中小学教育资源及组卷应用平台
《22.3实际问题与二次函数（2）》导学案
课题 实际问题与二次函数（2） 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 1．会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值． 2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题． 3．根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式．
重点难点 重点：1．根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式，求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．难点：将实际问题转化成二次函数问题．
教学过程
知识链接 1. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是________，顶点坐标是________。当x=______时，y的最______值是________。 2. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是________，顶点坐标是________。当x=____时，函数有最______值，是________。 3.关于销售中的利润问题涉及到哪些量？它们之间有什么等量关系？ 4.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.已知商品的进价为每件40元，那么一周的利润是多少？
合作探究 问题： 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 教师引导学生阅读问题，理清自变量和变量．在这个探究中，某商品调整，销量会随之变化．调整的价格包括涨价和降价两种情况． （1）我们先看涨价的情况． 设每件涨价x元，每星期则少卖_________件，实际卖出_________件，销售额为__________________元，买进商品需付__________________元．因此，所得利润____________________________________列出函数解析式后，怎样确定x的取值范围呢？ 当x＝_______时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价_________元，即定价_________元时，利润最大，最大利润是_________元． （2）我们再看降价的情况． 设每件降价x元，每星期则多卖_________件，实际卖出_________件，销售额为__________________元，买进商品需付__________________元．因此，所得利润 怎样确定x的取值范围呢？ 由降价后的定价(60－x)元，不高于现价60元，不低于进价40元可得0≤x≤20． 当x＝____________时，y最大，也就是说，在降价的情况下，降价_________元，即定价_________元时，利润最大，最大利润是_________元． 由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？ ．通过上面问题的探究，你能说说运用二次函数求商品利润问题的一般步骤 ？
自主尝试 1、某公司的生产利润原来是a万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分率都是x，那么y与x的函数关系是( )A．y＝x2＋a B．y＝a(x－1)2 C．y＝a(1－x)2 D．y＝a(1＋x)22、一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y关于x的函数关系式为( )A．y＝60(1－x)2 B．y＝60(1－x2) C．y＝60－x2 D．y＝60(1＋x)23、出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(8－x)个，则当x＝____元时，一天出售该种手工艺品的总利润最大．
当堂检测 1、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下: 若日销售量y是销售价x的一次函数。
（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 2、某宾馆有50个房间供游客住宿。当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满，当每个房间每天的房价增加到10元时，就会有一个房间空闲。宾馆需对旅客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元。设每个房间的房价每天增加X元（X为10的整数倍） （1）设一天订住的房间数为y。直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式； （3）一天订住多少个房间时。宾馆的利润最大？最大的利润是多少元？ 3、某公司生产A种产品，它的成本2元，售价为3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，当每年投入的广告费是 x(单位：10万元)时，产品的年销售量是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表所示. （1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；
（3）如果投入的年广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大． 4、某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)写出每天的利润w与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 5、夏季空调销售供不应求，某空调厂接到一份紧急订单，要求在10天内（含10天）完成任务. 为提高生产效率，工厂加班加点，接到任务的第一天就生产了空调42台，以后每天生产的空调都比前一天多2台，由于机器损耗等原因，当日生产的空调数量达到50台后，每多生产一台，当天生产的所有空调，平均每台成本就增加20元. （1）设第x天生产空调y台，直接写出y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围; （2）若每台空调的成本价（日生产量不超过50台时）为2 000元，订购价格为每台2 920元，设第x天的利润为W元，试求W与x之间的函数解析式，并求工厂哪一天获得的利润最大，最大利润是多少.
小结反思 今天你学习了什么？有什么收获？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
中小学教育资源及组卷应用平台
《22.3实际问题与二次函数（2）》导学案
课题 实际问题与二次函数（2） 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 1．会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值． 2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题． 3．根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式．
重点难点 重点：1．根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式，求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．难点：将实际问题转化成二次函数问题．
教学过程
知识链接 1. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是________，顶点坐标是________。当x=______时，y的最______值是________。 2. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是________，顶点坐标是________。当x=____时，函数有最______值，是________。 3.关于销售中的利润问题涉及到哪些量？它们之间有什么等量关系？ 4.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.已知商品的进价为每件40元，那么一周的利润是多少？ 我们如何利用二次函数模型来解决商品中的利润问题呢？今天我们一起来学习这个内容。板书课题
合作探究 问题： 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 教师引导学生阅读问题，理清自变量和变量．在这个探究中，某商品调整，销量会随之变化．调整的价格包括涨价和降价两种情况． （1）我们先看涨价的情况． 设每件涨价x元，每星期则少卖l0x件，实际卖出(300－l0x)件，销售额为(60 + x) (300－l0x)元，买进商品需付40(300－10x)元．因此，所得利润y＝(60+x)(300－l0x)一40(300－l0x)，即y＝－l0x2+100x+6 000． 列出函数解析式后，教师引导学生怎样确定x的取值范围呢？ 由300－l0x≥0，得x≤30．再由x≥0，得0≤x≤30． 根据上面的函数，可知： 当x＝5时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价5元，即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元． （2）我们再看降价的情况． 设每件降价x元，每星期则多卖20x件，实际卖出(300＋20x)件，销售额为(60－x) (300＋20x)元，买进商品需付40(300＋20x)元．因此，所得利润y＝(60－x)(300＋20x)－40(300＋20x)， 即 y＝－20x2＋100x＋6 000． 怎样确定x的取值范围呢？ 由降价后的定价(60－x)元，不高于现价60元，不低于进价40元可得0≤x≤20． 当x＝2.5时，y最大，也就是说，在降价的情况下，降价2.5元，即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6125元． 由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？ 学生最后的出答案：综合涨价和降价两种情况及现在的销售状况可知，定价65元时，利润最大．通过上面问题的探究，你能说说运用二次函数求商品利润问题的一般步骤 ？●归纳：审：审清题意，找到变量之间的关系.设：设变量.列：列出函数解析式和自变量的取值范围解：利用公式，求它的最大（小）值.答：确定销售方案 .
