4)；.
要点二：诱导公式的记忆
记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角(为常整数)的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号.
要点三：三角函数的三类基本题型
(1)求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值.
①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；
②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；
③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解.
求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取.
(2)化简题型：化简三角函数式的一般要求是：能求出值的要求出值；函数种类要尽可能少；化简后的式子项数最少，次数最低，尽可能不含根号.
(3)证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简.
化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式.
【典型例题】
类型一：利用诱导公式求值
例1．求下列各三角函数的值：
（1）；（2）；（3）tan（－855°）．
【思路点拨】利用诱导公式把所求角化为我们熟悉的锐角去求解．
【答案】（1）（2）（3）1
【解析】（1）
．
（2）．
（3）tan(－855°)=tan(－3×360°+225°)=tan225°=tan(180°+45°)=tan45°=1．
【总结升华】（1）对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途径，完成求值．
（2）运用诱导公式求任意三角函数值的过程的本质是化任意角的三角函数为锐角三角函数的过程，而诱导公式就是这一转化的工具．
举一反三：
【变式1】（2018秋 南京期末）已知，其中．
（1）求cos x的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵，，
∴；
（2）∵，，
∴原式．
例2．（1）已知，求的值．
（2）已知，且为第四象限角，求sin(105°+)的值．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）∵，
∴．
（2）∵，且为第四象限角，
∴―75°是第三象限角，
∴，
∴．
【总结升华】注意观察角，若角的绝对值大于2π，可先利用2kπ+转化为0～2π之间的角，然后利用π±、2π－等形式转化为锐角求值，这是利用诱导公式化简求值的一般步骤．
举一反三：
【变式1】已知，其中为第三象限角，求cos(105°―)+sin(―105°)的值．
【答案】
【解析】∵cos(105°－)=cos[180°－(75°+)]=－cos(75°+)=,
sin(―105°)=―sin[180°－(75°+)]=－sin(75°+)，
∵为第三象限角，
∴75°+为第三、四象限角或终边落在y轴负半轴上．
又cos(75°+)=＞0，∴75°+为第四象限，
∴．
∴．
【总结升华】 解答这类给值求值的问题，关键在于找到已知角与待求角之间的相互关系，从而利用诱导公式去沟通两个角之间的三角函数关系，如：75°+=180°－(105°－)或105°－=180°－(75°+)等．
类型二：利用诱导公式化简
例3．（2018春 陕西长安区期中）（1）计算cos300°―sin(―330°)+tan675°
（2）化简（n∈Z）．
【思路点拨】（1）原式各项中的角度变形后，利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数计算即可得到结果；
（2）原式利用诱导公式化简，约分即可得到结果．
【答案】（1）－1；（2）
【解析】
（1）原式=cos(360°―60°)+sin(360°―30°)+tan(720°―45°)=cos60°―sin30°―tan45°=；
（2）原式．
【总结升华】诱导公式应用的原则是：负化正，大化小，化到锐角就终了．
举一反三：
【变式1】（2017 江苏连云港月考）化简与求值：
（1）．
（2）．
【答案】（1）；（2）1
【解析】（1）．
（2）．
类型三：利用诱导公式进行证明
例4． 求证：．
【思路点拨】（1）要证明的等式左边有切有弦，而等式右边只有切；
（2）等式左边较复杂但却可以直接利用诱导公式．
解答本题可直接把左式利用诱导公式进行化简推出右边．
【证明】左边


=右边，原式得证．
【总结升华】利用诱导公式证明等式 ，主要思路在于如何配角，如何去分析角之间的关系．
举一反三：
【变式1】设A、B、C为的三个内角，求证：
（1）；
（2）；
（3）
【证明】（1）左边==右边，等式得证．
（2）左边===右边，等式得证．
（3）左边==右边，等式得证．
【变式2】设．求证：．
【证明】左边
=右边．
∴等式成立
【巩固练习】
1．对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是（　　 ）
A．α一定是锐角 　　　　　　　　　B．0≤α＜2π
C．α一定是正角 　　　　　　　　　D．α是使公式有意义的任意角
2．已知，，则下列不等式关系中必定成立的是（ ）
A．sin＜0，cos＞0 B．sin＞0，cos＜0
C．sin＞0，cos＞0 D．sin＜0，cos＜0
3．的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2017 贵州模拟）已知，则cos（25°－α）的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2018 四川广安模拟）已知，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
6．在直角坐标系，若与的终边关于y轴对称，则下列等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．sin·cos·tan的值是（ ）
A．－ B． C．－ D．
8．等于（ ）
A．sin2－cos2 B．cos2－sin2 C．±（sin2－cos2） D．sin2+cos2
9．tan2010°的值为 ．
10．（2018秋 苏州期末）已知是第三象限角，且，则________．
11．sin315°―cos135°+2sin570°的值是________。
12．已知，则，则________。
13．（2017 湖北荆州区期末）在平面直角坐标系中，已知角α的终边经过点P（－3，4）
（1）求sinα和cosα的值；
（2）化简并求值：．
14．已知，
求的值。
15．在△ABC中，若，，求△ABC的三个内角。
【答案与解析】
1．【答案】D
2．【答案】B
【解析】，∴，，∴。
3．【答案】C
【解析】
4．【答案】B
【解析】∵，
∴．
故选B．
5．【答案】B
【解析】因为与互余，
所以，
故选B．
6．【答案】C
【解析】（k∈Z），∴，对于C，成立。
7．【答案】C
【解析】原式===
8．【答案】A
【解析】原式=
9．【答案】
【解析】
10．【答案】
【解析】∵是第三象限角，且，
∴，
解得或，（舍）
∴，
∴．
故答案为：．
11．【答案】―1
【解析】原式=sin(360°―45°)―cos(180°―45°)+2sin(360°+210°)=―sin45°+cos45°+2sin210°=―2sin30°=―1。
12．【答案】
【解析】由，∴，，∴。
13．【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵角α的终边经过点P（－3，4），∴x=－3，y=4，r=5，
∴．
（2）
14．【解析】由，
得，
所以，
故
。
15．【解析】由已知得，，两式平方相加得2cos2A=1，∴，若，则，此时A、B均为钝角，不符合题意。
∴，∴，
∴，，。