课件52张PPT。第三章 概率3.1 随机事件的概率
3.1.1 随机事件的概率
3.1.2 概率的意义【知识与技能】
(1)了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念.
(2)正确理解事件A发生的频率的意义.
(3)正确理解概率的概念和意义,明确事件A发生的频率fn(A)与事件A发生的概率P(A)的区别与联系.
(4)利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题.三维目标【过程与方法】
发现法教学,通过在抛硬币、抛骰子的试验中获取数据,归纳总结试验结果,发现规律,真正做到在探究中学习,在探究中提高;通过对现实生活中 “游戏的公平性”“彩票中奖”等问题的探究,感知应用数学知识解决数学问题的方法,理解逻辑推理的数学方法.
【情感、态度与价值观】
(1)通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识,体会数学知识与现实世界的联系.
(2)培养学生的辩证唯物主义观点,增强学生的科学意识.三维目标重点难点【重点】
事件的分类;概率的定义以及和频率的区别与联系,概率的意义.
【难点】
对概率含义的正确理解,用概率的知识解释现实生活中的具体问题.1.教学中要引导学生从日常生活中的实例出发,动手实验,正确理解随机事件发生的不确定性及规律性,并结合实例,对概率的意义作出正确的理解.
2.在教学中要注意引导学生建立事件与集合的联系,便于利用集合表示的直观性来研究事件,且便于弄清各种事件间的关系,从而可将概率知识的学习进一步深化.教学建议新课导入【导入一】
1名数学家=10个师:
在第二次世界大战中,美国曾经宣布:一名优秀数学家的作用超过10个师的兵力.这句话有一个非同寻常的来历.
1943年以前,在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击,当时,英美两国限于实力,无力增派更多的护航舰,一时间,德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额.
为此,有位美国海军将领专门去请教了几位数学家,数学家们运用概率论分析后发现,舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件,从数学角度来看这一问题,它具有一定的规律性.新课导入一定数量的船(为100艘)编队规模越小,编次就越多(为每次20艘,就要有5个编次),编次越多,与敌人相遇的概率就越大.美国海军接受了数学家的建议,命令舰队在指定海域集合,再集体通过危险海域,然后各自驶向预定港口.结果奇迹出现了:盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25%降为1%,大大减少了损失,保证了物资的及时供应.新课导入 在自然界和实际生活中,我们会遇到各种各样的现象.如果从结果能否预知的角度来看,可以分为两大类:一类现象的结果总是确定的,即在一定的条件下,它所出现的结果是可以预知的,这类现象称为确定性现象;另一类现象的结果是无法预知的,即在一定的条件下,出现哪种结果是无法预先确定的,这类现象称为随机现象.随机现象是我们研究概率的基础,为此我们学习随机事件的概率.
(2)生活中,我们经常听到这样的评论:“天气预报说昨天降水概率为90%,结果根本一点雨都没下,天气预报也太不准确了.”这是真的吗?为此我们必须学习概率的意义.新课导入【导入二】
问题情景
1.观察下列现象发生与否,各有什么特点?
(1)在标准大气压下,把水加热到100 ℃,沸腾;
(2)导体通电,发热;
(3)同性电荷,互相吸引;
(4)实心铁块丢入水中,铁块浮起;
(5)买一张福利彩票,中奖;
(6)掷一枚硬币,正面朝上.
新课导入引导学生分析:(1)(2)两种现象必然发生,(3)(4)两种现象不可能发生,(5)(6)两种现象可能发生,也可能不发生.
2.思考1:既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5,那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币,一定是一次正面朝上,一次反面朝上,你认为这种说法正确吗?
