人教版数学九年级上册同步课时训练
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.3 因式分解法
自主预习 基础达标
要点1 因式分解法解一元二次方程
1. 因式分解法的定义：先 ，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别 ，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
2. 因式分解法的理论依据：两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个等于0，用式子表示为：若a·b＝0，则 .
要点2 用适当的方法解一元二次方程
解一元二次方程的方法有： 、 、 和公式法.
课后集训 巩固提升
1. 方程(x－10)(x＋6)＝0的根是( )
A. x1＝－10，x2＝6 B. x1＝10，x2＝－6
C. x1＝10，x2＝6 D. x1＝－10，x2＝－6
2. 解方程4(7x－1)2＝3(7x－1)最适当的方法应是( )
A. 直接开平方法 B. 配方法
C. 公式法 D. 因式分解法
3. 方程5x(x＋3)＝3(x＋3)的解为( )
A. x1＝，x2＝3 B. x＝
C. x1＝－，x2＝－3 D. x1＝，x2＝－3
4. 若方程(x－2)(3x＋1)＝0，则3x＋1的值为( )
A. 7 B. 2 C. 0 D. 7或0
5. 已知x2－15xy＋50y2＝0，则的值是( )
A. 5 B. 10 C. －5或－10 D. 5或10
6. 已知三角形的两边长是方程x2－5x＋6＝0的两个根，则该三角形的周长L的取值范围是( )
A. 17. 关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1(a，m，b为常数，a≠0)，则方程a(x＋m＋2)2＋b＝0的解是 .
8. 已知直角三角形两边长x，y满足|x2－4|＋＝0，则第三边长为 .
9. 用因式分解法解下列方程：
(1)(2x＋1)2－x2＝0； (2)(x－1)(x＋2)＝2(x＋2)；
(3)x2＋3x－4＝0； (4)(2x－1)2＋3(2x－1)＋2＝0；
(5)(x－1)(x＋3)＝12.
10. 用适当的方法解下列方程：
(1)2(x＋1)2＝4.5； (2)x2＋4x－1＝0；
(3)4x2＋3x－2＝0.
11. 若一个等腰三角形的两边长是方程(x－2)(x－4)＝0的两根，求此三角形的周长.
12. 已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程x(x－7)－10(x－7)＝0的一个根，求这个三角形的周长.
13. 已知和都有意义，且a是整数，试解关于x的一元二次方程x2－5＝x(ax－2)－2.
14. 阅读材料，回答问题.
材料：为解方程x4－x2－6＝0，可将方程变形为(x2)2－x2－6＝0，然后设x2＝y，则(x2)2＝y2，原方程化为y2－y－6＝0，①
解得y1＝－2，y2＝3.
当y＝－2时，x2＝－2无意义，舍去；
当y＝3时，x2＝3，解得x＝±.
所以，原方程的解为x1＝，x2＝－.
问题：
(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想.
(2)利用本题的解题方法，解下列方程.
(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0.
15. 阅读题中例子，回答问题：
例：解方程x2－|x－1|－1＝0.
(1)解：当x－1≥0，即x≥1时，原方程可化为x2－(x－1)－1＝0，x2－x＝0，
解得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝1.
(2)当x－1<0，即x<1时，原方程可化为x2＋(x－1)－1＝0，x2＋x－2＝0，
解得x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝－2.
综上所述，原方程的解是x＝1或x＝－2.
依照上例解法，解方程x2＋2|x＋2|－4＝0.
参考答案
自主预习 基础达标
要点1 1. 因式分解 等于0 2. a＝0或b＝0
要点2 直接开平方法 因式分解法 配方法
课后集训 巩固提升
1. B 2. D 3. D 4. D 5. D 6. D
7. x1＝－4，x2＝－1
8. 2或或
9. 解：(1)分解因式，得[(2x＋1)＋x][(2x＋1)－x]＝0，即(3x＋1)(x＋1)＝0，3x＋1＝0或x＋1＝0.x1＝－，x2＝－1.
(2)移项，得(x－1)(x＋2)－2(x＋2)＝0.因式分解，得(x＋2)(x－3)＝0.x＋2＝0或x－3＝0.x1＝－2，x2＝3.
(3)分解因式，得(x－1)(x＋4)＝0.x－1＝0或x＋4＝0.x1＝1，x2＝－4.
(4)因式分解，得[(2x－1)＋1][(2x－1)＋2]＝0，即2x(2x＋1)＝0.2x＝0或2x＋1＝0.x1＝0，x2＝－.
(5)x2－x＋3x－3－12＝0，x2＋2x－15＝0，(x－3)(x＋5)＝0，∴x1＝3，x2＝－5.
10. 解：(1)整理得，(x＋1)2＝2.25.直接开平方得，x＋1＝±1.5.∴x1＝0.5，x2＝－2.5.
(2)配方得，(x＋2)2＝5.开平方得，x＋2＝±.∴x1＝－2＋，x2＝－2－.
(3)a＝4，b＝3，c＝－2.b2－4ac＝32－4×4×(－2)＝41>0.∴x＝＝.∴x1＝，x2＝.
11. 解：由题意得，方程(x－2)(x－4)＝0的两根分别为2和4，即等腰三角形的两边长分别为2和4，由三角形三边关系知，此三角形的腰长只能为4，即三边长为4，4，2.故该三角形的周长为10.
12. 解：方程x(x－7)－10(x－7)＝0可化为(x－7)(x－10)＝0，∴x1＝7，x2＝10.当x＝10时，3＋7＝10，∴x2＝10不合题意，舍去；当x＝7时，3＋7＋7＝17，∴这个三角形的周长为17.
13. 解：由题意，得2a＋1≥0，3－2a＞0.∴－≤a＜，又∵a是整数，∴a＝0或1，原方程整理，得(a－1)x2－2x＋3＝0.∵a－1≠0，即a≠1，∴当a＝0时，原方程变为x2＋2x－3＝0，解得x1＝1，x2＝－3.
14. 解：(1)换元 转化
(2)令x2－x＝y，则原方程可化为y2－4y－12＝0，即(y＋2)(y－6)＝0.所以y＋2＝0或y－6＝0，解得y1＝－2，y2＝6.当y＝－2时，x2－x＝－2，即x2－x＋2＝0，此方程无解；当y＝6时，x2－x＝6，(x＋2)(x－3)＝0，解得x1＝－2，x2＝3.所以，原方程的解为x1＝－2，x2＝3.