自主尝试 某公司的生产利润原来是a万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分率都是x，那么y与x的函数关系是( )DA．y＝x2＋a B．y＝a(x－1)2 C．y＝a(1－x)2 D．y＝a(1＋x)2 一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y关于x的函数关系式为( )AA．y＝60(1－x)2 B．y＝60(1－x2) C．y＝60－x2 D．y＝60(1＋x)2 出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(8－x)个，则当x＝____元时，一天出售该种手工艺品的总利润最大．答案：4
当堂检测 1、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下: 若日销售量y是销售价x的一次函数。
（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？（1）设此一次函数关系式为y=kx+b，
则解得k=-1，b=40
故一次函数的关系式为y=-x+40． （2）设所获利润为W元，
则W=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225
所以产品的销售价应定为25元，此时每日的销售利润为225元． 2、某宾馆有50个房间供游客住宿。当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满，当每个房间每天的房价增加到10元时，就会有一个房间空闲。宾馆需对旅客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元。设每个房间的房价每天增加X元（X为10的整数倍） （1）设一天订住的房间数为y。直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式； （3）一天订住多少个房间时。宾馆的利润最大？最大的利润是多少元？ （1），且（0≤x≤160，且x为10的正整数倍）；（2）；（3）订住34个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润为10880元． 解析试题分析：本题是二次函数的应用，特别容易出现的错误是在求最值时不考虑x的范围，直接求顶点坐标．（1）理解每个房间的房价每增加x元，则减少房间间，则可以得到y与x之间的关系；（2）每个房间订住后每间的利润是房价减去20元，每间的利润与所订的房间数的积就是利润；（3）求出二次函数的对称轴，根据二次函数的增减性以及x的范围即可求解．
试题解析：
解：（1）由题意得：，且（0≤x≤160，且x为10的正整数倍）
（2），即
（3）w=
抛物线的对称轴是：，抛物线的开口向下，当x＜170时，w随x的增大而增大，但0≤x≤160，因而当x=160时，即房价是340元时，利润最大，
此时一天订住的房间数是：50-（160÷10）=34间，
最大利润是：34×（340-20）=10880元．
答：一天订住34个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润为10880元． 3、某公司生产A种产品，它的成本2元，售价为3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，当每年投入的广告费是 x(单位：10万元)时，产品的年销售量是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表所示. （1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；
（3）如果投入的年广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大．(1)设二次函数的关系式为 y＝ax2＋bx＋c， ∵当 x＝0 时，y＝1；当 x＝1 时，y＝1.5；当 x＝2 时，y＝1.8.解得
∴函数的解析式为y=-0.1x2+0.6x+1
（2）根据题意，得S=10y（3-2）-x=-x2+5x+10
（3）S=-x2+5x+10=-(x-)2+∵1≤x≤3，∴当1≤x≤2.5时，S随x的增大而增大．
故当年广告费为10～25万元之间，公司获得的年利润随广告费的增大而增大 4、某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)写出每天的利润w与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 解：(1)y＝－x＋180； (2)w＝(x－100)y＝－(x－140)2＋1 600， 当售价定为140元，w最大为1 600元． 5、夏季空调销售供不应求，某空调厂接到一份紧急订单，要求在10天内（含10天）完成任务. 为提高生产效率，工厂加班加点，接到任务的第一天就生产了空调42台，以后每天生产的空调都比前一天多2台，由于机器损耗等原因，当日生产的空调数量达到50台后，每多生产一台，当天生产的所有空调，平均每台成本就增加20元. （1）设第x天生产空调y台，直接写出y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围; （2）若每台空调的成本价（日生产量不超过50台时）为2 000元，订购价格为每台2 920元，设第x天的利润为W元，试求W与x之间的函数解析式，并求工厂哪一天获得的利润最大，最大利润是多少. 解：（1）∵接到任务的第一天就生产了空调42台，以后每天生产的空调都比前一天多2台， ∴由题意,得第x天生产空调y台，y与x之间的函数解析式为y=40+2x（1≤x≤10）.(2)当1≤x≤5时，W=（2 920-2 000）×（40+2x）=1 840x+36 800， ∵1 840＞0，∴W随x的增大而增大. ∴当x=5时，W最大=1 840×5+36 800=46 000； 当5＜x≤10时，W=［2 920-2 000-20（40+2x-50）］×（40+2x）=-80（x-4）2+46 080. 此时函数图象开口向下，在对称轴右侧，W随着x的增大而减小，
小结反思 今天你学习了什么？有什么收获？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