教师引导学生做试验:每个同学连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币,统计全班同学的试验结果:新课导入?预习探究一定会发生事件的概念及分类一定不会发生可能发生也可能不发生知识点一预习探究[讨论] 随机事件概念中的“在条件S下”能否去掉?解:不能.事件是试验的结果,而在不同条件下试验的结果往往是不一样的.如常温下水是液态的,能流动,若在零下10 ℃时,就是不可能事件,在零上5 ℃时,就是必然事件.预习探究在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的 为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)= 为事件A出现的频率.?频数与频率知识点二次数nA?预习探究 [探究] 频率就是概率,这种说法正确吗?解:这种说法不正确.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的值;而概率是一个确定的值,通常通过大量的重复试验,用随机事件发生的频率作为它的概率的估计值.预习探究概率知识点三1.含义:概率是度量随机事件发生的 的量.?
2.概率的统计意义:在相同的条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的
会在某个常数附近摆动,即随机事件A发生的频率具有 .这时,这个常数叫作随机事件A的概率,记作P(A).P(A)的取值范围是0≤P(A)≤1.?可能性大小 频率稳定性预习探究 [讨论] 随机事件A的概率P(A)能反映事件A发生的确切情况吗?解:不能,只能反映事件A发生的可能性的大小.预习探究3.与频率联系:对于给定的随机事件A,由于事件A发生的 随着试验次数的增加稳定于 ,因此可以用 来估计 .?
4.概率的意义:随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机性中含有 .认识了这种随机性中的 ,就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性.即用概率的大小反映事件A发生的可能性,但在一次试验中仍有 ,即事件A可能发生也可能不发生.?频率fn(A)概率P(A)频率fn(A)概率P(A)规律性规律性两种可能预习探究 [讨论] (1)随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有什么关系?解:(1)随机事件的概率的大小表明了随机事件发生的可能性的大小,但并不表示概率大的事件一定发生,概率小的事件一定不发生.预习探究??预习探究5.三种常见的生活中的概率
(1)游戏的公平性:裁判员用抽签器决定谁先发球,不管哪一名运动员先猜,猜中并取得发球权的概率均为 ,所以这个规则是公平的.在设计某种游戏规则时,一定要考虑“这种规则对每个人都是公平的”这一重要原则.?
(2)决策中的概率思想:如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务,那么“使得样本出现的 ”可以作为决策的准则,这种判断问题的方法称为极大似然法.极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一.?0.5可能性最大预习探究(3)天气预报的概率解释:天气预报的“降水”是一个随机事件,“概率为90%”指明了“降水”这个随机事件发生的概率,并不代表天气现象的“有”或“无”,也不代表降雨量的“大”或“小”,而只代表了降雨出现的可能性大小,可能发生,也可能不发生.预习探究[讨论] 经统计,某篮球运动员的投篮命中率为90%,对此有人解释为其投篮100次一定有90次命中,10次不中,你认为这种解释正确吗?解:这种解释不正确.理由如下:
因为“投篮命中”是一个随机事件,90%是指“投篮命中”这个事件发生的概率.
我们知道,概率为90%的事件也可能不发生,所以这种解释不正确.备课素材1.随机事件的概念
(1)必然事件:我们把在条件S下,一定会发生的事件,叫作相对于条件S的必然事件,简称必然事件.例如,“导体通电时发热”“抛一石块下落”“在一定条件下,发芽种子一定会分蘖”等都是必然事件.
(2)不可能事件:在条件S下,一定不会发生的事件,叫作相对于条件S的不可能事件,简称不可能事件.
例如,“在标准大气压下且温度低于0 ℃时,冰融化”“在常温常压下,铁熔化”“发芽的种子不分蘖”等都是不可能事件.
备课素材(3)确定事件:必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件,简称为确定事件.
(4)随机事件:在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫作相对于条件S的随机事件,简称随机事件.
例如,“李强射击一次,不中靶”“掷一枚硬币,出现反面”“在一定条件下,一粒发芽种子会分多少蘖,1支,2支,还是3支……”都是随机事件.
(5)事件及其表示方法:确定事件和随机事件,一般用大写字母A,B,C,…表示.备课素材2.频率与概率之间的区别与联系
(1)频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近于概率,在实际问题中,通常事件发生的概率未知,常用频率作为它的估计值.
