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《22.3实际问题与二次函数（3）》导学案
课题 实际问题与二次函数（3） 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．
重点难点 重点：根据不同条件建立合适的直角坐标系，将实际问题转化成二次函数问题难点：将实际问题转化成二次函数问题．
教学过程
知识链接 说一说：二次函数y＝ax2的性质和特点？
合作探究 探究1：下图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4 m．水面下降1 m，水面宽度增加多少？ 怎样建立直角坐标系呢？ 探究2：还可以怎样建立直角坐标系？你能构建二次函数模型并列出解析式吗？ 探究3：还可以怎样建立直角坐标系？你能构建二次函数模型并列出解析式吗？ 你还能想出多少种方法？通过上面的探究我们总结比较一下，看看利用哪种坐标系会使得计算结果简便。你能总结：建立二次函数模型解决建筑类实际问题的一般步骤： (1)根据题意建立适当的__________________； (2)把已知条件转化为__________________； (3)合理设出函数__________________； (4)利用__________________法求出函数解析式； (5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算 例、一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,如图2,已知球在A处出手时离地面m,与篮筐中心C的水平距离是7m,当球运行的水平距离是4 m时,达到最大高度4m（B处）,设篮球运行的路线为抛物线.篮筐距地面3m. ①问此球能否投中? ②此时对方球员乙前来盖帽,已知乙跳起后摸到的最大高度为3.19m,他如何做才能盖帽成功?
自主尝试 1、某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物(如图)，大门的地面宽度为8 m，两侧距离地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6 m，则校门的高(精确到0.1 m，水泥建筑物的厚度不计)为( )A．8.1 m B．9.1 m C．10.1 m D．12.1 m 2、某幢建筑物，从10 m高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状(抛物线所在平面与地面垂直)．如果抛物线的最高点M离墙1 m，离地面m(如图所示)，则水流落地点离墙的距离OB是( )A．2 m B．3 m C．4 m D．5 m
当堂检测 1.如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y=，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ） A. 6 m B. 12 m C. 8 m D. 10 m 2.平时我们在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4 m，距地面均为1 m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳子的手的水平距离1 m，2.5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5 m，则学生丁的身高为( )A．1.5 m B．1.625 m C．1.66 m D．1.67 m 3.随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，如图，在水池中心竖直安装了一根高为2 m的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，水柱落地处离池中心3 m. （1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式； （2）求出水柱的最大高度. 4.如图 ，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽 AB＝10 m，如果水位上升 2 m，就将达到警戒线 CD，这时水面的宽为 8 m．若洪水到来，水位以每小时 0.1 m 速度上升，经过多少小时会达到拱顶？ 5.某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，其拱形图形是抛物线的一部分，栅栏的跨径 AB间，按相同的间距 0.2 米，用 5 根立柱加固，拱高 OC 为 0.6 米．(1)以 O 为原点，OC 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标 系，请根据以上数据，求出抛物线的函数解析式；计算一段栅栏所需立柱的总长度(精确到 0.1 米)．
小结反思 今天你学习了什么？有什么收获？
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《22.3实际问题与二次函数（3）》导学案
课题 实际问题与二次函数（3） 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．
重点难点 重点：根据不同条件建立合适的直角坐标系，将实际问题转化成二次函数问题难点：将实际问题转化成二次函数问题．
教学过程
知识链接 说一说：二次函数y＝ax2的性质和特点？ 生活中有很美丽、实用的各种各样的桥，它们无不给我们以抛物线的形象感受，本节课我们就来主要研究与桥有关的抛物线问题。
