江苏省盐城市2018~2019学年第二学期期末考试高二数学试卷文理合卷（含答案）

江苏省盐城市2018~2019学年度第二学期高二年级期终考试
数学试题
2019．6
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）
1．已知复数，（其中i为虚数单位），若为实数，则实数a的值为 ．
2．已知一组数据，，，，的方差为，则数据2，
2，2，2，2的方差为 ．
3．某学校拟从2名男教师和1名女教师中随机选派2名教师去参加
一个教师培训活动，则2名男教师去参加培训的概率是 ．
4．若命题“[0，3]，使得成立”是假命题，则
实数a的取值范围是 ．
5．执行如图所示的流程图，则输出k的值为 ．
6．已知实数x，y满足，则的最大值为
．
7．若双曲线C：(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线的准线围成的三角形面积为2，则双曲线C的离心率为 ．
8．已知圆：的面积为，类似的，椭圆：(a＞b＞0)的面积为
．
9．（理）5名学生站成一排拍照片，其中甲乙两名学生不相邻的站法有 种．（结果用数值表示）
（文）已知函数的一条对称轴为，则的值为 ．
10．（理）在的二项展开式中，常数项为 （结果用数值表示）．
（文）若函数(a＞0且a≠1)是偶函数，则函数的值域为 ．
11．已知函数，则“a＞0”是“函数有且仅有一个极值点”的 条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）
12．设A，B分别为椭圆C：(a＞b＞0)的右顶点和上顶点，已知椭圆C过点P(2，1)，当线段AB长最小时椭圆C的离心率为 ．
13．若x，y为正实数，则的最大值为 ．
14．已知函数([1，2])的最大值为4，则实数a的值为 ．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分14分）
（理）如图，在四棱锥P—ABCD中，已知底面ABCD为菱形，AC＝8，BD＝6，O为对角线AC与BD的交点，PO⊥底面ABCD且PO＝4．
（1）求异面直线PA与BC所成角的余弦值；
（2）求平面APC与平面PCB所成锐二面角的余弦值．
/
（文）设命题p：函数在[﹣1，0]是减函数；命题q：[0，]，都有≤1成立．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若pq为真命题，pq为假命题，求实数m的取值范围．
16．（本小题满分14分）
（理）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满200元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：一个袋子装有5只形状和大小均相同的玻璃球，其中两只是红色，三只是绿色，顾客从袋子中一次摸出两只球，若两只球都是红色，则奖励20元；共两只球都是绿色，则奖励10元；若两只球颜色不同，则不奖励．
（1）求一名顾客在一次摸奖活动中获得20元的概率；
（2）记X为两名顾客参与该摸奖活动获得的奖励总数额，求随机变量X的分布列和数学期望．
（文）设函数．
（1）若函数为奇函数，(0，)，求的值；
（2）若＝，＝，(0，)，求的值．
17．（本小题满分14分）
（理）已知数列各项均为正数，满足．
（1）求，，的值；
（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．
（文）设，R．
（1）证明：对任意实数k，函数都不是奇函数；
（2）当k＝时，求函数的单调递增区间．
18．（本小题满分16分）
如图，一条小河岸边有相距8km的A，B两个村庄（村庄视为岸边上A，B两点），在小河另一侧有一集镇P（集镇视为点P），P到岸边的距离PQ为2km，河宽OH为0.05km，通过测量可知，∠PAB与∠PBA的正切值之比为1：3．当地政府为方便村民出行，拟在小河上建一座桥MN（M，N分别为两岸上的点，且MN垂直河岸，M在Q的左侧），建桥要求：两村所有人到集镇所走距离之和最短，已知A，B两村的人口数分别是1000人、500人，假设一年中每人去集镇的次数均为m次．设∠PMQ＝．（小河河岸视为两条平行直线）
（1）记L为一年中两村所有人到集镇所走距离之和，试用表示L；
（2）试确定的余弦值，使得L最小，从而符合建桥要求．
/
19．（本小题满分16分）
如图，已知椭圆C1：与椭圆C2：的离心率相同．
（1）求m的值；
（2）过椭圆C1的左顶点A作直线l，交椭圆C1于另一点B，交椭圆C2于P，Q两点（点P在A，Q之间）．①求△OPQ面积的最大值（O为坐标原点）；②设PQ的中点为M，椭圆C1的右顶点为C，直线OM与直线BC的交点为R，试探究点R是否在某一条定直线上运动，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．
/
20．（本小题满分16分）
已知函数，a，bR．
（1）当a＝0，b＝﹣1时，求函数在(0，)上的最小值；
（2）若函数在x＝1与x＝2处的切线互相垂直，求b的取值范围；
（3）设b＝1，若函数有两个极值点，，且＜，求的取值范围．
2018/2019学年度第二学期高二年级期终考/试
数学参考答案
一．填空题
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.(理）（文）
10.（理）（文） 11.充分不必要 12. 13. 14.