(2)频率本身是随机的,是一个变量,在试验前不能确定,做同样次数的重复试验得到的事件发生的频率会不同.比如,全班每个人都做了10次掷硬币的试验,但得到正面朝上的频率可以是不同的.
(3)概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次的试验无关,比如,如果一个硬币是质地均匀的,则掷硬币出现正面朝上的概率是0.5,与做多少次试验无关.
(4)二者都介于0~1之间,若P(A)=0,则A是不可能事件,若P(A)=1,则A是必然事件.
备课素材3.对概率意义的理解
(1)概率是从数量上反映了随机事件发生的可能性大小的一个数学概念,它是对大量重复试验来说存在的一种统计性规律,对单次试验来说,随机事件发生与否是随机的.
(2)错误认识的澄清:有人说:“既然抛掷一枚质地均匀的硬币出现正面的概率是0.5,那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币,一定是一次正面向上,一次反面向上”.这种说法显然是错误的.备课素材(3)概率是描述随机事件发生的可能性大小的度量,即:概率越大,事件A发生的可能性就越大;概率越小,事件A发生的可能性就越小.
(4)随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机性中含有规律性,认识了这种随机性中的规律性,就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性.考点类析例1 (1)下列事件中是确定事件的是 ( )
A.2020年奥运会期间不下雨
B.没有水,种子发芽
C.对任意x∈R,有x+1>2x
D.抛掷一枚硬币,正面朝上
事件的判定与概率的意义B[解析] (1)根据事件的概念,易知“没有水,种子发芽”是不可能事件,是确定事件.
考点一考点类析例1 (2)“李晓同学一次掷出3枚骰子,3枚全是6点”是( )
A.不可能事件
B.必然事件
C.可能性较大的随机事件
D.可能性较小的随机事件
D[解析] (2)掷出的3枚骰子全是6点,可能发生,但发生的可能性较小.
考点类析例1 (3)在天气预报中,有“降水概率预报”.例如,预报“明天降水概率为85%”,这是指( )
A.明天该地区有85%的地区降水,其他15%的地区不降水
B.明天该地区约有85%的时间降水,其他时间不降水
C.气象台的专家中,有85%的人认为会降水,另外15%的人认为不降水
D.明天该地区降水的可能性为85%
D[解析] (3)概率的本质含义是事件发生的可能性大小,因此D正确.
考点类析变式 (1)下列事件中随机事件的个数是( )
①某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军;
②某人给其朋友打电话,却忘记他朋友的电话号码的最后一位数字,就随意在键盘上按了一个数字,恰巧是他朋友的电话号码;
③同时掷两枚骰子,向上一面的两个点数之和为13;
④同时掷两枚骰子,向上一面的两个点数之和不小于2.
A.0 B.1 C.2 D.3
C考点类析[解析] (1)①②可能发生也可能不发生,是随机事件;同时掷两枚骰子,向上一面的两个点数之和最大为12,因此“向上一面的两个点数之和为13”不可能发生,因此③是不可能事件;“向上一面的两个点数之和不小于2”一定发生,因此④是必然事件.
考点类析变式 (2)给出下列四个命题:①“三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件;②当“x为某一实数时可使x2<0”是不可能事件;③“每年的国庆节都是晴天”是必然事件;④“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个,5个都是次品”是随机事件.其中真命题的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
B[解析] (2)“每年的国庆节都是晴天”是随机事件,故③是假命题;易知①②④是真命题.
考点类析试验及重复试验的结果的分析考点二例2 指出下列试验的条件和结果:
(1)某人射击一次,命中的环数;
(2)从装有大小相同但颜色不同的a,b,c,d这4个球的袋中,任取1个球;
(3)从装有大小相同但颜色不同的a,b,c,d这4个球的袋中,一次任取2个球.
