高中数学必修四知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：08【提高】三角函数的诱导公式

【提高】三角函数的诱导公式
三角函数的诱导公式
【学习目标】
1．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(的正弦、余弦、正切)；
2．掌握并运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式.
【要点梳理】
要点一：诱导公式
诱导公式一：，，，其中
诱导公式二： ， ，，其中
诱导公式三： ， ，，其中
诱导公式四：， ，，其中
诱导公式五：， ，其中
诱导公式六：， ，其中
要点诠释：
(1)要化的角的形式为(为常整数)；
(2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；
(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；
(4)；.
要点二：诱导公式的记忆
记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角(为常整数)的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号.
要点三：三角函数的三类基本题型
(1)求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值.
①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；
②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；
③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解.
求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取.
(2)化简题型：化简三角函数式的一般要求是：能求出值的要求出值；函数种类要尽可能少；化简后的式子项数最少，次数最低，尽可能不含根号.
(3)证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简.
化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式.
【典型例题】
类型一：利用诱导公式求值
例1．求下列各三角函数的值：
（1）；
（2）
（3）
【思路点拨】利用诱导公式把所求角化为我们熟悉的锐角去求解．
【答案】（1）0（2）（3）
【解析】（1）原式=

（2）原式=
=
=
（3）原式=
=
=
=
【总结升华】（1）对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途径，完成求值．
（2）运用诱导公式求任意三角函数值的过程的本质是化任意角的三角函数为锐角三角函数的过程，而诱导公式就是这一转化的工具．
举一反三：
【变式】（1）；（2）；（3）tan（－855°）．
【答案】（1）（2）（3）1
【解析】（1）
．
（2）．
（3）tan(－855°)=tan(－3×360°+225°)=tan225°=tan(180°+45°)=tan45°=1．
例2．已知函数，其中a、b、、都是非零实数，又知f（2009）=－1，求f（2010）．
【解析】
．
∵f（2009）=－1 ∴．
∴
．
【总结升华】求得式子，它是联系已知和未知的纽带．解决问题的实质就是由未知向已知的转化过程，在这个转化过程中一定要抓住关键之处．
举一反三：
【变式1】（2018 湖北孝感期末）已知角α为第四象限角，且
（1）求sinα+cosα的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）－10
【解析】（1）因为角α为第四象限角，且，
∴，…
则．
（2）原式．
【变式2】已知，，且0＜＜π，0＜＜π，求和的值．
【解析】由已知得，．
两式平方相加，消去，得，
∴，而，
∴，∴或．
当时，，又，∴；
当时，，又，∴．
故，或，．
类型二：利用诱导公式化简
例3．化简
(1)；
(2).
【思路点拨】化简时，要认真观察“角”，显然利用诱导公式，但要注意公式的合理选用.
【答案】（1）-1（2）略
【解析】(1)原式；
(2)①当时，原式.
②当时，原式.
【总结升华】(1)诱导公式应用的原则是：负化正，大化小，化到锐角就终了；
(2)关键抓住题中的整数是表示的整数倍与公式一中的整数有区别，所以必须把分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论.
举一反三：
【变式1】化简
（1）；
（2）；
（3）
（4），．
【解析】（1）原式=
=
=
（2）
（3）原式==0
（4）由(kπ+)+(kπ―)=2kπ，[(k―1)π―]+[(k+1)π+]=2kπ，
得，
．
故原式．
【总结升华】 常见的一些关于参数k的结论：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
类型三：利用诱导公式进行证明
例4．设，求证：．
【思路点拨】证明此恒等式可采取从“繁”到“简”，从左边到右边的方法．
【证明】证法一：左边
=右边．
∴等式成立．
证法二：由，得，
∴左边
=右边，
∴等式成立．
举一反三：
【变式1】设A、B、C为的三个内角，求证：
（1）；
（2）；
（3）
【解析】（1）左边==右边，等式得证．
（2）左边===右边，等式得证．
（3）左边==右边，等式得证．
【变式2】求证：．
证明：∵左边
，
右边，
∴左边=右边，故原式得证．
类型四：诱导公式的综合应用
例5．（2017秋 浙江岱山县月考）
（1）化简；
（2）若是第三象限角，且，求的值；
（3）若=－1860°，求的值．
【思路点拨】（1）利用诱导公式对化简即可；
（2）由，是第三象限，即可求得的值；
（3）由于=－1860°=―1800°―60°，利用诱导公式即可求得的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）∵
；
（2）∵，
∴，
又是第三象限角，
∴，
∴；
（3）∵=－1860°，
∴．
【总结升华】这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱．
举一反三：
【变式1】已知、均为锐角，，若，求的值．
【解析】由得
，又、均为锐角．
则，即．
于是，．
【巩固练习】
1．sin585°的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2018 江西上饶月考）已知，且α是第四象限角，则sin（－2π+α）=（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则的值等于（ ）
A．―1 B．1 C． D．0
4．等于（ ）
A．sin2－cos2 B．cos2－sin2 C．±（sin2－cos2） D．sin2+cos2
5．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2017 成都模拟）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2013 D．2014
7．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．计算：＝ ．
10．若，为第三象限角，则的值是 ．
11．（2017 江西一模）已知，则值为________．
12．（2018 湖南益阳月考）已知，求：的值．
13．已知、均为锐角，。若，求的值。
14．化简：，k∈Z
15．（2017春 湖南株洲月考）已知是方程5x2―7x―6=0的根，是第三象限角．
（1）分别求sin，cos，tan的值；
（2）求．
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】sin585°=sin(360°+225°)=sin225°=sin(180°+45°)=－sin45°=。
2．【答案】A
【解析】由，得，又因α是第四象限角，
∴．
故选A．
3．【答案】A
【解析】。
4．【答案】A
【解析】原式=
5．【答案】B
【解析】原式=，由。
而，∴。
原式=sincos=3cos2=。
6．【答案】C
【解析】∵ ，
∴ ．
∴
．
故选：C．
7．【答案】B
【解析】，因为，
所以。故选B。
8．【答案】A
【解析】因为，，故
9．【答案】0
【解析】原式===
10．【答案】
【解析】原式==
=
=
11．【答案】
【解析】∵，，
∴，
又，
∴．
故答案为：．
12．【答案】－3
【解析】，
又，
∴原式．
13．【解析】由，得。
又、均为锐角，则，即。
于是，。
14．【解析】（1）当k=2n，n∈Z时，
原式
。
（2）当k=2n+1，k∈Z时，
原式
。
15．【答案】（1）；（2）－1
【解析】（1）∵sin是方程5x2―7x―6=0的根，是第三象限角，∴－1＜sin＜0，
且，∴，或，
∴，，
（2）．