二．解答题
15.（理科）
因为底面为菱形，，，底面，
所以，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系
（如图所示），则……………………………2分
设为直线所成的角，
，
=，
所以异面直线与所成角的余弦值为………………………………………6分
因为平面，所以平面的法向量取，………………8分
设平面的法向量为，，
则由，
即，取，…………………………………………………12分
设为两个平面所成的锐二面角的平面角，则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为………………………14分
(文科)
为真：因为函数是减函数，
所以在上恒成立，………………………………………2分
所以，所以……………………………………………………………4分
(2)为真：因为对恒成立，
所以对恒成立，
因为，
所以，………………………………………………………………8分
当真假即，
所以………………………………………………………………………………10分
当真假即且，
所以……………………………………………………………………………12分
综上或……………………………………………………………14分
16.（理科）解：（1）记一名顾客摸球中奖20元为事件，
则.………………………………………………………………………2分
（2）记一名顾客摸球中奖10元为事件，不中奖为事件，
则，，…………………………………4分
所以，
，
，
，
，…………………………………12分
X
0
10
20
30
40
p
所以…………………14分
（文科）解：（1）因为函数为奇函数，
所以，
又，所以，………………………………………………………………2分
当时，是奇函数，
所以.………………………………………………………………………………4分
（2）
因为，，所以，
又，
所以，，…………………6分
所以，
……………10分
所以……………………………………12分
所以.
………………14分
17（理）解：（1）当时，，又，所以，
当时，，解得，
当时，，解得.………………………………2分
(2)猜想：.……………………………………………………………………4分
证明：（1）当时，由（1）可知结论成立；………………………………6分
（2）假设当时，结论成立，即成立，………………………8分
则时，
由与，
所以，
所以，
又，成立，…………………………………………12分
根据（1）、（2）猜想成立.………………………………………………14分
（文）证明：（1）假设函数为奇函数，则，
这与矛盾，
所以函数不可能是奇函数.…………………………4分
解：（2）当时，，
所以，，
所以在单调递增，………………………10分
又，
所以不等式的解集为，
所以函数的单调递增区间为.…………………………14分
18.解：（1）因与的正切值之比为，
所以，所以，即，……………2分
因，所以，，…………………………………4分
所以，
所以，
化简得，.……………………………7分
（2）由（1）知，
所以，
化简得，
由，得，……………………………………………………………10分
令，且，
当时，，；当时，，；
所以函数在上单调递减；在上单调递增；
所以时函数取最小值，即当时，符合建桥要求，……………14分
答：（1），；
（2）当时，符合建桥要求.……………………………………………16分
19.(1) 椭圆中，又，
所以，离心率………………………………………………2分
又椭圆中，又，
所以，
=，又因为，
所以………………………………………………………4分
（2）当直线与轴重合时，三点共线，不符合题意
故设直线的方程为：且
设
由(1)知椭圆的方程为：
联立方程消去得即
解得（）
又
…………………………………………8分
令
此时………………10分
(3)由(2)知所以
所以
所以直线的斜率
直线的方程为…………………………………12分
联立方程消去得
得
所以
所以…………………………………14分
则直线的方程为
联立直线的方程解得点坐标为
所以点在定直线上运动.……………………………………16分
20. 解：
当时，，
，由得，
所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，
…………………………………………………………………3分
由函数得
因为函数在与处的切线互相垂直，所以
即，…………………………………………………………5分
法一. 展开整理得，
该关于的方程有解，所以，
即，
所以或，…………………………………………………………………………9分
法二. 由，……………………………………………………5分
即，
所以，
即，所以或……………………………………………………9分
当时，，
所以是方程的两根，从而，………………10分
因为且，
所以，，
，…………………………………………12分
记
因为在单调递增，所以，
从而在单调递增，
所以……………………………………………………14分
又因为，
所以的取值范围为……………………………………………………16分