解:(1)条件为射击一次;结果为命中的环数,有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,共11种.
(2)条件为从袋中任取1个球;结果为取出的1个球是a,b,c,d,共4种.
(3)条件为从袋中任取2个球;若记(a,b)表示一次取出的2个球是a和b,则试验的全部结果为(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共6种.考点类析变式 某人做试验,从一个装有标号分别为1,2,3,4四个小球的盒子中,不放回地取出两个小球,每次取一个,记先取出的小球的标号为x,后取出的小球的标号为y,这样构成有序实数对(x,y).
(1)写出这个试验的所有结果;
(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件.
解:(1)当x=1时,y=2,3,4;当x=2时,y=1,3,4;当x=3时,y=1,2,4;当x=4时,y=1,2,3. 因此,这个试验的所有结果是(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),共12种.
(2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A,则A={(2,1),(2,3),(2,4)}.考点类析[小结] 在解答此种类型题目的过程中,易出现结果重复或遗漏的错误,导致该种错误的原因是没有按一定的次序列出结果.考点类析拓展 先后抛掷两枚质地均匀的硬币,则:
(1)一共可能出现多少种不同的结果?
(2)出现“一枚正面,另一枚反面”的情况有几种?解:(1)一共可能出现“两枚正面”“两枚反面”“第一枚正面,第二枚反面”“第一枚反面,第二枚正面”4种不同的结果.
(2)出现“一枚正面,另一枚反面”的情况有2种.考点类析随机事件的频率和概率考点三??B考点类析例3 (2)某河流上的一座水力发电站每年六月份的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位:毫米)有关.据统计,当X=70时,Y=460;X每增加10,Y增加5.已知近20年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160,则如下的频率分布表中空白处从左到右依次填 , , .?
近20年六月份降雨量频率分布表
???考点类析[解析] (2)在所给数据中,降雨量为110毫米的有3个,为160毫米的有7个,为200毫米的有3个,故近20年六月份降雨量的频率分布表如下:考点类析变式 某射击运动员进行双向飞碟射击训练,七次训练的成绩记录如下:(1)求各次击中飞碟的频率(保留三位小数).
(2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少?考点类析?考点类析[小结] (1)频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值,利用此公式可求出A发生的频率,频率本身是随机变量,当n很大时,频率总是在一个稳定值附近左右摆动,这个稳定值就是概率.
(2)解此类题目的步骤是:先利用频率的计算公式依次计算出各个频率值,然后根据概率的定义确定频率的稳定值,即为概率.备课素材利用概率知识解决实际生活中的问题
概率思想在生产、生活实践中应用的例子很多,主要考查概率与频率的关系及由样本估计总体的能力.
[例] 为了估计水库中鱼的尾数,可以使用以下的方法:先从水库中捕出一定数量的鱼,例如2000尾,给每尾鱼做上记号,不影响其存活,然后放回水库,经过适当的时间,让其和水库中的其他鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的鱼,设有40尾,试根据上述数据,估计水库中鱼的尾数.备课素材?当堂自测[解析] 由频率与概率的有关概念知,C中说法正确.1.下列说法中正确的是( )
A.任何事件的概率总是在(0,1]内
B.频率是客观存在的,与试验次数无关
C.随着试验次数的增加,事件发生的频率一般会稳定于概率
D.概率是随机的,在试验前不能确定C当堂自测??B当堂自测??B当堂自测[解析] ①是必然事件;
②中,方程x2+2x+5=0,Δ=4-20=-16<0,可知它不可能有两个不相等的实根,是不可能事件;
④中,由于在同一个三角形中大边对大角,小边对小角,可知④也是不可能事件;
③是随机事件.故选A.
4.下列事件中,随机事件的个数为( )
①在标准大气压下,水在0 ℃结冰;
②方程x2+2x+5=0有两个不相等的实根;
③明年长江武汉段的最高水位是29.8 m;
④一个三角形的大边对小角,小边对大角.