合作探究 探究1：下图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4 m．水面下降1 m，水面宽度增加多少？ 教师引导学生审题，然后根据条件建立直角坐标系．怎样建立直角坐标系呢？ 因为二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系． 教师可让学生自己建立直角坐标系，然后求出二次函数的解析式． 如上图，设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2．由抛物线经过点(2，－2)，可得－2＝a×22， a＝－． 这条抛物线表示的二次函数为y＝－x2． 当水面下降1m时，水面的纵坐标为－3，根据上面的函数解析式可得水面的横坐标为，－，据此可求出这时的水面宽度是2． 答：水面下降1m，水面宽度增加2－4m．探究2：还可以怎样建立直角坐标系？你能构建二次函数模型并列出解析式吗？ 以水面为横轴，水面中心为原点建立坐标系，则拱形桥是一开口向下，对称轴为y轴，经过点（0，2）的抛物线。∴抛物线解析式设为：y=-ax2+2将（0,2）代入，解得：a＝－这条抛物线表示的二次函数为y＝－x2+2探究3：还可以怎样建立直角坐标系？你能构建二次函数模型并列出解析式吗？ 以水面为横轴，水面4m宽左侧起点处为原点建立坐标系，则拱形桥是一开口向下，对称轴是x=2，经过（4，0）点的抛物线。 ∴抛物线解析式设为：y=-a（x-2）2+2抛物线经过（0,0）解得：a＝－这条抛物线表示的二次函数为y=－（x-2）2+2你还能想出多少种方法？通过上面的探究我们总结比较一下，看看利用哪种坐标系会使得计算结果简便。你能总结：建立二次函数模型解决建筑类实际问题的一般步骤： (1)根据题意建立适当的__________________； (2)把已知条件转化为__________________； (3)合理设出函数__________________； (4)利用__________________法求出函数解析式； (5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算 答案：直角坐标系、点的坐标、解析式、待定系数例、一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,如图2,已知球在A处出手时离地面m,与篮筐中心C的水平距离是7m,当球运行的水平距离是4 m时,达到最大高度4m（B处）,设篮球运行的路线为抛物线.篮筐距地面3m. ①问此球能否投中? ②此时对方球员乙前来盖帽,已知乙跳起后摸到的最大高度为3.19m,他如何做才能盖帽成功? 与篮筐中心C的水平距离是8米吧，如果是8的话设y=a（x-4）?+4
过（0,）
16a+4= 解得：a=
∴y=（x-4）?+4将x=7代入y=3∴能投中 （2）当y=3.19时，x=1.3或6.7所以若想盖帽成功，则乙应选择距离甲起跳1.3m或6.7m的位置。
自主尝试 1、某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物(如图)，大门的地面宽度为8 m，两侧距离地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6 m，则校门的高(精确到0.1 m，水泥建筑物的厚度不计)为( )BA．8.1 m B．9.1 m C．10.1 m D．12.1 m 2、某幢建筑物，从10 m高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状(抛物线所在平面与地面垂直)．如果抛物线的最高点M离墙1 m，离地面m(如图所示)，则水流落地点离墙的距离OB是( )BA．2 m B．3 m C．4 m D．5 m
当堂检测 1.如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y=，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）D A. 6 m B. 12 m C. 8 m D. 10 m 2.平时我们在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4 m，距地面均为1 m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳子的手的水平距离1 m，2.5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5 m，则学生丁的身高为( )BA．1.5 m B．1.625 m C．1.66 m D．1.67 m 3.随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，如图，在水池中心竖直安装了一根高为2 m的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，水柱落地处离池中心3 m. （1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式； （2）求出水柱的最大高度. 解：（1）如图所示,以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. 设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+h， 代入（3，0）和（0，2），得4a+h=0,a+h=2. 解得a=,h=. ∴抛物线的解析式为y=（x-1）2+, 即y=x2+x+2（0≤x≤3）. （2）由y=（x-1）2+（0≤x≤3），得当x=1时，y=，即水柱的最大高度为 m. 4.如图 ，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽 AB＝10 m，如果水位上升 2 m，就将达到警戒线 CD，这时水面的宽为 8 m．若洪水到来，水位以每小时 0.1 m 速度上升，经过多少小时会达到拱顶？ 解：以 AB 所在的直线为 x 轴，AB 中点为原点，建立平面 直角坐标系，则抛物线的顶点 E 在 y 轴上，且 B，D 两点的坐标分别为(5,0)，(4,2)． 设抛物线为 y＝ax2＋k，解得：a= b=∴y=x2∴顶点坐标（0，）即OE=÷0.1=∴经过小时会达到拱顶 5.某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，其拱形图形是抛物线的一部分，栅栏的跨径 AB间，按相同的间距 0.2 米，用 5 根立柱加固，拱高 OC 为 0.6 米．(1)以 O 为原点，OC 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系，请根据以上数据，求出抛物线的函数解析式； 计算一段栅栏所需立柱的总长度(精确到 0.1 米)．
小结反思 今天你学习了什么？有什么收获？
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