§2.2 对数函数
2.2.1 对数与对数运算
第1课时 对 数
学习目标 1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．
知识点一 对数的概念
对数的概念：
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
常用对数与自然对数：
通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e＝2.71828…)为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lg_N，logeN简记为ln_N.
知识点二 对数与指数的关系
思考 求loga1(a>0，且a≠1)的值．
答案 设loga1＝t，化为指数式at＝1，则不难求得t＝0，即loga1＝0.
梳理 一般地，有对数与指数的关系：
若a>0，且a≠1，则ax＝N?logaN＝x.
对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)．
对数的性质：
(1)1的对数为零；
(2)底的对数为1；
(3)零和负数没有对数．
1．若3x＝2，则x＝log32.( √ )
2．因为a1＝a(a>0且a≠1)，所以logaa＝1.( √ )
3．logaN>0(a>0且a≠1，N>0)．( × )
4．若lnN＝，则N＝e.( × )
类型一 对数的概念
例1 在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是( )
A．b<2或b>5 B．2C．4考点 对数的概念
题点 对数的概念
答案 D
解析 ∵∴2反思与感悟 由于对数式中的底数a就是指数式中的底数a，所以a的取值范围为a>0，且a≠1；由于在指数式中ax＝N，而ax>0，所以N>0.
跟踪训练1 求f(x)＝logx的定义域．
考点 对数的概念
题点 对数的概念
解 要使函数式有意义，需解得0∴f(x)＝logx的定义域为(0,1)．
类型二 对数基本性质的应用
例2 求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；
(2)log3(lgx)＝1.
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
解 (1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.
(2)∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝31＝3，∴x＝103＝1000.
反思与感悟 此类题型应利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．logaN＝0?N＝1；logaN＝1?N＝a使用频繁，应在理解的基础上牢记．
跟踪训练2 若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为( )
A．9B．8C．7D．6
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案 A
解析 ∵log2(log3x)＝0，∴log3x＝1.
∴x＝3.同理y＝4，z＝2.∴x＋y＋z＝9.
类型三 对数式与指数式的互化
命题角度1 指数式化为对数式
例3 将下列指数式写成对数式：
(1)54＝625；
(2)2－6＝；
(3)3a＝27；
(4)m＝5.73.
考点 对数式与指数式的互化
题点 指数式化为对数式
解 (1)log5625＝4；(2)log2＝－6；
(3)log327＝a；(4)
反思与感悟 指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：
跟踪训练3 (1)如果a＝b2 (b>0，b≠1)，则有( )
A．log2a＝b B．log2b＝a
C．logba＝2 D．logb2＝a
考点 对数式与指数式的互化
题点 指数式化为对数式
答案 C
解析 logba＝2，故选C.
(2)将3－2＝，6＝化为对数式．
考点 对数式与指数式的互化
题点 指数式化为对数式
解 3－2＝可化为log3＝－2；
6＝可化为
(3)解方程：m＝5.
考点 对数式与指数式的互化
题点 指数式化为对数式
命题角度2 对数式化为指数式
例4 求下列各式中x的值：
(1)log64x＝－；(2)logx8＝6；(3)lg100＝x；
(4)－lne2＝x；(5)log(－1)＝x.
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
解 (1)
(2)因为x6＝8，所以
(3)10x＝100＝102，于是x＝2.
(4)由－lne2＝x，得－x＝lne2，即e－x＝e2.
所以x＝－2.
(5)因为
所以(－1)x＝＝＝＝－1，
所以x＝1.
反思与感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．
跟踪训练4 计算：(1)log927；
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
解 (1)设x＝log927，则9x＝27,32x＝33，∴x＝.
∴x＝16.
(3)
∴x＝3.