A.1 B.2 C.3 D.4A当堂自测[解析] 试验的全部结果为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36种.
5.“连续抛掷两枚质地均匀的骰子,记录朝上的点数”,该试验的结果共有 种. ?36备课素材[小结]下节课预习问题:
1.事件间的相互关系;
2.互斥事件和对立事件的概念;
3.概率的加法公式.课件43张PPT。第三章 概率3.1.3 概率的基本性质【知识与技能】
(1)正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、对立事件的概念.
(2)概率的几个基本性质.
(3)正确理解并事件与积事件,以及互斥事件与对立事件的区别与联系.三维目标【过程与方法】
通过将事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习,培养学生的类比与归纳的数学思想.
【情感、态度与价值观】
通过教学活动,让学生了解数学与实际生活的密切联系,感受数学知识应用于现实世界的具体情境,从而激发学生学习数学的兴趣.三维目标重点难点【重点】
事件的关系与运算及概率的基本性质.
【难点】
事件的关系与运算.1.教学中要注意举例引入和说明互斥事件的概念,可以用掷骰子出现不同点数的试验来解释,也可以用掷硬币出现正面和反面向上的试验来说明.关键是同一试验中,事件A和事件B不可能同时发生,则事件A和事件B就是互斥事件.
2.一定要通过具体实例让学生理解和体会互斥事件与对立事件的联系与区别,即对立事件必是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.教学建议新课导入【导入一】
创设情境
(1)集合有相等、包含关系,如{1,3}={3,1},{2,4}?{2,3,4,5}等.
(2)在掷骰子试验中,可以定义许多事件如:C1={出现1点},C2={出现2点},C3={出现1点或2点},C4={出现的点数为偶数},….
师生共同讨论:观察上例,类比集合与集合的关系、运算,你能发现事件的关系与运算吗?新课导入?预习探究事件的关系与运算知识点一一定发生B?AA?B不可能事件A∩B=?预习探究不可能事件必然事件事件A发生或事件B发生A∪BA+B事件A发生且事件B发生A∩BAB预习探究[讨论] (1)在掷骰子的试验中,事件A={出现的点数为1},事件B={出现的点数为奇数},事件A与事件B应有怎样的关系?
(2)判断两个事件是对立事件的条件是什么?解:(1)因为1为奇数,所以A?B.
(2)①看两个事件是不是互斥事件;②看两个事件是否必有一个发生.若满足这两个条件,则这两个事件是对立事件,否则不是.预习探究1.概率的取值范围为 .?
2. 的概率为1, 的概率为0.?
3.概率加法公式:如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)= .?
4.对立事件的概率公式:若事件A与事件B互为对立事件,则A∪B为必然事件,P(A∪B)= ,P(A∩B)= , P(A)= .?概率的几个基本性质知识点二[0,1]必然事件不可能事件P(A)+P(B)101-P(B)预习探究 [讨论] 互斥事件与对立事件的区别与联系是什么?解:互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的,它们既有区别又有联系.在一次试验中,两个互斥的事件有可能都不发生,也可能有一个发生;而对立事件则必有一个发生,但不可能同时发生.所以,两个事件互斥,它们未必对立;反之,两个事件对立,它们一定互斥.备课素材1.事件与集合之间的对应关系备课素材备课素材2.概率的几条基本性质
(1)互斥事件的定义可以推广到n个事件中,如果事件A1,A2,…,An彼此互斥,那么P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
(2)在求某些稍复杂的事件的概率时,可将其分解为一些概率较易求的彼此互斥的事件,化整为零,化难为易.
(3)计算“至少”“至多”等问题的概率
已知两个随机事件A,B,它们的概率分别为P(A),P(B),则备课素材考点类析例1 (1)若P(A∪B)=1,则互斥事件A与B的关系是( )
A.A,B没有关系 B.A,B是对立事件
C.A,B不是对立事件 D.以上都不对
事件关系的判断与事件运算B[解析] (1)根据对立事件的定义知选B.
