人教版数学九年级上册同步课时训练
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
自主预习 基础达标
要点1 一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数.a≠0，b2－4ac≥0)的两个实数根为x1，x2，则x1＋x2＝ ，x1·x2＝ .
要点2 一元二次方程的根与系数的关系的应用
1. 如果x1，x2是方程x2＋px＋q＝0的两个根，那么x1＋x2＝ ，x1·x2＝ .
2. 利用一元二次方程根与系数的关系求方程中字母系数的值时，不要忘记将字母代回原方程验证，需满足 ，因为根与系数的关系是在一元二次方程根的判别式 的前提下使用的.
课后集训 巩固提升
1. 若x1，x2是一元二次方程x2＋8x＋15＝0的两个根，则x1＋x2的值是( )
A. －8 B. 8 C. －15 D. 15
2. 已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，则x1x2等于( )
A. －4 B. －1 C. 1 D. 4
3. 已知x1，x2是一元二次方程x2＋2ax＋b＝0的两根，且x1＋x2＝3，x1x2＝1，则a，b的值分别是( )
A. a＝－3，b＝1 B. a＝3，b＝1
C. a＝－，b＝－1 D. a＝－，b＝1
4. 若关于x的一元二次方程x2－3x＋p＝0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2－ab＋b2＝18，则＋的值是( )
A. 3 B. －3 C. 5 D. －5
5. 如果关于x的方程x2＋mx＋n＝0的一个根是另一根的2倍，那么m，n之间的关系为( )
A. 2m2＝n B. 2m2＝9n C. m2＝9n D. m＋n＝0
6. 若关于x的一元二次方程x2＋kx＋4k2－3＝0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1＋x2＝x1·x2，则k的值为( )
A. －1或 B. －1 C. D. 不存在
7. 设x1，x2是方程x2－4x＋m＝0的两个根，且x1＋x2－x1x2＝1，则x1＋x2＝ ，m＝ .
8. 若0和－3是方程x2＋px＋q＝0的两根，则p＋q＝ .
9. 已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝ .
10. 已知x1，x2是方程x2－3x－2＝0的两个实数根，则(x1－2)(x2－2)＝ .
11. 已知实数m，n满足3m2＋6m－5＝0，3n2＋6n－5＝0，则＋＝ .
12. 不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：
(1)x2＋2x＋1＝0； (2)2x2＋3＝7x2＋x；
(3)5x－5＝6x2－4.
13. 若x1，x2是一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根，求下列代数式的值.
(1)(x1－x2)2； (2)(x1＋)(x2＋).
14. 关于x的方程3x2＋mx－8＝0有一个根是，求另一个根及m的值.
15. 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2＋1＝0的两个实数根，当x＋x＝15时，求m的值.
16. 已知关于x的一元二次方程x2－2x－a＝0.
(1)如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；
(2)如果此方程的两个实数根为x1，x2，且满足＋＝－，求a的值.
17. 已知关于x的方程x2＋2(a－1)x＋a2－7a－4＝0的两个根为x1，x2，且满足x1x2－3x1－3x2－2＝0，求(1＋)·的值.
18. 已知关于x的方程(x－3)·(x－2)－p2＝0.
(1)求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)设方程两实数根分别为x1，x2，且满足x＋x＝3x1x2，求实数p的值.
19. 已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2－(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边BC的长为5.试问：k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
参考答案
自主预习 基础达标
要点1 －
要点2 1. －p q 2. Δ≥0 大于或等于0
课后集训 巩固提升
1. A 2. C 3. D 4. D 5. B 6. C
7. 4 3
8. 3
9. 25
10. －4
11. －
12. 解：(1)x1＋x2＝－2，x1x2＝1.
(2)整理得5x2＋x－3＝0，x1＋x2＝－，x1x2＝－.
(3)整理得6x2－5x＋1＝0，x1＋x2＝，x1x2＝.
13. 解：根据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝－.
(1)解：(x1－x2)2＝x＋x－2x1x2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝()2－4×(－)＝.
(2) 解：(x1＋)(x2＋)＝x1x2＋1＋1＋＝－＋2－2＝－.
14. 解：设方程的另一个根是x1，由一元二次方程根与系数的关系，得 由②得x1＝－4，代入①，得＋(－4)＝－，解得m＝10.所以，方程的另一个根是－4，m的值是10.
15. 解：根据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m2＋1，∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝[－(2m＋1)]2－2(m2＋1)＝2m2＋4m－1.∵x＋x＝15，∴2m2＋4m－1＝15，∴m1＝－4，m2＝2.又∵方程有两个实数根，∴Δ≥0，即(2m＋1)2－4×1×(m2＋1)≥0，解得m≥.∴m＝2.
16. 解：(1)由题意得，Δ＝4＋4a＞0，∴a＞－1.
(2)由题意得，且＋＝－，即＝－，代入得＝－，∴a＝3.
17. 解：∵关于x的方程x2＋2(a－1)x＋a2－7a－4＝0的两个根为x1，x2，∴x1＋x2＝2－2a，x1x2＝a2－7a－4.∵x1x2－3x1－3x2－2＝x1x2－3(x1＋x2)－2＝0，∴a2－7a－4－3(2－2a)－2＝0，解得a1＝－3，a2＝4.又∵方程有两个根，∴Δ＝4(a－1)2－4(a2－7a－4)≥0，即a≥－1，∴a＝4.(1＋)·＝，把a＝4代入得，原式＝＝2.
18. 解：(1) (x－3)(x－2)－p2＝0，x2－5x＋6－p2＝0，Δ＝(－5)2－4×1×(6－p2)＝25－24＋4p2＝1＋4p2，∵无论p取何值时，总有4p2≥0，∴1＋4p2＞0，∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根.
(2) x1＋x2＝5，x1x2＝6－p2，∵x＋x＝3x1x2，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝3x1x2，即(x1＋x2)2＝5x1x2，∴52＝5(6－p2)，∴p＝±1.
19. 解：设边AB＝a，AC＝b，∵a，b是方程x2－(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根，∴a＋b＝2k＋3，a·b＝k2＋3k＋2.又∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC＝5，∴a2＋b2＝52，即(a＋b)2－2ab＝52，∴(2k＋3)2－2(k2＋3k＋2)＝25，∴k2＋3k－10＝0，解得k＝－5或k＝2.当k＝－5时，