1．logbN＝a(b>0，b≠1，N>0)对应的指数式是( )
A．ab＝N B．ba＝N
C．aN＝b D．bN＝a
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案 B
2．若logax＝1，则( )
A．x＝1 B．a＝1
C．x＝a D．x＝10
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案 C
3．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A．e0＝1与ln1＝0
B．＝与log8＝－
C．log39＝2与＝3
D．log77＝1与71＝7
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式与指数式的互化
答案 C
4．已知logx16＝2，则x＝________.
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案 4
5．设10lgx＝100，则x＝________.
考点 对数的运算
题点 对数恒等式的应用
答案 100
1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N.
2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.
一、选择题
1．有下列说法：
①零和负数没有对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以10为底的对数叫做常用对数；
④以e为底的对数叫做自然对数．
其中正确命题的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
考点 对数的概念
题点 对数的概念
答案 C
解析 ①③④正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，ax＝N才能化为对数式．
2．已知log3a＝2，则a等于( )
A．6B．7C．8D．9
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案 D
解析 把log3a＝2化为指数式，有a＝32＝9.
3．ln等于( )
A．0B.C．1D．2
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案 B
解析 设ln＝x，则ex＝＝e，
∴x＝.
4．方程2＝的解是( )
A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝9
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式与指数式的互化
答案 A
解析 ∵2＝2－2，∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝.
5．下列四个等式：
①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若lgx＝10，则x＝10；④若lnx＝e，则x＝e2.
其中正确的是( )
A．①③B．②④C．①②D．③④
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案 C
解析 ①lg(lg10)＝lg1＝0；②lg(lne)＝lg1＝0；
③若lgx＝10，则x＝1010；④若lnx＝e，则x＝ee.
6.－1＋log0.54的值为( )
A．6B.C．0D.
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案 C
解析 －1＋log0.54＝－1＋log4＝2－2＝0.
7．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是( )
A．15B．75C．45D．225
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案 C
解析 由loga3＝m，得am＝3，由loga5＝n，得an＝5，
∴a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45.
8．log(3－2)等于( )
A．－2B．－4C．2D．4
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案 A
解析 3－2＝2－2＋1＝()2－2＋12
＝(－1)2
＝2＝(＋1)－2.
设log(3－2)＝t，则(＋1)t＝3－2
＝(＋1)－2，∴t＝－2.
二、填空题
9．log81＝________.
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案 8
解析 设log81＝t，则()t＝81,3＝34，＝4，t＝8.
10．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x＝________.
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案
解析 ∵log7[log3(log2x)]＝0，∴log3(log2x)＝1，
∴log2x＝3，∴23＝x，∴x＝(23)＝＝＝.
11．设a＝log310，b＝log37，则3a－b＝________.
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案
解析 ∵a＝log310，b＝log37，∴3a＝10,3b＝7，
∴3a－b＝＝.
三、解答题
12．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x的值．
①log2x＝－；②logx3＝－.
(2)已知6a＝8，试用a表示下列各式．
①log68；②log62；③log26.
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
解 (1)①因为log2x＝－，所以x＝2＝.
②因为logx3＝－，所以x＝3，所以x＝3－3＝.
(2)①log68＝a.
②由6a＝8得6a＝23，即6＝2，所以log62＝.
③由6＝2得2＝6，所以log26＝.
13．求2＋3的值．
考点 对数的运算
题点 对数恒等式的应用
解 2＋3＝22×2＋
＝4×3＋＝12＋1＝13.
四、探究与拓展
14．已知f(log2x)＝x，则f＝________.
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式与指数式的互化
答案
解析 令log2x＝，则x＝2＝，
即f?＝f(log2)＝.
15．已知x＝log23，求＝________.
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案
解析 由x＝log23，得2x＝3，∴2－x＝＝，
∴23x＝(2x)3＝33＝27,2－3x＝＝，
∴＝＝＝＝.