考点一考点类析例1 (2)一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )
A.至多有一次中靶
B.只有一次中靶
C.两次都中靶
D.两次都不中靶
D[解析] (2)一个人打靶时连续射击两次,所包含的基本事件有“中靶一次”“中靶两次”“两次都不中靶”,事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”“中靶两次”,其互斥事件为“两次都不中靶”.
考点类析例1 (3)抽查10件产品,记事件A为“至少有2件次品”,则A的对立事件为( )
A.至多有2件次品 B.至多有1件次品
C.至多有2件正品 D.至少有2件正品
B[解析] (3)至少有2件次品包含的基本事件为有2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品,故它的对立事件为有1件或0件次品,即至多有1件次品.
考点类析变式 在掷骰子的试验中,可以定义许多事件.例如,事件C1={出现1点},事件C2={出现2点},事件C3={出现3点},事件C4={出现4点},事件C5={出现5点},事件C6={出现6点},事件D1={出现的点数不大于1},事件D2={出现的点数大于3},事件D3={出现的点数小于5},事件E={出现的点数小于7},事件F={出现的点数为偶数},事件G={出现的点数为奇数}.请根据上述定义的事件,回答下列问题.
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件;
(2)利用和事件的定义,判断上述哪些事件是和事件.考点类析解:(1)因为事件C1,C2,C3,C4发生,则事件D3必发生,所以C1?D3,C2?D3,C3?D3,C4?D3.
同理可得,事件E包含事件C1,C2,C3,C4,C5,C6;事件D2包含事件C4,C5,C6;事件F包含事件C2,C4,C6;事件G包含事件C1,C3,C5.且易知事件C1与事件D1相等,即C1=D1.
(2)因为事件D2={出现的点数大于3}={出现4点或出现5点或出现6点},
所以D2=C4∪C5∪C6(或D2=C4+C5+C6).同理可得,D3=C1+C2+C3+C4,E=C1+C2+C3+C4+C5+C6,F=C2+C4+C6,G=C1+C3+C5.考点类析[小结] 事件运算的方法:
(1)利用事件运算的定义:列出同一条件下试验的所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)图示法:借助集合间运算的思想,分析同一条件下试验的所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算.考点类析互斥事件和对立事件的概率考点二??考点类析变式 国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩加紧备战,经过近期训练,某队员射击一次命中7~10环的概率如下表所示:求该射击队员在一次射击中:
(1)命中9环或10环的概率;
(2)至少命中8环的概率;
(3)命中不足8环的概率.考点类析解:记事件“射击一次,命中k环”为Ak(k∈N,k≤10),则事件Ak之间彼此互斥.
(1)设“射击一次,命中9环或10环”为事件A,那么当A9,A10之一发生时,事件A发生,由互斥事件概率的加法公式得P(A)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.6.
(2)设“射击一次,至少命中8环”为事件B,那么当A8,A9,A10之一发生时,事件B发生,由互斥事件概率的加法公式得P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.
(3)设“射击一次命中不足8环”为事件C,由于事件C与事件B互为对立事件,故P(C)=1-P(B)=1-0.78=0.22.考点类析[小结] 解决此类问题,首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件,再选择概率公式进行计算.考点类析例3 一盒中装有各种颜色的球12个,其中5个红球,4个黑球,2个白球,1个绿球.从中随机取出1个球,求:
(1)取出的1个球是红球或黑球的概率;
(2)取出的1个球是红球或黑球或白球的概率.
考点类析?考点类析?考点类析?考点类析变式 袋中有红、黄、白3种颜色的球各1个,从中每次任取1个,有放回地抽取3次.求:
(1)“3个球颜色全相同”的概率;
(2)“3个球颜色不全相同”的概率.
考点类析?考点类析[小结] 求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件的概率转化为彼此互斥的事件的和的概率;二是先去求对立事件的概率,再求所求事件的概率.考点类析拓展 向三个相邻的军火库投一枚炸弹,炸中第一个军火库的概率为0.2,炸中第二个军火库的概率为0.12,炸中第三个军火库的概率为0.28,三个军火库中,只要炸中一个,另两个也会发生爆炸,求军火库发生爆炸的概率.
解:设A,B,C分别表示炸弹炸中第一、第二、第三个军火库这三个事件,事件D表示军火库爆炸.已知P(A)=0.2,P(B)=0.12,P(C)=0.28.
因为只投掷了一枚炸弹,所以不可能炸中两个及两个以上的军火库,
所以A,B,C是互斥事件,且D=A∪B∪C,所以P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.12+0.28=0.6,即军火库发生爆炸的概率为0.6.备课素材转化与化归思想在和事件中的应用
转化与化归思想的核心是把陌生问题转化为熟悉的问题,事实上解题过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程,是求解系统趋近于目标系统的过程.
在本节中运用加法公式及对立思想把复杂概率分解为易求解的概率问题.备课素材 [例] 某地区年降水量(单位:mm)在下列范围内的概率如下表:(1)求年降水量在[800,1200)范围内的概率;
(2)如果年降水量≥1200 mm就可能发生涝灾,求该地区可能发生涝灾的概率.备课素材解:(1)记事件A为“年降水量在[800,1000)”,B为“年降水量在[1000,1200)”,则所求事件为互斥事件A和B的并事件,所以年降水量在[800,1200)范围内的概率是P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.26+0.38=0.64.
(2)记事件C为“年降水量在[1200,1400)”,事件D为“年降水量在[1400,1600]”,则所求事件为互斥事件C和D的并事件,所以年降水量≥1200 mm的概率是P(C∪D)=P(C)+P(D)=0.16+0.08=0.24.当堂自测[解析] A中的两个事件能同时发生,故不互斥;同样,B中两个事件也可同时发生,故不互斥;D中两个事件是对立的.故选C.
1.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球,那么互斥但不对立的两个事件是( )
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
D.“至少有一个黑球”与“都是红球”C当堂自测[解析] ∵A,B是互斥事件,∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5,又∵P(A)=0.2,∴P(B)=0.5-0.2=0.3.故选A.
2.若A,B是互斥事件,P(A)=0.2,P(A∪B)=0.5,则P(B)= ( )
A.0.3 B.0.7 C.0.1 D.1A当堂自测3.从一批产品中取出3件产品,设A={3件产品全不是次品},B={3件产品全是次品},C={3件产品不全是次品},则下列结论中正确的是
(填序号).?
①A与B互斥;②B与C互斥;③A与C互斥;④A与B对立;⑤B与C对立.①②⑤[解析] A={3件产品全不是次品},A指的是3件产品全是正品;B={3件产品全是次品};C={3件产品不全是次品},它包括1件次品2件正品,2件次品1件正品,3件全是正品这3个事件.所以可知,A与B是互斥事件,但不对立;A与C是包含关系,不是互斥事件,更不是对立事件;B与C是互斥事件,也是对立事件.所以正确结论的序号为①②⑤.
则年降水量在(200,300](mm)内的概率为 .?当堂自测4.某地区的年降水量在下列范围内的概率如表所示:0.51[解析] 设事件A={年降水量在(200,300](mm)内},它包含事件B={年降水量在(200,250](mm)内}和事件C={年降水量在(250,300](mm)内}这两个事件.因为B,C这两个事件不能同时发生,所以它们是互斥事件,所以P(A)=P(B∪C)=P(B)+P(C),由已知得P(B)=0.3,P(C)=0.21,所以P(A)=0.3+0.21=0.51,即年降水量在(200,300](mm)内的概率为0.51.备课素材[小结]备课素材下节课预习问题:
1.基本事件的特点;
2.古典概型的概念;
3.古典概型的概率公式.