第2课时 对数的运算
学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．
知识点一 对数运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
知识点二 换底公式
思考1 观察知识点一的三个公式，我们发现对数都是同底的才能用这三个公式．那么我们在运算和求值中遇到不同底的对数怎么办？
答案 设法换为同底．
梳理 对数换底公式：
logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．
特别地：logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．
1．log2x2＝2log2x.( × )
2．loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)．( × )
3．logaM·logaN＝loga(M＋N)．( × )
4．logx2＝.( √ )
类型一 具体数字的化简求值
例1 计算：(1)log345－log35；
(2)log2(23×45)；
(3)；
(4)log29·log38.
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
解 (1)log345－log35＝log3＝log39＝log332＝2log33＝2.
(2)log2(23×45)＝log2(23×210)＝log2(213)
＝13log22＝13.
(3)原式=
＝＝.
(4)log29·log38＝log2(32)·log3(23)
＝2log23·3log32
＝6·log23·
＝6.
反思与感悟 具体数的化简求值主要遵循两个原则
(1)把数字化为质因数的幂、积、商的形式．
(2)不同底化为同底．
跟踪训练1 计算：(1)2log63＋log64；
(2)(lg25－lg)÷
(3)log43·log98；
(4)log2.56.25＋ln－
考点 对数的运算
题点 指数对数的混合运算
解 (1)原式＝log632＋log64＝log6(32×4)＝log6(62)＝2log66＝2.
(2)原式＝÷＝lg102÷10－1
＝2×10＝20.
(3)原式＝·＝·＝.
(4)原式＝log2.5(2.5)2＋－
＝2＋－＝.
类型二 代数式的化简
命题角度1 代数式恒等变换
例2 化简loga.
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
解 ∵>0且x2>0，>0，∴y>0，z>0.
loga＝loga(x2)－loga
＝logax2＋loga－loga
＝2loga|x|＋logay－logaz.
反思与感悟 使用公式要注意成立条件，如lgx2不一定等于2lgx，反例：log10(－10)2＝2log10(－10)是不成立的．要特别注意loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN.
跟踪训练2 已知y>0，化简loga.
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
解 ∵>0，y>0，∴x>0，z>0.
∴loga＝loga－loga(yz)＝logax－logay－logaz.
命题角度2 用代数式表示对数
例3 已知log189＝a,18b＝5，求log3645.
考点 对数的运算
题点 用代数式表示对数
解 方法一 ∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b，
于是log3645＝＝＝
＝＝.
方法二 ∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b，
于是log3645＝＝
＝＝.
方法三 ∵log189＝a,18b＝5，
∴lg9＝alg18，lg5＝blg18，
∴log3645＝＝＝
＝＝.
反思与感悟 此类问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元．
跟踪训练3 已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256.
考点 对数的运算
题点 用代数式表示对数
解 ∵log23＝a，则＝log32，又∵log37＝b，
∴log4256＝＝＝.
1．log5＋log53等于( )
A．0B．1C．－1D．log5
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
答案 A
2．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )
A．logab·logcb＝logca
B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac
D．loga(b＋c)＝logab＋logac
考点 对数的运算
题点 换底公式的应用
答案 B
解析 由logab·logcb＝·≠logca，故A错；由logab·logca＝·＝＝logcb.故选B.
3．log29×log34等于( )
A.B.C．2D．4
考点 对数的运算
题点 换底公式的应用
答案 D
4．lg0.01＋log216的值是________．
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
答案 2
解析 lg0.01＋log216＝－2＋4＝2.
5．若2x＝3y，则＝________.
考点 对数的运算
题点 用代数式表示对数
答案 log23
解析 方法一 设2x＝3y＝t，
则x＝log2t，y＝log3t.
∴＝＝＝＝log23.
方法二 ∵2x＝3y，
则lg2x＝lg3y，
∴xlg2＝ylg3，
∴＝＝log23.
1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．
2．运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，③logaM±logaN＝loga(M±N)．
一、选择题
1．下列各式(各式均有意义)不正确的个数为( )
①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga(M－N)＝；③a＝；④(am)n＝amn；⑤＝－nlogab.
A．2B．3C．4D．5
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
答案 B
解析 ①正确，②不正确，③正确，④不正确，⑤不正确．
2．如果lgx＝lga＋3lgb－5lgc，那么( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝a＋3b－5c D．x＝a＋b3－c3
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
答案 A
解析 lga＋3lgb－5lgc＝lga＋lgb3－lgc5＝lg，
∴由lgx＝lg，可得x＝.
3．log4等于( )
A.B.C．2D．4
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
答案 D
解析 log4＝log()4＝4.
4．化简等于( )
A．log54B．3log52C．2D．3
考点 对数的运算
题点 换底公式的应用
答案 D
解析 ＝log28＝log223＝3.
5．已知lg2＝a，lg3＝b，则用a，b表示lg15为( )
A．b－a＋1 B．b(a－1)
C．b－a－1 D．b(1－a)
考点 对数的运算
题点 用代数式表示对数
答案 A
解析 lg15＝lg(3×5)＝lg3＋lg5
＝lg3＋lg＝lg3＋1－lg2＝b－a＋1.
6．若log5·log36·log6x＝2，则x等于( )
A．9B.C．25D.
考点 对数的运算
题点 换底公式的应用
答案 D
解析 由换底公式，得··＝2，
lgx＝－2lg5，x＝5－2＝.
7．计算(log32＋log23)2－－的值是( )
A．log26 B．log36
C．2 D．1
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
答案 C
解析 原式＝(log32)2＋2log32·log23＋(log23)2－(log32)2－(log23)2＝2.
8．化简：＋log2等于( )
A．2 B．2－2log23
C．－2 D．2log23－2
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
答案 B
解析
＝＝|log23－2|＝2－log23.
∴原式＝2－log23＋log2＝2－log23－log23＝2－2log23.
二、填空题
9．(log43＋log83)(log32＋log92)＝________.
考点 对数的运算
题点 换底公式的应用
答案
解析 原式＝
＝log23·＝.
10．(lg5)2＋lg2·lg50＝________.
考点 对数的运算
题点 利用lg2＋lg5＝1化简求解对数值
答案 1
解析 (lg5)2＋lg2·lg50＝(lg5)2＋lg2(lg5＋lg10)
＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2
＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2
＝lg5＋lg2＝1.
11．若3x＝4y＝36，则＋＝________.
考点 对数的运算
题点 用代数式表示对数
答案 1
解析 3x＝4y＝36，两边取以6为底的对数，得
xlog63＝ylog64＝2，
∴＝log63，＝log64，即＝log62，
故＋＝log63＋log62＝1.
三、解答题
12．计算：
(1)(log33)2＋log0.25＋9log5－log1；
(2).
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
解 (1)(log33)2＋log0.25＋9log5－log1
＝2＋1＋9×－0＝＋1＋＝.
(2)＝
＝＝
＝＝
＝＝1.
13．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py.
(1)求p的值；
(2)求证：－＝.
考点 对数的运算
题点 用代数式表示对数
(1)解 设3x＝4y＝6z＝t，则t>0，且t≠1.
∴x＝log3t，y＝log4t，z＝log6t.
∵2x＝py，∴2log3t＝plog4t＝p·.
∵log3t≠0，∴p＝2log34＝4log32.
(2)证明 －＝－
＝logt6－logt3＝logt2.
又＝＝·logt4＝·2logt2＝logt2，
∴－＝.
四、探究与拓展
14．计算＋＋(－)0－log31＋2lg5＋lg4－5＝________.
考点 对数的运算
题点 指数对数的混合运算
答案
解析 ∵
＝＝＝1，
(－)0＝1，log31＝0，
2lg5＋lg4＝lg(52×4)＝lg102＝2,5＝2，
∴原式＝＋1＋1－0＋2－2＝.
15．若a＝log43，则2a＋2－a＝________.
考点 对数的运算
题点 指数对数的混合运算
答案
解析 ∵a＝log43＝log23，
∴2a＋2－a＝＝＋＝.
